20 ασκήσεις πιθανοτήτων με ιστορικό ενδιαφέρον

Luca dal Borgo ή Paccioli , 1494

 

Γεννήθηκε στην περιοχή της Τοσκάνης (βόρεια Ιταλία), πιθανότατα το 1445 από φτωχή οικογένεια. Εντάχθηκε σε ένα μοναστήρι Φραγκισκανών και εργάσθηκε ως μαθητευόμενος δίπλα σε έναν επιχειρηματία. Όμως, η αγάπη του για τα μαθηματικά τον έκανε να εγκαταλείψει γρήγορα τη μαθητεία και να εργασθεί ως μελετητής μαθηματικών. Τo 1475 γίνεται καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Περούτζια. Το 1494 εκδίδει το γνωστό βιβλίο του Summa. Ο πλήρης τίτλος ήταν "summa de Arithmetica, Geometria, proportioni et proportionalita" δηλαδή συλλογή αριθμητικής, γεωμετρίας, αναλογίας και αναλογικότητας. Ο Pacioli έγραψε τη Summa, σε μια προσπάθεια να αποκαταστήσει την κακή φήμη της διδασκαλίας των μαθηματικών στην εποχή του.

 Ένα κεφάλαιο του βιβλίου έκανε το Pacioli διάσημο. Το κεφάλαιο αυτό ήταν το "Particularis de Computis et Scripturis", μια πραγματεία σχετικά με τη λογιστική. Με αυτό, ο Pacioli  έγινε ο πρώτος που περιέγραψε το διπλογραφικό λογιστικό σύστημα. Αυτό το νέο σύστημα υπήρξε μια εμπνευσμένη σύλληψη και έφερε την επανάσταση στην οικονομία και στις επιχειρήσεις. Η Summa  του εξασφάλισε  μια θέση στην ιστορία, ως "ο πατέρας της Λογιστικής." Έγινε η πιο πολυδιαβασμένη μαθηματική εργασία σε όλη την Ιταλία, και ένα από τα πρώτα βιβλία που δημοσιεύθηκαν από τον Γουτεμβέργιο.

Είχε μαθητή τον Leonardo da Vinci ο οποίος και εικονογράφησε το δεύτερο πιο σημαντικό χειρόγραφο του "Divine Proportions", ενώ η γνώση που πήρε ο Da Vinci από τον Pacioli σχετικά με την γεωμετρία, του έδωσε την δυνατότητα  να δημιουργήσει τον πιο διάσημο πίνακα του 15ου αιώνα, γνωστό ως "Ο Μυστικός Δείπνος".

1.      Δύο ομάδες παίζουν μπάλα και κερδίζει η ομάδα που θα σημειώσει πρώτη 60 σημεία. Βάζουν στοίχημα από 22 ducats. Σε κάποια στιγμή αναγκάζονται να σταματήσουν το παιχνίδι και η μια ομάδα έχει 50 σημεία, ενώ η άλλη 30. Πώς πρέπει να μοιραστούν το βραβείο; (κάθε ομάδα έχει πιθανότητα ½ να σημειώσει σημείο)

2.      Τρεις σκοπευτές Α , Β , Γ συναγωνίζονται στην σκοποβολή. Σε κάθε τρεις βολές (μια ο καθένας) σημειώνεται αυτός που έχει την καλύτερη βολή. Νικητής είναι αυτός που θα έλθει πρώτος 6 φορές. Στοιχηματίζουν 10 ducats. Όταν ο Α έχει 4 καλύτερες βολές, ο Β τρεις και ο Γ δύο καλύτερες βολές, αναγκάζονται να σταματήσουν. Πώς πρέπει να μοιραστούν το στοίχημα; (Κάθε ένας έχει πιθανότητα 1/3 να σημειώσει την καλύτερη βολή)

Σημείωση: To 1494 o Pacioli δημοσίευσε για πρώτη φορά τέτοιου είδους προβλήματα που θα έλυναν, δύο αιώνες αργότερα οι Pascal και Fermat. Τα προβλήματα «ημιτελούς παιχνιδιού» , όπως είναι γνωστά, αφορούν το πως πρέπει να καταμεριστεί το ποσό του στοιχήματος όταν ένα παιχνίδι πολλών γύρων, ή παρτίδων, διακόπτεται χωρίς να έχει ολοκληρωθεί. Το 1654 σε επιστολή του Pascal προς τον Fermat , o Pascal δίνει λύσεις σε παρόμοια προβλήματα , κάνοντας την αρχή της περίφημης αλληλογραφίας τους , που κυριολεκτικά άλλαξε του ρου της Ιστορίας, αφού συντέλεσε στην επινόηση της θεωρίας πιθανοτήτων.

Huygens , 1657

      Ο Cristiaan Hyugens (1629-1695) ήταν Ολλανδός φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός. Γεννήθηκε στη Χάγη και σπούδασε Νομική και Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Λέιντεν και το Κολλέγιο της Οράγγης. Καταρχήν ασχολήθηκε με τις κωνικές τομές, γρήγορα όμως στράφηκε στην Αστρονομία. Με τηλεσκόπια δικής του κατασκευής ανακάλυψε τον μεγαλύτερο δορυφόρο του Κρόνου, τον Τιτάνα το 1655. Την επόμενη χρονιά ήταν ο πρώτος που πρότεινε ότι οι δακτύλιοι του Κρόνου δεν ήταν συμπαγείς αλλά αποτελούνταν από πολλά σωματίδια, όπως και ο πρώτος που εξήγησε το γεγονός ότι οι δακτύλιοι έμοιαζαν να «εξαφανίζονται» κατά περιόδους. Επίσης, ανακάλυψε μερικά διπλά άστρα και ανέλυσε το Νεφέλωμα του Ωρίωνα σε ξεχωριστά άστρα.

    Ο ίδιος , το 1657 , έγραψε το  "De Ratio ciniis in Ludo Aleae" στα ολλανδικά το οποίο μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Van Scooten και θεωρείται το πρώτο βιβλίο πιθανοτήτων. Για 60 χρόνια, μέχρι το 1700 , χρησιμοποιούνταν αυτό το βιβλίο, ως το βιβλίο για τις πιθανότητες. Ο Huygens είχε ακούσει για τα προβλήματα της διαίρεσης του στοιχήματος (ημιτελούς παιχνιδιού)  στο Παρίσι το 1655, όταν πήγε για να πάρει ένα τιμητικό διδακτορικό στα νομικά, αλλά δεν γνώριζε την αλληλογραφία Pascal-Fermat. Ο Huygens έδωσε τη σωστή λύση στο πρόβλημα του στοιχήματος και η κύρια ιδέα του ήταν η έννοια της μέσης τιμής και όχι η έννοια της πιθανότητας (ονόμαζε "τιμή της τύχης" τη μέση τιμή). Προτείνει επίσης στο βιβλίο του πέντε προβλήματα για λύση. Δύο από τα προβλήματα αυτά τα πρότεινε ο Fermat και ένα ο Pascal. Ο C. Huygens ήταν σύγχρονος του Newton και αναγνωριζόταν ως η διάνοια της εποχής του.

3. Αν ο Α και ο Β παίζουν ένα παιχνίδι ρίχνοντας 2 ζάρια. Ο Α κερδίζει αν φέρει άθροισμα 6 και ο Β αν φέρει άθροισμα 7. Πρώτα παίζει ο Α ρίχνοντας μια φορά, μετά ο Β δύο φορές και εναλλάσουν ρίχνοντας δύο φορές ο καθένας μέχρι να κερδίσει ο ένας από τους δύο. Ποια η πιθανότητα για τους Α και Β να κερδίσουν;

4. Τρεις παίκτες Α , Β , Γ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Σε ένα δοχείο είναι 12 σφαιρίδια από τα οποία τα 4 είναι λευκά και τα 8 μαύρα. Παίρνουν κατά σειρά από ένα σφαιρίδιο και νικητής είναι αυτός που θα πάρει πρώτος λευκό σφαιρίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα για τους Α , Β , Γ να κερδίσουν;

5. Σε 40 τραπουλόχαρτα, τα 10 είναι κόκκινα, τα 10 κίτρινα, τα 10 μαύρα και τα 10 καφέ. Παίρνουμε τυχαία, χωρίς επανάθεση, 4 τραπουλόχαρτα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε 4 διαφορετικά χρώματα; ( ο Huygens έδωσε 1000/9139=0,109)

6. Οι Α και Β έχουν από 12 νομίσματα και παίζουν ρίχνοντας ζάρια. Κάθε φορά που έρχεται άθροισμα 11 ο Α δίνει στον Β ένα νόμισμα, ενώ όταν έλθει άθροισμα 14 ο Β δίνει ένα νόμισμα στον Α. Κερδίζει το παιχνίδι αυτός που θα κερδίσει όλα τα νομίσματα. Ποια η πιθανότητα για τους Α , Β να κερδίσουν;

  

7. Δύο παίκτες Α , Β παίζουν ένα παιχνίδι και όποιος κερδίσει πρώτος n παρτίδες κερδίζει το ποσό α. Καθένας έχει πιθανότητα ½ να κερδίσει μια παρτίδα. Πως πρέπει να μοιραστούν το ποσό α όταν αναγκάζονται να σταματήσουν το παιχνίδι και ο Α έχει κερδίσει  n-r παρτίδες, ενώ ο Β έχει κερδίσει n-s παρτίδες;  (r=1,s=3  ,   r=2,s=3  ,  r=2,s=4)

Montmort , 1708

O Pierre Remond de Montmort ήταν Γάλλος μαθηματικός. Γεννήθηκε στο Παρίσι το 1678 και πέθανε το 1719. Το όνομά του αρχικά ήταν μόνο Pierre Remond ή Raymond. Ο πατέρας του τον πίεσε να σπουδάσει νομικά, αλλά επαναστάτησε και ταξίδεψε στην Αγγλία και τη Γερμανία. Επιστρέφοντας στη Γαλλία το 1699, κληρονόμησε από τον πατέρα του μια μεγάλη περιουσία, με την οποία  αγόρασε ένα κτήμα και πήρε το όνομα de Montmort. Είχε φιλικές σχέσεις με πολλούς μεγάλους μαθηματικούς της εποχής του, και ιδιαίτερα με τον Bernoulli , ο οποίος και συνεργάστηκε μαζί του σε πολλά ζητήματα. Εκλέχτηκε υπότροφος του Royal Society το 1715, ενώ ταξίδεψε και πάλι στην Αγγλία, όπου και έγινε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας των Επιστημών το 1716.

Ο De Montmort είναι γνωστός για ένα βιβλίο του αφιερωμένο στις πιθανότητες και τα τυχερά παιχνίδια, στο οποίο ήταν και ο πρώτος που εισήγαγε την συνδυαστική μελέτη διαταραχών. Έδωσε επίσης και την ονομασία στο γνωστό  «τρίγωνο του Pascal».

8. Τρεις παίκτες Α , Β , Γ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Παίζουν τρεις παρτίδες και σε καθεμία ο καθένας έχει πιθανότητα 1/3 να κερδίσει. Ο Α κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει μια παρτίδα πριν ο καθένας από τους Β , Γ κερδίσει δυο παρτίδες. Ο Β κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει δύο παρτίδες πριν ο Α  κερδίσει μια και πριν ο Γ κερδίσει δύο. Ομοίως και ο Γ. Ποια η πιθανότητα να κερδίσουν το παιχνίδι οι Α , Β , Γ; ( ο  Montmort έδωσε : Ρ(Α)=17/27 , Ρ(Β)=5/27 και Ρ(Γ)=5/27)

Euler, 1763 

Ο Leonard Euler (15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783) ήταν πρωτοπόρος Ελβετός μαθηματικός και φυσικός. Έκανε σημαντικές ανακαλύψεις, σε τομείς όπως ο απειροελάχιστος λογισμός και η θεωρία γραφημάτων. Επίσης καθιέρωσε την μοντέρνα μαθηματική ορολογία και σημειογραφία, κυρίως στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης, όπως την έννοια της μαθηματικής συνάρτησης. Είναι φημισμένος για τη δουλειά του στη μηχανική, τη ρευστοδυναμική, την οπτική και την αστρονομία. Ο Euler πέρασε μεγάλο μέρος της ενήλικης ζωής του στο St. Petersburg, στη Ρωσία και στο Βερολίνο.

Θεωρείται ως ο κατ’ εξοχήν μαθηματικός του 18ου αιώνα, και ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς που έχουν υπάρξει ποτέ. Είναι επιπλέον ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς όλων των εποχών, τα άπαντά του γεμίζουν 60-80 τόμους. Μία δήλωση που δόθηκε από τον Laplace εκφράζει την επίδραση του Euler στα μαθηματικά : «διαβάστε Euler, διαβάστε Euler, είναι ο κύριος όλων μας».

9. Σε ένα δοχείο υπάρχουν n λαχνοί με τους αριθμούς 1,2,…..,n. Παίρνουμε τυχαία k λαχνούς.

i)                    Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν r ακριβώς διαδοχικοί αριθμοί σ’ αυτούς που πήραμε.

ii)                  Αν n=90 και k=5, να βρεθούν οι πιθανότητες για r=5,4,3,2,1

 

De Moivre, 1753

Ο Abraham de Moivre (26 Μαΐου 1667 - 27 Νοεμβρίου 1754) ήταν Γάλλος μαθηματικός, διάσημος για τον τύπο του de Moivre, που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς και την τριγωνομετρία, και για το έργο του σχετικά με την κανονική κατανομή και τη θεωρία των πιθανοτήτων.

Γεννήθηκε στην Καμπανία της Γαλλίας και πέθανε στο Λονδίνο. Πέθανε φτωχός και προέβλεψε με ακρίβεια την ημερομηνία του θανάτου του: ανακάλυψε ότι κοιμόταν 15 λεπτά πιο πολύ κάθε νύχτα και με αυτήν την αριθμητική πρόοδο, υπολόγισε ότι θα πέθαινε την ημέρα που θα κοιμόταν επί 24 ώρες αν και πολλοί αναφέρονται στο γεγονός αυτό ως “ανέκδοτο” της εποχής.

10. Δύο παίκτες Α και Β έχουν από μια πλήρη τράπουλα και   παίρνουν τυχαία, χωρίς επανάθεση , από ένα χαρτί μέχρι που να πάρουν το ίδιο χαρτί. Στην περίπτωση αυτή κερδίζει ο Α, αλλιώς κερδίζει ο Β.

i)                    Να βρεθούν οι πιθανότητες για τους Α και Β να κερδίσουν αν η τράπουλα έχει 3 χαρτιά.

ii)                  Αν η τράπουλα έχει n χαρτιά, να δειχθεί ότι:                 Ρ(Α) → e^-1 ≈ 0,368  , όταν n τείνει στο άπειρο.

Daniel Bernoulli , 1760

O Daniel Bernoulli (8 Φεβρουαρίου 1700 - 17 Μαρτίου 1782) ήταν μαθηματικός γεννημένος στην Ολλανδία, που έζησε επί το πλείστον στην Βασιλεία της Ελβετίας, όπου και πέθανε. Γεννήθηκε σε μια οικογένεια καταξιωμένων μαθηματικών, φυσικών και μηχανικών. Ο ίδιος έδωσε βάρος σε τομείς όπως η μηχανική των ρευστών και την στατιστική.

Γεννήθηκε στο Χρόνινγκεν, γιος του Γιόχαν Μπερνούλι, ανιψιός του Γιάκομπ Μπερνούλι, νεότερος αδερφός του Νικολάου Μπερνούλι, και μεγαλύτερος αδερφός του Γιόχαν Μπερνούλι Β'. Ο Ντάνιελ είχε χαρακτηριστεί ως «μακράν ο ικανότερος από τους νεότερους Μπερνούλι».

Ήταν συνομήλικος και φίλος με τον Λέοναρντ Όιλερ. Το 1724 δίδαξε σαν μαθηματικός στην Αγία Πετρούπολη, αλλά έφυγε το 1733 δυσαρεστημένος και επέστρεψε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας, όπου κράτησε διάφορες έδρες στα τμήματα της φαρμακευτικής, της μεταφυσικής και της φυσικής φιλοσοφίας μέχρι το τέλος της ζωής του.

Το πρώτο του μαθηματικό έργο ήταν το Exercitationes (Μαθηματικές Ασκήσεις, λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Ricatti), που εκδόθηκε το 1724. Δυο χρόνια αργότερα επεσήμανε για πρώτη φορά τη συχνή ανάγκη ανάλυσης μιας σύνθετης κίνησης σε μεταφορική κίνηση και περιστροφική κίνηση. Το κύριο έργο του είναι η Υδροδυναμική (Hydrodynamica), που εκδόθηκε στα 1738 και στην οποία διατυπώνεται η θεωρία της δυναμικής των ρευστών και η περίφημη πλέον Αρχή του Μπερνούλι με την αντίστοιχη Εξίσωση Μπερνούλι. Το έργο μοιάζει με την Αναλυτική Μηχανική του Λαγκράνζ στο ότι όλα τα αποτελέσματα προκύπτουν από μια και μόνη αρχή, τη διατήρηση της ενέργειας.

Το 1778 εισήγαγε την αρχή του μέγιστου γινομένου πιθανοτήτων σε σύστημα με ταυτόχρονα σφάλματα.

  

11. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 2n κάρτες. Δύο κάρτες έχουν τον     αριθμό 1, δύο έχουν τον αριθμό 2 κ.τ.λ. Παίρνουμε τυχαία 2n-r κάρτες. Ποια είναι η μέση τιμή του αριθμού των ζευγαριών των καρτών με τον ίδιο αριθμό, που μένουν στο δοχείο; (Κάνε εφαρμογή αν αντί για 2n κάρτες, ανακατέψουμε δύο τράπουλες που η κάθε μια έχει 52 χαρτιά.)

12.  Σε μια λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό α και έχεις το δικαίωμα να παίξεις το παρακάτω παιχνίδι. Ρίχνεις ένα ζάρι και αν έλθει μονός αριθμός (1,3,5) για πρώτη φορά στην k ρίψη παίρνεις το ποσό 2^k. Πόσο πρέπει να είναι το ποσό α ώστε το παιχνίδι να θεωρεί δίκαιο; (μέση τιμή μηδέν)

Σημείωση: Το προηγούμενο τυχερό παιχνίδι είναι γνωστό και ως το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St.Petersburg paradox).

Ας το διατυπώσουμε και λίγο διαφορετικά:

Έστω ότι κάποιος σας προτείνει το εξής στοίχημα:

Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικές φορές. Αν την πρώτη φορά έρθει «κορώνα» θα πληρωθείτε 1 ευρώ και το παιχνίδι συνεχίζεται όσο το νόμισμα θα έρχεται «κορώνα». Ωστόσο, την δεύτερη φορά θα λάβετε 2 ευρώ, την τρίτη 4 ευρώ, την τέταρτη 8 ευρώ, κοκ. Την πρώτη φορά που θα έρθουν «γράμματα» το παιχνίδι λήγει και εσείς λαμβάνετε το ποσό που έχει συγκεντρωθεί.

Η ερώτηση που σας τίθεται, και αποτελεί το αντικείμενο του προβληματισμού σας, είναι η εξής: Ποιο είναι το ελάχιστο ποσό που είστε έτοιμοι να πληρώσετε ώστε να συμμετάσχετε στο στοίχημα;

           Λογικά σε ένα τυχερό παιχνίδι σας συμφέρει να συμμετέχετε εάν το αναμενόμενο κέρδος είναι μεγαλύτερο από το κόστος συμμετοχής.

 
           Για παράδειγμα σε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζεις 10 ευρώ με πιθανότητα 1/2, σε συμφέρει να συμμετέχεις πληρώνοντας οποιοδήποτε ποσό μικρότερο από 5 ευρώ, επειδή τότε το αναμενόμενο κέρδος, πού είναι το ποσό που κερδίζεις επί την πιθανότητα να το κερδίσεις (10€ * 1/2), είναι μεγαλύτερο. Στο στοίχημα που σας προτάθηκε, και με βάση τις πιθανότητες, περιμένετε ότι θα κερδίσετε:

(1€ * 1/2) + (2€ * 1/4) + (4€ * 1/8) + (8€ * 1/16) +...

το οποίο είναι:

0,5€ + 0,5€ + 0,5€ + 0,5€ +...

Επειδή η πρώτη «κορώνα» μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει ότι το συνολικό αναμενόμενο κέρδος είναι θεωρητικά άπειρο και πως σας συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι. Παρόλα αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου, για να παίξει το συγκεκριμένο παιχνίδι, και αυτό είναι το παράδοξο.

          Το τυχερό παιχνίδι επινοήθηκε από τον Nicholas Bernulli και αργότερα ο Daniel Bernulli το δημοσίευσε στο «Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg» και για αυτό ονομάστηκε το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St. Petersburg paradox). Μάλιστα ο Daniel Bernoulli έκανε και μια πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση: «Ο προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχείου δεν πρέπει να βασίζεται στην τιμή, αλλά μάλλον στην χρησιμότητα που του αποδίδετε. Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η αύξηση των χιλίων δουκάτων είναι πιο σημαντική για κάποιον άπορο από ότι σε έναν πλούσιο άνδρα, αν και οι δύο κερδίσουν το ίδιο ποσό.» Η «αξία» του χρήματος για τον κάθε υποψήφιο παίκτη καθώς και ο κορεσμός της ευτυχίας που επέρχεται όταν αυξάνονται τα ευρώ, είναι παράμετροι που δεν λαμβάνει υπόψη του ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους και αυτός είναι ένας σοβαρός λόγος που οι προσφορές για την συμμετοχή στο παιχνίδι δεν αντιστοιχούν στα θεωρητικά αναμενόμενα κέρδη.

            Το 1783 ο Daniel Bernoulli έγραψε το βιβλίο «Specimen theoriae novae de mensura sortis» (Στοιχεία μιας Νέας Θεωρίας για την Εκτίμηση Κινδύνου), στο οποίο το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης γινόταν η βάση της οικονομικής θεωρίας της αποστροφής κινδύνου, του ασφάλιστρου κινδύνου και της οικονομικής ωφέλειας.

Condorcet, 1785

  

Ο Marie-Jean-Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet, (1743 -1794) ήταν Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος. Σε ηλικία 16 χρονών έγραψε το πρώτο του δοκίμιο για τον ολοκληρωτικό λογισμό. Συνδέθηκε με τον Βολταίρο, τον Ντ' Αλαμπέρ, τον Κλερώ, τον Τυργκώ κ.ά. εγκυκλοπαιδιστές και συνεργάστηκε στην "Εγκυκλοπαίδεια" με θέματα πολιτικής οικονομίας. Το 1769 έγινε μέλος της Ακαδημίας Επιστημών και έγραψε μια σειρά Εγκωμίων για τα μέλη της Ακαδημίας που πέθαναν.

13. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός Α σε μια προσπάθεια είναι p. Να βρεθεί η πιθανότητα:

i)                    Σε r προσπάθειες να συμβεί το Α ν φορές διαδοχικά

ii)                  Σε r προσπάθειες το Α να συμβεί p φορές διαδοχικά και μετά το Α΄ p  φορές διαδοχικά.

iii)                Σε r+t προσπάθειες το Α να συμβεί r φορές όταν στις m+n προσπάθειες το Α έχει συμβεί m φορές.

Laplace , 1812

     Ο Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) ήταν Γάλλος μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος. Οι μελέτες του πάνω στη μηχανική του αστρονομικού συστήματος έδωσαν τεράστια ώθηση στην έρευνα του διαστήματος. Σε ηλικία 18 ετών (1767) διορίστηκε καθηγητής των μαθηματικών στη στρατιωτική σχολή του Παρισιού. Άρχισε από τότε να ασχολείται πολύ σοβαρά με την έρευνα και το 1773 παρουσιάζει πρότυπη μαθηματική εργασία επί διαφορικού λογισμού όπου και γίνεται μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Γαλλίας και πρόεδρος της επιτροπής οργάνωσης του Πολυτεχνείου. Συνέγραψε σειρά έργων που εξέδωσε αργότερα η γαλλική κυβέρνηση σε επτά τόμους και στη συνέχεια και η Ακαδημία των Επιστημών

Εξέτασε πολλά θέματα που προβλημάτιζαν την εποχή του πάνω στην Ουράνια Μηχανική. Την ελλειπτική κίνηση των πλανητών, τις κινήσεις της Σελήνης, το σχήμα της Γης, τη μέθοδο για να βρεθεί η απόσταση του Ήλιου, τις τροχιές των πλανητών Δία και Κρόνου κλπ. Είναι επίσης αυτός που επινόησε την περίφημη εξίσωση Λαπλάς.

        
    Με το βιβλίο του «Theorie Analytique des Probabilites» το 1795 θεμελίωσε την κλασική θεωρία των πιθανοτήτων, συσχετίζοντας τα σφάλματα με την πιθανότητα και παριστάνοντας τη σχέση αυτή με μια συνάρτηση, της οποίας μελέτησε τις ιδιότητες.

14. Mία λοταρία έχει s αριθμούς και σε κάθε κλήρωση παίρνουμε n αριθμούς.

i)                    Ποια είναι η πιθανότητα σε m κληρώσεις να εμφανιστούν όλοι οι s αριθμοί;

ii)                  Κάνε εφαρμογή για s=90 , n=5 , m=85

15. Σε m+n πειράματα το γεγονός Α συνέβηκε m φορές και το Α΄ n φορές (m>n). Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε Ρ(Α)> ½ ;

16.  Υπάρχουν Ν+1 δοχεία, το δοχείο k περιέχει k κόκκινες και Ν-k άσπρες μπάλες (k=0,1,…,N). Παίρνουμε τυχαία ένα δοχείο και από αυτό παίρνουμε τυχαία n μπάλες με επανάθεση. Αν οι n μπάλες είναι κόκκινες , ποια είναι η πιθανότητα και η επόμενη μπάλα να είναι κόκκινη;

17.  Ένα γεγονός συνέβηκε διαδοχικά m φορές. Ποια η πιθανότητα να συμβεί διαδοχικά και τις επόμενες k φορές;

Bertrand , 1899

O Joseph Louis François Bertrand (1822 – 1900) ήταν  Γάλλος μαθηματικός που εργάσθηκε στους τομείς της θεωρίας αριθμών , της διαφορικής γεωμετρίας , της θεωρίας πιθανοτήτων , της οικονομίας και της θερμοδυναμικής . Ήταν καθηγητής στην École Polytechnique και στο Collège de France . Ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών στο Παρίσι  και ήταν μόνιμος γραμματέας της για είκοσι έξι χρόνια.

Είναι γνωστός για ένα παράδοξο στον τομέα των πιθανοτήτων , γνωστό ως “παράδοξο του Bertrand” . Υπάρχει και ένα άλλο παράδοξο στην θεωρία των παιγνίων που φέρει το όνομά του ( Bertrand Paradox ).

18. Κυκλικός δίσκος ακτίνας r < ½ ρίχνεται σε ένα επίπεδο στο οποίο υπάρχουν παράλληλες γραμμές σε απόσταση 1. Ποια η πιθανότητα μια από τις παράλληλες γραμμές να τμήσει τον κύκλο και η αντίστοιχη χορδή να είναι μεγαλύτερη της πλευράς του εγγράψιμου ισόπλευρου τριγώνου;

Σημείωση: Το Παράδοξο του Bertrand  

       Φτιάχνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο μέσα σε έναν κύκλο. Στη συνέχεια φέρνουμε μια τυχαία χορδή αυτού του κύκλου. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η χορδή αυτή να έχει μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του τριγώνου.

       Το πρόβλημα πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Joseph Bertrand σε μια εργασία του το 1888. Εκεί έδωσε τρεις διαφορετικές μεθόδους για τη δημιουργία της τυχαίας χορδής και βρήκε τρία διαφορετικά αποτελέσματα για τη ζητούμενη πιθανότητα!

19.  Δύο σημεία Μ , Μ΄ παίρνονται τυχαία στην επιφάνεια σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R. Ποια είναι η πιθανότητα το μικρότερο τόξο MOΜ΄ του μέγιστου κύκλου που περνά από τα Μ, Μ΄ να είναι το πολύ 2α 

Poincare , 1912

Ο Henri Poincaré ήταν ένας από τους κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς και θεωρητικούς φυσικούς και φιλόσοφος της επιστήμης. Γεννήθηκε στις 29 Απριλίου του 1854 στην πόλη Νανσύ της Γαλλίας και πέθανε στις 17 Ιουλίου του 1912 στο Παρίσι. Συχνά περιγράφεται ως πολυμαθής, και στον κόσμο των μαθηματικών είναι γνωστός ως ο «Τελευταίος Πανεπιστήμονας», καθώς διέπρεπε σε όλα τα επιστημονικά πεδία τα οποία υπήρχαν στη διάρκεια της ζωής του. Ο Πουανκαρέ δημοσίευσε το πρώτο του άρθρο στο Nouvelles Annales des Mathematiques σε ηλικία 19 ετών. Συνολικά έγραψε τουλάχιστον 30 βιβλία και 500 τεχνικά άρθρα. Ίσως ήταν ο τελευταίος μαθηματικός με ευρύτατο πεδίο ενασχόλησης, ώστε οι διαλέξεις του στη Σορβόνη να ποικίλουν σε ευρύτατη γκάμα θεμάτων. Εκτός από τη σημαντική του προσφορά στο αμιγώς μαθηματικό πεδίο, συνεισέφερε στην οπτική, τον ηλεκτρισμό, την ελαστικότητα, τη θερμοδυναμική, την κβαντική θεωρία τη σχετικότητα και την κοσμολογία. Με την εκλογή του ως μέλους του τμήματος λογοτεχνίας του Γαλλικού Ινστιτούτου τιμήθηκε για την πολυποίκιλη προσφορά του στην επιστήμη.

20. Κάθε ένα από τρία όμοια κουτιά είναι χωρισμένο σε δύο μέρη. Το πρώτο κουτί περιέχει από ένα χρυσό νόμισμα σε κάθε χώρισμα, το δεύτερο ένα χρυσό και ένα αργυρό και το τρίτο κουτί έχει ένα αργυρό νόμισμα σε κάθε χώρισμα. Παίρνουμε τυχαία ένα κουτί και στο ένα χώρισμα υπάρχει νόμισμα, ποια είναι η πιθανότητα στο άλλο χώρισμα να υπάρχει διαφορετικό είδος νομίσματος.

Σημείωση: Ας αναφέρουμε ότι και ο Ιταλός μαθηματικός Girolamo Cardano (1501-1576) ήταν από τους πρώτος που  από προσωπικό ενδιαφέρον (μανιώδης παίκτης) ασχολήθηκε με τα τυχερά παιχνίδια. Το βιβλίο του «περί τυχερών παιχνιδιών»  δημοσιεύθηκε το 1663, πολύ μετά το θάνατό του, ολοκληρώθηκε όμως το 1565 και αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη μελέτη της ρίψης ζαριών, η οποία βασίστηκε στην υπόθεση ότι υπάρχουν θεμελιώδεις αρχές που διέπουν την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος. Ο  Cardano δε χρησιμοποίησε βέβαια τη λέξη πιθανότητα, αλλά μιλούσε για ενδεχόμενα. Το βιβλίο στηρίζεται κυρίως στην παρατήρηση , περιείχε όμως και μαθηματικά, αφού για πρώτη φορά ορίστηκε ό,τι σήμερα ονομάζουμε πιθανότητα ενός γεγονότος υπό τη μορφή κλάσματος (πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί το γεγονός διαιρεμένο με το πλήθος όλων των δυνατών εκβάσεων).

Ο Spinoza (1632-1677) πίστευε ότι η άγνοια της πραγματικότητας μας οδηγεί να αποδίδουμε στην τύχη ορισμένα γεγονότα.

           

Οι 20 ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: Πιθανότητες Ι - Θεωρία και ασκήσεις, Στρατή Κουνιά, Χρόνη Μωυσιάδη, Εκδόσεις Ζήτη 1991.