Τετάρτη, 4 Νοεμβρίου 2015

Μια παραδοχή σε ένα κλασικό πρόβλημα παραγώγων

 Γνωρίζουμε ότι μια από τις βασικές χρησιμότητες της παραγώγου μιας συνάρτησης είναι για να εκφράσει το ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο.

Μεγάλο ενδιαφέρον στο κομμάτι αυτό του Διαφορικού Λογισμού έχουν προβλήματα που αφορούν το φαινόμενο της πληθυσμιακής αύξησης (ή μείωσης) των ειδών.

Πολύ συχνά όλοι μας δουλεύουμε προβλήματα στα οποία δίνεται μια συνάρτηση P(t) που μας δίνει τον πληθυσμό ενός είδους (μικρόβια κ.α.) σε κάθε χρονική στιγμή t και ζητείται ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται αυτός ο πληθυσμός κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Γνωριζουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού P(t) δίνεται από την παράγωγο P'(t) και δουλεύουμε ανάλογα.

Στο σημείο αυτό όμως κάνουμε και μια ουσιαστική παραδοχή του φαινομένου αυτού, θεωρώντας τον πληθυσμό σαν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, ενώ στην πραγματικότητα δεν είναι ούτε συνεχής, αφού είναι αναγκασμένη να παίρνει τιμές στο σύνολο Ν των φυσικών αριθμών (πληθυσμός 564,76 δεν έχει έννοια)

Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι η διαφορά μεταξύ μιας συνεχούς και μιας μη συνεχούς μεταβλητής οφείλεται στο γεγονός ότι οι συνεχείς μεταβλητές μπορούν να υποστούν οσοδήποτε μικρές μεταβολές, ενώ οι ασυνεχείς όχι. Στη προκειμένη περίπτωση για μεγάλες τιμές του πληθυσμού, η θεώρηση της συνάρτησης P(t) ως συνεχής συνάρτηση είναι ικανοποιητική εφ'όσον οι μεταβολές που υφίσταται είναι πολύ μικρές (αν το P(t) είναι 1.000.000, μια μεταβολή κατά μια μονάδα είναι μεταβολή 0,001%), οπότε για πρακτικούς λόγους θεωρούνται σχεδόν συνεχείς.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...