Τετάρτη, 4 Ιουνίου 2014

Ζουμάροντας σε ένα Σύνολο Μάντελμπροτ


Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες, ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.
Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.
Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.
  
 
Στο παραπάνω βίντεο βλέπουμε ένα πολύ extreme HD παράδειγμα το οποίο χρειάστηκε για να φτιαχτεί ένας μήνας ασταμάτητου rendering. Ζουμάρει -και μετά ζουμάρει κι άλλο, και μετά κι άλλο, για δέκα λεπτά προχωρώντας σε εξωφρενική λεπτομέρεια.

 Ο όρος φράκταλ προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος".

Ο Μπενουά Μάντελμπροτ  (20 Νοεμβρίου 1924 - 14 Οκτωβρίου 2010) ήταν Γαλλοαμερικανός μαθηματικός. Eργάστηκε σε ευρύ φάσμα πεδίων των μαθηματικών, ανάμεσα στα οποία συναντούμε τα μαθηματικά φυσικών επιστημών και την ποσοτική χρηματοοικονομική. Ωστόσο είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της γεωμετρίας των φράκταλ. Το γνωστότερο από αυτά, που ονομάστηκε προς τιμήν του «Σύνολο Μάντελμπροτ», έχει εκτυπωθεί σε αφίσες, λευκώματα, ακόμη και σε μπλουζάκια. Ο ίδιος φρόντισε για τη διάδοση των ευρημάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.
Οι ανακαλύψεις του Μάντελμπροτ εφαρμόζονται σε τομείς όπως όπως η γεωλογία, η ιατρική, η αστρονομία, η μηχανολογία, η μετεωρολογία, καθώς και τα οικονομικά και η ανατομία.
 
Τα μοντέλα φράκταλ του Μάντελμπροτ προσφέρουν μεγάλη ακρίβεια στην πρόβλεψη – από τη διακύμανση των μετοχών της ΙΒΜ και του δείκτη Ντάου, μέχρι το εμπόριο βάμβακος και την ισοτιμία δολαρίου - ευρώ – και βγάζουν "εκτός μάχης" τις οικονομικές θεωρίες του χθες.
Τα τελευταία χρόνια ολοένα περισσότεροι επενδυτές και επιχειρηματίες δίνουν προσοχή σε όσα υποστήριζε. Ωστόσο, το διεθνές τραπεζικό κατεστημένο εμποδίζει την ανάδειξη του έργου του. Η ικανότητά του να απλοποιεί το πολύπλοκο ανέδειξε τον Μάντελμπροτ σε έναν από τους πλέον σημαντικούς μαθηματικούς του 20ού αιώνα.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...