Όταν η απόδειξη διαψεύδει τη διαίσθηση. Η πιο φρικτή συνάρτηση των μαθηματικών και ένα παράδειγμα.
Η διαδικασία του συλλογισμού έχει ανάγκη να στηριχθεί αρχικά σε μια σκέψη που τη θεωρεί διαισθητικά ως την πιο σωστή και στη συνέχεια να την αναπτύξει και να την ελέγξει με την λογική.
Αυτό κάνουμε και όσοι διδάσκουμε τα μαθηματικά. Προτάσσουμε την γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Bolzano ή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής πριν προχωρήσουμε στην τυπική διατύπωσή τους.
Στον κόσμο των μαθηματικών η φαντασία καταλαμβάνει σίγουρα μεγάλο χώρο. Θα μπορούσαμε ίσως να πούμε ότι τα μαθηματικά έγκεινται στο να μπορεί κάποιος να εξασκεί τη φαντασία του σε ένα εξαιρετικά αυστηρό πλαίσιο.
Η ανακάλυψη στα μαθηματικά απαιτεί την υπέρβαση της υπάρχουσας γνώσης και λογικής, με την ανακάλυψη της μη ευκλείδειας γεωμετρίας να αποτελεί το πιο κλασικό παράδειγμα.
"Έχω το συμπέρασμα μου, αλλά δεν ξέρω ακόμα πως να το βγάλω" έλεγε χαρακτηριστικά ο Gauss.
Αυτό που συναντάμε ως αρχικό ερέθισμα είναι η παρατήρηση και η επιστημονική περιέργεια. Μετά έρχεται η διαισθητική υπόθεση και στο τέλος η λογική σκέψη αναλαμβάνει την επιβεβαίωση της εποπτείας με την απόδειξη.
Σημαντικός παράγοντας σε αυτή τη διαδικασία είναι η μνήμη. Σύμφωνα με κάποιες εκτιμήσεις, ο μαθηματικός έχει στο μυαλό του περίπου 200.000 ρουτίνες για τη λύση προβλημάτων.
Τα μαθηματικά επίσης εργαλεία αυξήθηκαν και αυξάνονται με την πάροδο του χρόνου, καθώς υπολογίζεται ότι πάνω από 150.000 θεωρήματα δημοσιεύονται κάθε χρόνο.
Ο Polya έβαζε πολύ ψηλά και την εξάσκηση για την εύρεση μεθόδων, ενώ ο Καρτέσιος έλεγε: "Κάθε πρόβλημα που έλυσα έγινε για εμένα ένας κανόνας ο οποίος αργότερα με βοήθησε σε άλλα προβλήματα" , θέλοντας να επισημάνει την αξία δημιουργίας προτύπων.
Για τους μαθητές, όλα αυτά σημαίνουν πως εκείνο που χρειάζονται είναι η ταξινόμηση των γνώσεων, της εμπειρίας και των μεθόδων που έχουν διδαχθεί.
Υπάρχει λοιπόν μια αμφίδρομη σχέση ανάμεσα στη διαισθητική και τη λογική σκέψη. Η διαίσθηση ανοίγει την πόρτα στην λογική και η λογική στη διαίσθηση.
Στα μαθηματικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι η διαίσθηση είναι σίγουρα αναγκαία, όχι όμως και ικανή συνθήκη.
Έρευνες δείχνουν ότι η εποπτική εικόνα και η υπερβολική εμπιστοσύνη στη διαίσθηση προκαλεί παρερμηνείες, δημιουργεί πολύ χαρακτηριστικά λάθη και συνήθως εμποδίζει την εξέλιξη των λογικών εννοιών από τους μαθητές.
Οι αποδείξεις συχνά ανατρέπουν την αρχική εποπτική αντίληψη. Η ίδια η ιστορία της επιστήμης και των μαθηματικών είναι η απόδειξη των προσπαθειών για επιστημονική σκέψη ενάντια στη διαισθητική προκατάληψη.
Σε πολλά μαθηματικά αντικείμενα δεν υπάρχει εξάλλου καμία δυνατότητα πρόσβασης με τις αισθήσεις, αφού τις υπερβαίνουν. Ποιος μπορεί να εξηγήσει διαισθητικά ότι α⁰ = 1;
Το 1872 ο Weistrass παρουσίασε το παράδειγμα μιας συνάρτησης, γνωστή ως συνάρτηση Weistrass. Η συγκεκριμένη συνάρτηση χαρακτηρίστηκε ως η πιο φρικτή συνάρτηση των μαθηματικών, αφού πρόκειται για μια συνεχή συνάρτηση που δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη.
Τα μαθηματικά είναι χρήσιμα για την εναρμόνιση της διαίσθησης και της εμπειρίας με τη λογική.
Όμως είναι ακόμη πιο χρήσιμα όταν έρχονται σε αντίθεση με αυτές.
Ας δούμε και ένα απλό παράδειγμα:
Υποθέτουμε ότι ένα άτομο έχει να επιλέξει ανάμεσα σε δύο δουλειές. Κάθε δουλειά προσφέρει ετήσιο μισθό 18.000 €. Αν επιλέξει την πρώτη θα έχει ετήσια αύξηση απολαβών 2.000 €. Αν επιλέξει την δεύτερη θα έχει εξαμηνιαία αύξηση 500 €. Ποια δουλειά είναι προτιμότερο να διαλέξει;
Θα έλεγε κανείς ότι η απάντηση είναι προφανής. Η ετήσια αύξηση 2.000 € είναι σίγουρα προτιμότερη από την άλλη, που όπως φαίνεται είναι 1.000 €.
Ας το δούμε όμως και μαθηματικά, κάνοντας κάποιες απλές πράξεις:
1η δουλεία - απολαβές ανά εξάμηνο:
9.000 € , 9.000 € , 10.000 € , 10.000 € , 11.000 € , 11.000 € , 12.000 € , 12.000 €
Σύνολο απολαβών για τα επόμενα 4 χρόνια: 84.000 €
2η δουλεία - απολαβές ανά εξάμηνο:
9.000 € , 9.500 € , 10.000 € , 10.500 € , 11.000 € , 11.500 € , 12.000 € , 12.500 €
Σύνολο απολαβών για τα επόμενα 4 χρόνια: 86.000 €
Τα μαθηματικά λοιπόν, διαφαίνεται ότι παράγουν γνώση την οποία η εικασία και η διαίσθηση αδυνατούν να το κάνουν με ακρίβεια.
Δεν είναι υπερβολή να πούμε τελικά ότι ως ιδρυτική πράξη των μαθηματικών θεωρείται η σύνδεση τους με την λογική σκέψη. Όλοι οι μελετητές ως λογική σκέψη εννοούν αρχικά τις αποδεικτικές διαδικασίες και στη συνέχεια την αξιωματική θεμελίωση, όπως παρουσιάστηκε ολοκληρωμένα στα Στοιχεία του Ευκλείδη.
Ο Θαλής ήταν ο πρώτος που η σοφία του προχώρησε στη θεωρία, πέρα από τα όρια της πρακτικής χρησιμότητας. Τότε διαμορφώθηκε και η ιδέα της μαθηματικής απόδειξης, μια ιδέα που αποτελεί τη βάση των νεότερων μαθηματικών και τη βάση του σύγχρονου τεχνολογικού πολιτισμού.
