Τετάρτη, 29 Δεκεμβρίου 2010

Πιθανότητες και τυχερά παιχνίδια (μέρες που είναι...)

Υπάρχουν δύο είδη πειραμάτων στη φύση:
α) αυτά που όσες φορές και αν επαναληφθούν κάτω από τις ίδιες συνθήκες ξέρουμε εκ των προτέρων το αποτέλεσμά τους (αιτιοκρατικά πειράματα). Για παράδειγμα αν βάλουμε ένα μπρίκι με νερό στους 100 βαθμούς Κελσίου , τότε αυτό θα βράσει.

β) αυτά που όσες φορές και αν επαναληφθούν κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν μπορούμε να προβλέψουμε εκ των προτέρων το αποτέλεσμά τους (πειράματα τύχης). Για παράδειγμα η ρίψη ενός ζαριού , το στρίψιμο ενός νομίσματος και η καταγραφή της άνω όψης του , η κλήρωση του τζόκερ κ.α.

Η θεωρία των πιθανοτήτων μελετά τα δεύτερα.

Ιστορικά, επιτραπέζια παιχνίδια που εμπεριείχαν το στοιχείο της τύχης είχαν κατά πάσα πιθανότητα κατασκευαστεί στην αρχαία Αίγυπτο από το 3.000 π.Χ. Τα πρώτα ζάρια κατασκευάστηκαν από τους Έλληνες , οι οποίοι τα ονόμαζαν "τέσσερα" , λέξη που παραπέμπει στις τέσσερις ακμές κάθε έδρας του ζαριού. Μέχρι το 455 μ.Χ. οι άνθρωποι , ακόμα και οι χριστιανοί , πίστευαν πολύ στην τύχη. Μετά την κατάρρευση της Ρώμης , άρχισαν σιγά σιγά να την απορρίπτουν. Ο Άγιος Αυγουστίνος έλεγε ότι τίποτα δεν συμβαίνει κατά τύχη διότι όλα ελέγχονται από την βούληση του Κυρίου. Τα χαρτιά έκαναν την εμφάνιση τους κατά τον 14ο αιώνα.
Τα τυχερά παιχνίδια και ο τζόγος οδήγησαν τους μεγάλους μαθηματικούς Φερμά , Πασκάλ και Χούιγκενς να κάνουν αποφασιστικά βήματα στην ανάπτυξη του λογισμού του τυχαίου. Ο πρώτος που προσπάθησε (σε γενικές γραμμές επιτυχώς) να μετατρέψει την θεωρία των τυχερών παιχνιδιών σε τυπική μαθηματική θεωρία ήταν ο μέγας Τζέιμς Μπερνούλι.

Κλασσικός ορισμός της πιθανότητας : Είναι η αριθμητική τιμή της πιθανότητας εμφάνισης ενός γεγονότος. Για παράδειγμα η πιθανότητα να φέρω με ένα ζάρι τον αριθμό 6 είναι 16,66666% ή αλλιώς μία στις έξι. Δηλαδή ευνοϊκές περιπτώσεις προς δυνατές περιπτώσεις.
Πιθανότητες και Τζόκερ
Για να βρω την πιθανότητα να κερδίσω το τζόκερ με μια μόνο στήλη κάνω τα εξής:
Πρώτα θα υπολογίσω τους δυνατούς συνδυασμούς που έχει το απλό πεντάρι (χωρίς το τζόκερ) χρησιμοποιώντας ένα τύπο της συνδυαστικής των πιθανοτήτων. Συγκεκριμένα οι δυνατές 5άδες αριθμών που μπορούν να σχηματισούν από τους 45 είναι:
45 x 44 x 43 x 42 x 41 / 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 1.221.759.
Δηλαδή έχω 1 στις 1.221.759 πιθανότητα να πιάσω το 5άρι , χωρίς το τζόκερ.
Και για να πιάσω το πεντάρι μαζί με το τζόκερ τι πιθανότητες έχω;
Πολλαπλασιάζοντας το 1.221.759 επί 20 που είναι οι πιθανοί αριθμοί τζόκερ καταλήγω στο ότι το παιχνίδι αποτελείται από 24.435.180 διαφορετικούς συνδυασμούς.
Δηλαδή αν παίξω μια και μόνο στήλη έχω 1 στις 24.435.180 ή 0,000004% πιθανότητα να γίνω πλούσιος! 

Πιθανότητες και Λόττο
Κάνοντας παρόμοιους υπολογισμούς βρίσκουμε ότι η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος το Λόττο (να βρει δηλαδή έξι αριθμούς σε σύνολο 49) είναι 1 στις 13.983.86 , δηλαδή 0,0000715%.


Πιθανότητες και Λαχεία
Η πιθανότητα να κερδίσει ένας άνθρωπος το λαχείο είναι 0,000007634% , λίγο μεγαλύτερη από αυτή του τζόκερ.


Πιθανότητες και Κίνο
Το Κίνο εχει 80 αριθμούς απο τους οποίους κληρώνονται 20. Από αυτούς επιλέγοντας 4 θέλω να βρω την πιθανότητα να έρθουν και οι 4.
Από τις 4 μπάλες που επιλέγω, η πρώτη θα πρέπει να ανήκει σε μία από τις 20 που θα κληρωθούν (άρα πιθανότητα 20/80)
Η δεύτερη θα πρέπει να ανήκει σε μία από τις 19 που θα κληρωθούν με 79 να απομένουν στην κληρωτίδα (άρα πιθανότητα 19/79)
 Η τρίτη θα πρέπει να ανήκει σε μία από τις 18 που θα κληρωθούν με 78 να απομένουν στην κληρωτίδα (άρα πιθανότητα 18/78)
 Η τέταρτη θα πρέπει να ανήκει σε μία από τις 17 που θα κληρωθούν με 77 να απομένουν στην κληρωτίδα (άρα πιθανότητα 17/77)
Για να συμβούν και τα 4 παραπάνω ενδεχόμενα παίρνεις το γινόμενό τους:
20 x 19 x 18 x 17 / 80 x 79 x 78 x 77=0.00306339, δηλαδή 0.306339 %
Πολύ μεγαλύτερη η πιθανότητα από τα προηγούμενα τυχερά παιχνίδια με μικρότερα προφανώς κέρδη!
  

Πιθανότητες και πόκερ
Το πόκερ και ειδικά το Texas Holdem είναι σήμερα το πιο διαδεδομένο παιχνίδι χαρτιών.
Εδώ έχω μια έκπληξη για τους φίλους αυτού του παιχνιδιού. Οnline υπολογιστής πιθανοτήτων που θα βρείτε στην παρακάτω διεύθυνση:

Καλή χρονιά και καλά κέρδη!!

Παρασκευή, 24 Δεκεμβρίου 2010

Αριθμητικά συστήματα και πολιτισμοί

Οι πρώτες προσπάθειες
Ο Homo Sapiens πριν 300.000 χρόνια  κάνει μια μικρή αρίθμηση με κλαδιά δέντρων και λίγο αργότερα χρησιμοποιεί κάποιες αριθμητικές εκφράσεις. Οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες πριν 70.000-20.000 χρόνια  καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση , τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση, ενώ το μοίρασμα της τροφής τους σημαίνει ότι κατανοούσαν και τη διαίρεση. Από ευρήματα της νεολιθικής εποχής, όπως το κόκκαλο "Ισάνγκο" που βρέθηκε στην Αφρική το 20.000 π.Χ. , αποδεικνύεται η χρήση απλών αριθμητικών μεθόδων από τους ανθρώπους της εποχής , κυρίως ως πίνακες θηραμάτων και αποθήκευσης  αλλά και για την καταγραφή του χρόνου (φάσεις σελήνης , εποχές). Ο ουρανός , μέσω της κοσμολογίας, έχει ασκήσει ίσως τη μεγαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των μαθηματικών.


Αργότερα
Η χρήση των αριθμητικών συστημάτων από διάφορους πολιτισμούς μπορεί να μας δώσει στοιχεία του τρόπου ζωής , των αναγκών , του πληθυσμού  και της εξέλιξής τους. Πρακτικοί είναι και οι λόγοι , εξαιτίας της ανατομίας του ανθρώπινου σώματος, που οδήγησαν στην καθιέρωση του δεκαδικού συστήματος σήμερα ύστερα από πολλές αναζητήσεις. Πεντάδες , δεκάδες και εικοσάδες είναι τα δάχτυλά μας και βοηθούν στη μέτρηση. Ποιά είναι όμως τα αριθμητικά συστήματα που έχουν χρησιμοποιηθεί , ποιά χρησιμοποιούνται σήμερα και σε τι διαφέρουν;


Το εξηνταδικό σύστημα. 
 Στο σύστημα αυτό απαιτούνται 60 απλές μονάδες για να δημιουργήσουν μια μονάδα ανώτερης τάξης , μια εξηντάδα. Με 60 εξηντάδες (δηλαδή 3.600 απλές μονάδες) φτιάχνουμε μια μονάδα επίσης ανώτερης τάξης , μια τρισχιλιοεξακοσάδα κ.ο.κ. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιήθηκε από τους Σουμέριους το 2.500 π.Χ. και αργότερα από τους Βαβυλώνιους το 2000 εως το 500 π.Χ. , αλλά και από τους Κινέζους την ίδια περίοδο. Ειδικά οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις 4 πράξεις , τις ρίζες και λύναν εξισώσεις πρώτου και δευτέρου βαθμού. Το αριθμητικό τους σύστημα είχε ως βάση το 60 , ήταν όμως επαναληπτικό και όχι  ψηφιακό , αφού οι μονάδες του παριστάνονται με επανάληψη του ίδιου συμβόλου και όχι με διαφορετικά σύμβολα. Χρησιμοποιώντας μόνο δύο: την "σφήνα" και το "καρφί" , αν θέλαν για παράδειγμα να συμβολίσουν τον αριθμό 5 έγραφαν ισάριθμες σφήνες , ενώ ο αριθμός 19 γραφόταν σαν ένα καρφί και δεξιά του 9 σφήνες.
Επίσης ήταν θεσιακό , που σημαίνει ότι η αξία κάθε αριθμού καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό. Τέλος δεν είχαν σύμβολο για το 0 , ούτε και υποδιαστολή.
Η μοναδική εφαρμογή του εξηνταδικού συστήματος σήμερα είναι στην καταμέτρηση του χρόνου, όπου η ώρα έχει 60 λεπτά και το λεπτό 60 δευτερόλεπτα.

Το εικοσαδικό σύστημα.
Από τα χειρόγραφα της Δρέσδης (σπάνια χειρόγραφα της φυλής των Μάγια) προκύπτει ότι η τελεία και η παύλα, ήταν τα δύο μοναδικά σύμβολα του αριθμητικού συστήματος των Μάγια. Η τελεία αντιπροσώπευε τη μονάδα και η παύλα την πεντάδα. Δηλαδή, μια τελεία αντιπροσώπευε την αριθμητική αξία του 1 και μια παύλα το 5. Συνεπώς, το " ._ " για τη φυλή των Μάγια σήμαινε 15.
Πρόκειται για ένα εξελιγμένο προσθετικό και θεσιακό σύστημα, που χρησιμοποιούσαν κατά τον 3ο αιώνα μ.Χ., όπως προκύπτει από τα χειρόγραφά τους. Αν εμείς σήμερα γνωρίζουμε το δεκαδικό σύστημα, οι Μάγια χρησιμοποιούσαν το εικοσαδικό σύστημα, όπου οι τάξεις τους πήγαιναν από τη μονάδα στην εικοσάδα, στοιβάζοντας τους αριθμούς θεσιακά τον έναν πάνω στον άλλον και διαβάζοντας τον αριθμό με κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω. Με αυτό το τρόπο μπορούσαν να πραγματοποιήσουν πολύπλοκους υπολογισμούς.

Ο αριθμός 0 είναι μια άλλη πρωτοπορία της φυλής των Μάγια. Πρόκειται για το σύμβολο που "βασάνισε" τους λαούς που ασχολήθηκαν με την πρώτη αρίθμηση, και που η αξία και σημασία του προέρχεται από την αναγκαιότητα ύπαρξης και εφεύρεσης ενός συμβόλου, για τις τάξεις που είναι μηδενικές. Συμβόλου, που θα μπορεί να εκπροσωπεί το "καθόλου δεκάδες". Στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, αν δεν υπήρχε το μηδέν θα ήταν πολύ πιθανό να μπερδεύαμε για παράδειγμα, το 102 με το 12.
Η φυλή των Μάγια,  ανεπηρέαστη από τους Βαβυλώνιους και άλλους λαούς που έκαναν τα πρώτα τους βήματα στην ανακάλυψη ενός αριθμητικού συστήματος που γεννούσε η αναγκαιότητα για γραπτούς πρακτικούς υπολογισμούς, υιοθέτησαν εύκολα σύμβολα, για να γεμίσουν το κενό στις αριθμητικές τους πράξεις. Χρησιμοποίησαν μορφές ματιών, κογχυλιών και άλλων μορφών, για ν' αντιμετωπίσουν το πρόβλημα των "άδειων τάξεων" στους υπολογισμούς τους.
Και το υιοθέτησαν εύκολα, γιατί δεν ήταν κάτι νέο γι' αυτούς. 1100 χρόνια πριν από τους Βαβυλώνιους, οι ιερείς-αστρονόμοι πρόγονοι των Μάγια, είχαν αντιμετωπίσει το ίδιο πρόβλημα για πρώτη φορά το 3113 π.Χ. στη προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν ένα σύστημα ιερογλυφικών για τη καταγραφή του παρελθόντα χρόνου στις ιερές ημερολογιακές τους στήλες. Σύστημα, του οποίου τα σύμβολα αντιπροσώπευαν τα χρονικά διαστήματα, ως πολλαπλάσια των ημερών.
Το ιερογλυφικό αυτό σύστημα δεν είχε σχέση με την αριθμητική, αλλά με την αλληλουχία των χρονικών περιόδων που, σύμφωνα με τη θρησκεία των Μάγια, η κάθε μια προερχόταν από έναν θεό, φορέα και υπεύθυνο για την περίοδο αυτή. Ονόματα όπως "ΚΙΝ", "ΟΥΙΝΤΑΛ", "ΤΟΥΝ" κ.ά. ήταν ονόματα θεών που ήταν υπεύθυνοι για συγκεκριμένη χρονική περίοδο, στους οποίους προσέφεραν θυσίες προκειμένου να τους ευχαριστήσουν και να πάει καλά η χρονιά.
 
 
Το δεκαδικό σύστημα
5000-332 π.Χ. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν σύστημα αριθμών με βάση το 10. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό , επαναληπτικό, μη θεσιακό. Η αιγυπτιακή αρίθμηση διέθετε ένα ειδικό ιερογλυφικό σύμβολο για τη μονάδα και τις δυνάμεις του 10 (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000).

Το ψηφίο της μονάδας ήταν μια μικρή κάθετη γραμμή.
Της δεκάδας έμοιαζε με ένα πέταλο ανάποδα γυρισμένο.  
Η χιλιάδα παριστάνεται με ένα λουλούδι λωτού με το κοτσάνι του  
Η δεκάδα χιλιάδων με το σχέδιο ενός ανασηκωμένου κυρτού δακτύλου.  
Η εκατοντάδα χιλιάδων με ένα βάτραχο ή γυρίνο με ουρά πολύ γερμένη.  
Το εκατομμύριο με έναν άνδρα γονατισμένο που σηκώνει τα χέρια στον ουρανό.

1410-1530 μ.Χ. Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους (μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσμό 6-12.000.000 άτομα, ενώ υπολογίζεται ότι κάποια στιγμή η αυτοκρατορία τους έφτασε και στον αριθμό των 12.000.000 κατοίκων). 
Για να υπάρξει σωστή διακυβέρνηση ενός τόσο μεγάλου πληθυσμού είναι σαφές ότι έπρεπε να υπάρχει ένα σύστημα "γραφειοκρατικού" ελέγχου όχι με την σημερινή έννοια του όρου αλλά με την μορφή της καταγραφής των εξουσιών. Καθημερινά οι Ίνκας μετέφεραν και παραλάμβαναν μηνύματα σε μια περιοχή που κάλυπτε σχεδόν όλες τις Άνδεις. Αυτό γινότανε μέσω ενός εκτεταμένου οδικού δικτύου και με την βοήθεια δρομέων.
Το εργαλείο που χρησιμοποιούσαν για την μεταφορά των πληροφοριών πέρα από τον προφορικό λόγο ήταν τα Quipu. Τα Quipu ήταν ένα είδος διακοσμητικού υφαντού φτιαγμένο από χρωματιστά νήματα και επινοήθηκε αρχικά από τους Ινδιάνους. Το μεγαλύτερο μέρος των quipu καταστράφηκε από Ισπανούς κατακτητές ενώ όσα σώθηκαν βρέθηκαν κλεισμένα σε αεροστεγεις σπηλιές μαζί με μούμιες των Ινκας.
Σήμερα υπολογίζεται οτι υπάρχουν περίπου 600 quipu τα οποία βρίσκονται σε διάφορα μουσεία και συλλογές ανα τον κόσμο. Χάρη σε αυτά οι επιστήμονες κατάφεραν να ανακαλύψουν και να μελετήσουν ένα από τα πλέον εντυπωσιακά στοιχεία του πολιτισμού των ΄Ινκας: το σύστημα μεταφοράς δεδομένων.
Τα quipu αποτελούνταν από έναν οριζόντιο σπάγκο μήκους περίπου ενός μέτρου,πάνω στον οποίο ήταν δεμένοι κατακόρυφα πολλοί άλλοι σπάγκοι διαφόρων χρωμάτων. Αρχικά τα quipu χρησιμοποιούνταν ως αριθμητική μέθοδος με την οποία κατέγραφαν τα διάφορα προϊόντα που μετακινούσαν από περιοχή σε περιοχή.
Ανάλογα με το χρώμα ο κάθε σπάγκος μετρούσε ένα άλλο είδος. Οι λευκοί σπάγγοι αντιστοιχούσαν στο μαλλί, οι κίτρινοι στο χρυσό, οι καφετί στους καρπούς. Στην συνέχεια οι Ίνκας άρχισαν να χρησιμοποιούν την μέθοδο αυτή για να καταγράφουν τους φόρους, τις μετακινήσεις πληθυσμών, ακόμη και τον αριθμό των στρατιωτών που υπήρχε σε κάθε περιοχή στον οποίο αντιστοιχούσαν τα κόκκινα νήματα.
Είχαν ανακαλύψει τον δυαδικό κώδικα, 500 χρόνια πριν εφευρεθεί ο ηλεκτρονικός υπολογιστής!
Μια πιο σύγχρονη έρευνα έγινε από τον ανθρωπολόγο του Harvard, καθηγητή Gary Urton, ο οποίος κατάφερε να μελετήσει 450 από τα διασωθέντα quipu. Τα ευρήματα του, προκαλούν δέος για τον πολιτισμό των Ινκας: "Τα κορδόνια και οι κόμποι των quipu περιέχουν ένα δυαδικό κώδικα παρόμοιο με αυτόν που χρησιμοποιούν σήμερα οι υπολογιστές, ικανό να μεταβιβάσει περισσότερους από 1.500 χαρακτήρες".
Ο δημιουργός του quipu κάθε φορά έπρεπε να πάρει μια απόφαση μεταξύ δύο πιθανοτήτων: παραδείγματος χάρη να κρεμάσει το κορδόνι στο μπροστινό ή στο πίσω μέρος του βασικού οριζόντιου σπάγκου ή να δέσει ένα μάλλινο ή ένα βαμβακερό κορδόνι κλπ. Με δεδομένο οτι οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν 24 διαφορετικά χρώματα σπάγκων για την δημιουργία ενος quipu, οι  δυνατοί συνδυασμοί που τελικά είχαν σε έναν κώδικα ήταν 1536.
Με απλά λόγια, εάν δεχτούμε πως όλα αυτά είναι γεγονότα, τότε οι Ινκας είχαν ανακαλύψει έναν δυαδικό κώδικα που τους επέτρεπε να μεταφέρουν περίπου 1536 μονάδες πληροφοριών και ο οποίος μοιάζει πολύ με αυτόν των σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο Urton υποστηρίζει οτι με το σύστημα αυτό οι Ίνκας όχι μόνο κατέγραφαν αριθμητικές πληροφορίες αλλά είναι πολύ πιθανό να περνούσαν στα quipu και την ιστορία του πολιτισμού τους.

Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό,επαναληπτικό και θεσιακό.

3000 π.Χ.-700 μ.Χ. Οι Ινδοί έχουν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, το οποίο χρησιμοποιείται παγκοσμίως και το οποίο διέδωσαν οι Άραβες.

Η Πρώτη προσπάθεια εισαγωγής των Ινδοαραβικών αριθμητικών ψηφίων στην Ευρώπη έγινε από τον Φιμπονάτσι (1180-1250 μ.Χ.). Για να τα υιοθετήσουν όμως οι Ευρωπαίοι χρειάστηκαν ακόμα 400 χρόνια. Ακόμα και στο τέλος του 16ου αιώνα, η αποδοχή των αρνητικών αριθμών, των ρητών αριθμών και του 0 δεν ήταν πλήρης (πολλοί θεωρούσαν το μηδέν δημιούργημα του Διαβόλου).


Ελληνικό σύστημα αρίθμησης
600 π.Χ. – 300 μ.Χ. Τα επιτεύγματα των Ελλήνων, για 1000 χρόνια επισκιάζουν όλα τα πνευματικά επιτεύγματα των επόμενων 1500 ετών. Χρησιμοποιούσαν δύο είδη αριθμητικών συστημάτων με βάση το 10: το Ηρωδιανό ή Αττικό και το Ιωνικό ή Αλεξανδρινό. Δε χρησιμοποιούσαν τιμές θέσης όπως έκαναν οι Βαβυλώνιοι και όπως γίνεται σήμερα. Επίσης δε χρησιμοποιούσαν το μηδέν και τα κλάσματα.
Πολλαπλασιασμός. Αριστερά αρχαίο Ελληνικό σύστημα , δεξιά σημερινή γραφή.
 
Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να κάνουνε πολύπλοκους υπολογισμούς με απόλυτη ακρίβεια. Τα ψηφία 1, 2, 3, ... που συνηθίζουμε σήμερα ακόμα δεν είχαν ανακαλυφτεί, αφού πρώτοι τα εφάρμοσαν οι μεταγενέστεροι Άραβες. 
Έγραφαν όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 999 με γράμματα του αλφαβήτου και με την βοήθεια σημείων στίξεως, τα οποία ήταν
«΄» η κεραία επάνω και μετά από το γράμμα,
«,» η ανάποδη κεραία κάτω και πριν από το γράμμα,
«.» η τελεία μεταξύ των γραμμάτων
«¨» τα διαλυτικά επάνω από το γράμμα.
Χρησιμοποιούνται και κεφαλαία, κυρίως για δυναστικά ονόματα και κεφάλαια βιβλίων.

Έτσι έχουμε
α΄ β΄ γ΄ δ΄ ε΄ ϛ΄ ζ΄ η΄ θ΄ τους αριθμούς 1 2 3 4 5 6 7 8 9 αντίστοιχα
ι΄ κ΄ λ΄ μ΄ ν΄ ξ΄ ο΄ π΄ ϟ΄ τους αριθμούς 10 20 30 ... 90 αντίστοιχα
ρ΄ σ΄ τ΄ υ΄ φ΄ χ΄ ψ΄ ω΄ ϡ΄ τους αριθμούς 100 200 300 ... 900 αντίστοιχα

Το Ϝ´ χρησιμοποιείτο ως έξι στην αρχαιότητα. Αντικαταστάθηκε από το στίγμα σταδιακά, αφού είχε πάψει πρώτα να χρησιμοποιείται ως γράμμα. Τις τελευταίες δεκαετίες το στίγμα εξαφανίστηκε από τον γραπτό λόγο για πρακτικούς κυρίως λόγους και τη θέση του πήρε το ΣΤ΄.
Ξεκινώντας από αυτό το σύστημα γραφής, οι πιο σύνθετοι αριθμοί γράφονταν ως σειρά γραμμάτων, έτσι ώστε το άθροισμα να μας δίνει τον συγκεκριμένο αριθμό. Τα γράμματα γράφονταν και διαβάζονταν από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Παραδείγματα
Ο αριθμός 153 γραφόταν «ρνγ΄» ή «ρνγ».
Ο αριθμός 780 γραφόταν «ψπ΄» ή «ψπ».
Ο αριθμός 306 γραφόταν «τϛ΄».

Οι χιλιάδες (1000, 2000, κλπ) εκφραζόντουσαν με τα ίδια γράμματα όπως οι εννιά μικροί αριθμοί, είχαν όμως για διακριτικό τον τόνο εμπρός και κάτω του γράμματος.

Παραδείγματα
Το «,δ΄» σήμαινε 4.000, ενώ
το 1823 γραφόταν «,αωκγ΄», και
το «,αζ΄» σήμαινε 1.007.
Συνοπτικά
 
Για τους αριθμούς 1-9999 χρησιμοποιούνταν τα εξής γράμματα:
Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία Γράμμα Αξία
Α´ 1 Ι´ 10 Ρ´ 100 ͵Α 1000
Β´ 2 Κ´ 20 Σ´ 200 ͵Β 2000
Γ´ 3 Λ´ 30 Τ´ 300 ͵Γ 3000
Δ´ 4 Μ´ 40 Υ´ 400 ͵Δ 4000
Ε´ 5 Ν´ 50 Φ´ 500 ͵Ε 5000
Ϛ´ 6 Ξ´ 60 Χ´ 600 ͵Ϛ 6000
Ζ´ 7 Ο´ 70 Ψ´ 700 ͵Z 7000
Η´ 8 Π´ 80 Ω´ 800 ͵H 8000
Θ´ 9 Ϟ´ 90 Ϡ´ 900 ͵Θ 9000
Μυριάδες
Για τους αριθμούς μεγαλύτερους του 9.999 χρησιμοποιούταν ο όρος "μυριάς" ή "μυριάδες", το οποίο υποδηλώνονταν με το γράμμα «Μ» ή την συντόμευση «Μυ», το οποίο προηγείτο του αριθμού, και είχε τα γράμματα από πάνω. Ο Διόφαντος χρησιμοποιούσε για απλούστευση την τελεία, χρησιμοποιώντας τα ίδια γράμματα, και μάλιστα με τρόπο πολύ ανάλογο του σημερινού δεκαδικού συστήματος.
 
Ο Αρχιμήδης κατόρθωσε με γεωμετρικούς, αλλά και αριθμητικούς υπολογισμούς να εκτιμήσει τον αριθμό των κόκκων άμμου της Γης, πράγμα αφάνταστο για την εποχή του, αφού οι τότε επιστήμονες αρκούνταν να πιστεύουν ότι οι κόκκοι της άμμου είναι «αμέτρητοι». Το έργο του αυτό, με τον τίτλο Ψαμμίτης είναι ορόσημο της μαθηματικής επιστήμης.
Ο Ψαμμίτης ("Άμμου Καταμέτρης") είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα έργα του και αποτελεί υπό μια έννοια την πρώτη επεξηγηματική εργασία.
Προκειμένου να το επιτύχει, έπρεπε πρώτα να επινοήσει ένα σύστημα ονομασίας μεγάλων αριθμών, ώστε να ορίσει ένα άνω όριο· ξεκίνησε λοιπόν από τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής, την μυριάδα μυριάδων. Η μυριάς ισούται με 10.000, συνεπώς η μυριάς μυριάδων ισούται με 10.000Χ10.000=100.000.000, εκατό εκατομμύρια.
Το σύστημα μέτρησης του Αρχιμήδη φτάνει μέχρι τον αριθμό: " μυριάδα μυριάδων εις την μυριοστή μυριάδα και όλο εις την μυριοστή μυριάδα". Ένας άλλος τρόπος να περιγραφεί αυτός ο αριθμός είναι μια μονάδα ακολουθούμενη από 80 τετρακισεκατομμυρια μηδενικά... Συγκρινόμενο με αυτήν την ποσότητα, το ούτως ή άλλως ασύλληπτα μεγάλο googol (η μονάδα ακολουθούμενη από 100 μηδενικά, 10100) φαντάζει πολύ πενιχρό. Για να έχει ο αναγνώστης μια αίσθηση του μέτρου των μεγεθών, το σύνολο των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων και ηλεκτρονίων) σε όλο το σύμπαν υπολογίζεται κάπου ανάμεσα στο 1070 και 1085, αρκετές τάξεις μεγέθους κάτω από το googol.

Λατινικό σύστημα αρίθμησης
Τα λατινικά ψηφία απορρέουν από το σύστημα αρίθμησης της αρχαίας Ρώμης και χρησιμοποιούνται μέχρι και σήμερα (όπως και τα αντίστοιχα ελληνικά). Οι δέκα πρώτοι λατινικοί αριθμοί είναι οι εξής:
Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, V, VI, VII, VIII, IX και X.
Είναι δεκαδικό σύστημα , μη θεσιακό(επαναληπτικό δηλαδή) και δεν έχει το 0. 
Σήμερα τους συναντάμε συνήθως σε αριθμημένες λίστες (όπως είναι το περίγραμμα ενός άρθρου), σε ρολόγια, σε σελίδες πριν το κυρίως σώμα του βιβλίου,  στους μήνες του χρόνου, σε διαδοχές αξιωμάτων , σε παιδιά με τα ίδια ονόματα , αλλά και στην μουσική.

Επίλογος
Όλα τα παραπάνω συστήματα  περιλαμβάνουν την πενταδική, δεκαδική και εικοσαδική αρίθμηση που λόγω πρακτικών ευκολιών στους υπολογισμούς, χρησιμοποιήθηκε αλλά και χρησιμοποιείται και σήμερα στην καθημερινότητα μας. Υπάρχουν όμως και συστήματα αρίθμησης που έχουν ως βάση το 2 ή και δυνάμεις του. Τα πιο διαδεδομένα είναι το δεκαεξαδικό , το οκταδικό και το δυαδικό.Τα συστήματα αυτά χρησίμευσαν κυρίως στην μεταφορά και επεξεργασία δεδομένων στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ειδικά το δυαδικό σύστημα με μόνο δύο σύμβολα το 0 και  το 1 , έχει τεράστια εφαρμογή σε όλα τα ηλεκτρονικά κυκλώματα τα οποία μπορούν να βρίσκονται μόνο σε δύο καταστάσεις: ανοιχτό - κλειστό, αληθές - ψευδές , αγωγή ρεύματος - διακοπή ρεύματος.

Πηγές: Κώστας Τραχανάς , "Σύντομη ιστορία των μαθηματικών"
            http://blogthea.gr/
            http://el.wikipedia.org  
            http://www.pyles.tv/

Παρασκευή, 17 Δεκεμβρίου 2010

Το κοτόπουλο από το Μίνσκ

Είναι γνωστή η αγάπη των Ρώσων για τα μαθηματικά. "Εξαιτίας της αυστηρής εκπαίδευσης στη Ρωσία  οι φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά ήταν ευχάριστο αντικείμενο και είχαν το χαρακτήρα του παιχνιδιού" αναφέρει ο καθηγητής Yuri B. Chernyak (παν/μιο Μόσχας , ΜΙΤ). Ο ίδιος μαζί με τον Robert M. Rese (καθηγητής στο ΜΙΤ) συγκέντρωσαν έναν μεγάλο αριθμό από προβλήματα φυσικής και μαθηματικών υπό τη μορφή παιχνιδιού , αλλά και πολλούς γρίφους κυρίως προερχόμενους από τη ρωσική παράδοση. Αρχικά κάποια από τα προβλήματα αυτά χρησιμοποιήθηκαν σε πρόγραμμα που πραγματοποιήθηκε σε ένα εργαστήρι του ΜΙΤ , κατά το οποίο μια μικρή κοινότητα από σπουδαστές  θα προσπαθούσε να βρει από μόνη της  τον κατάλληλο γι'αυτήν τρόπο μάθησης .

Το ομώνυμο πρόβλημα του βιβλίου "Το κοτόπουλο από το Μινσκ" , που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Σαββάλα , είναι ένας έξυπνος γεωμετρικός γρίφος που περιλαμβάνει τον αριθμό π. 


Το κοτόπουλο από το Μινσκ εναντίον του δικτύου πληροφοριών
Ένα καλώδιο με οπτικές ίνες , το οποίο περιλείει κυκλικά τη Γη, διέρχεται τυχαία μέσα από ένα ορνιθοτροφείο στο Μινσκ. Τα κοτόπουλα αρνούνται πεισματικά να δρασκελίσουν το καλώδιο ή να πετάξουν πάνω από αυτό. Δέχονται μόνο να περάσουν κάτω από αυτό. Προφανώς το καλώδιο θα πρέπει να ανυψωθεί από το έδαφος κατά 1 μέτρο , διαφορετικά τα κοτόπουλα κινδυνέυουν. Για τεχνικούς λόγους , αν γίνει αυτό στην περιοχή του ορνιθοτροφείου, θα πρέπει να γίνει το ίδιο και σε όλες τις θέσεις από τις οποίες διέρχεται το καλώδιο (δηλαδή σε όλο το κύκλο του καλωδίου γύρω από τη Γη). Ο πτηνοτρόφος αρνείται να περάσει το καλώδιο μέσα από το αγρόκτημά του αν αυτό δεν ανυψωθεί. Ο αρμόδιος υπάλληλος του απαντά ότι αυτό θα γίνει , αρκεί ο πτηνοτρόφος να πληρώσει 1 δολάριο για κάθε μέτρο του συμπληρωματικού καλωδίου που θα χρειαστεί. Ο πτηνοτρόφος δέχεται με τον όρο να επιβαρυνθεί το κράτος το κόστος για τα υποστηρίγματα της καλωδίωσης. Τελικά τι επιβάρυνση θα έχει ο πτηνοτρόφος;


 ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΥΠΑΡΧΕΙ Η ΛΥΣΗ




Λύση: Γνωρίζουμε ότι η περιφέρεια ενός κύκλου έχει μήκος L=2πR , όπου R η ακτίνα του κύκλου.
Αν όπου R βάλουμε την ακτίνα της Γης , τότε το L μας δίνει την περιφέρεια της Γης.
Όποιο και αν είναι το μήκος της ακτίνας R , αν αυτό αυξηθεί κατά 1 μέτρο θα γίνει R+1.
Οπότε το νέο μήκος L΄ της περιφέρειας του υπερυψωμένου κατά 1 μέτρο κύκλου καλωδίων θα είναι L΄= 2π(R+1) = 2πR+2π = L+2π , δηλαδή κατά 2π ή περίπου 6,28 μέτρα μεγαλύτερο.
Ο πτηνοτρόφος θα πληρώσει μόνο 6,28 δολάρια!


Σημείωση από "ο άγνωστος χ" 
Το πρόβλημα έχει θετική κατάληξη για τις κότες και τον πτηνοτρόφο ο οποίος θα πληρώσει μόνο περίπου 6,28 δολάρια ,  δυσάρεστη μάλλον για το κράτος γιατί το κόστος  για τα στηρίγματα θα είναι τεράστιο και το μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να δημιουργηθεί είναι αν , λόγω γραφειοκρατίας π.χ. το κράτος ζητήσει από τον πτηνοτρόφο να πληρώσει επακριβώς το προηγούμενο ποσό. Τότε λόγω των ιδιοτήτων του αριθμού π , το πόσο 2π δολάρια θα ήταν αδύνατο να πληρωθεί στο 100%.   

Κυριακή, 12 Δεκεμβρίου 2010

Το ξέρεις ότι η ημερομηνία γέννησης σου υπάρχει μέσα στα ψηφία του αριθμού π;


Στην Ευκλείδια Γεωμετρία ο πραγματικός αριθμός π προκύπτει από το λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του. Από τα παλιά χρόνια λοιπόν οι άνθρωποι μπορούσαν να αντιληφθούν την ύπαρξη αυτού του αριθμού , ως πιο απλά την πλήρη περιστροφή που κάνει ένας κύκλος πάνω σε μια ευθεία γραμμή.
 Όπως βλέπουμε στο παραπάνω σχεδιάγραμμα η πλήρης περιστροφή του κύκλου στον άξονα του συμπληρώνεται στην τιμή 3,14 , τον αριθμό π.

Ιστορικά οι πρώτες προσπάθειες υπολογισμού του π ξεκίνησαν πριν από 4000 χρόνια , όταν η Βαβυλώνιοι άρχισαν να χτίζουν τη Βαβυλώνα. Τότε ασχολήθηκαν ιδιαιτέρως με τη γεωμετρία και υπολόγισαν ότι όταν η περιφέρεια ενός κύκλου διαιρεθεί με τη διάμετρο του το αποτέλεσμα είναι πάντοτε περίπου τρια. Συγκεκριμένα το υπολόγισαν ως το λόγο 25/8 , τιμή που απέχει μόλις κατά 0,5% από την πραγματική. Βέβαια η μη χρήση ακόμα του δεκαδικού συστήματος δίνει τις όποιες προσπάθειες υπολογισμού του π , στη μορφή λόγου και όχι δεκαδικού αριθμού. Η πιο παλιά και ακριβής μέτρηση θεωρείται ότι έγινε το 1650 π.Χ. από τον Αιγύπτιο Αχμές που τον όρισε ως το λόγο 256/81 , περίπου ίσο με 3,160. Εκείνος όμως ο οποίος θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό π σε μια πιο θεωρητική βάση ήταν ο Αρχιμήδης, γι' αυτό και το π είναι γνωστό και ως σταθερά του Αρχιμήδη. Κινέζοι, Ινδοί και Πέρσες σοφοί προσπάθησαν όλοι να υπολογίσουν τη σταθερά αυτή. Όταν τον 10ο μ.Χ. αιώνα διαδόθηκαν οι Αραβικοί αριθμοί και το δεκαδικό σύστημα  στην Ευρώπη , άρχισαν οι προσπάθειες υπολογισμού του π να γίνονται πιο έντονες και ο δρόμος να φαίνεται πιο μακρινός. Το όνομα με το οποίο τoν γνωρίζουμε σήμερα του δόθηκε το 1706, όταν ο Ουαλλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζόουνς πρότεινε να ονομαστεί η σταθερά του Αρχιμήδη με το ελληνικό γράμμα π, από τη λέξη «περιφέρεια».
Το 1761 ο Γιόχαν Λάμπερτ απέδειξε ότι το π είναι άρρητος αριθμός. Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών. 
Η δεύτερη μεγάλη ανακάλυψη σημειώθηκε το 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π έχει μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα: είναι υπερβατικός αριθμός. Στην αλγεβρική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Στη γεωμετρική ορολογία αυτό σημαίνει ότι το π αποτελεί την απόδειξη του παλαιού ρητού ότι δεν μπορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνο έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να φτιάξει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο. Ουσιαστικά το π δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός.


Η επίμονη όμως αναζήτηση των ψηφίων του π πρέπει να ξεκίνησε από τον Γερμανό μαθηματικό Λούντολφ βαν Τσόι-λεν, ο οποίος γύρω στο 1600 υπολόγισε τα πρώτα 35 δεκαδικά ψηφία του π. Ηταν τόσο υπερήφανος γι᾿ αυτό το έργο, στο οποίο αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του, που ζήτησε να γράψουν τα 35 ψηφία στην επιτύμβια στήλη του. Εξίσου επίμονος, ο Γουίλιαμ Σανκς αφιέρωσε 20 χρόνια στους υπολογισμούς του προχωρώντας το π στα 707 δεκαδικά ψηφία. Δυστυχώς το επίτευγμα του υπέστη τεράστιο πλήγμα όταν οι πρώτο ψηφιακοί υπολογιστές ανακάλυψαν ότι είχε κάνει λάθος στο 528ο δεκαδικό ψηφίο, αχρηστεύοντας όλα τα επόμενα.


Σήμερα έχει πλέον διαπιστωθεί ότι ο αριθμός αυτός δεν τελειώνει ποτέ , ούτε υπάρχει κάποια λογική συνέχεια των δεκαδικών του ψηφίων. Τα ρεκόρ υπολογισμού ψηφίων του π διαδέχονται το ένα το άλλο. Στις αρχές του 2010 ο Φαμπρίς Μπελάρντ χρησιμοποίησε έναν απλό επιτραπέζιο υπολογιστή για να κάνει το νέο υπολογισμό, που του πήρε 131 μέρες συνολικά και έδωσε 2,7 τρις εκατομμύρια ψηφία , χρησιμοποιώντας πάνω από ένα terabyte για να τον αποθηκεύσει στον σκληρό δίσκο.
Το προηγούμενο ρεκόρ με περίπου 2,6 τρισ. ψηφία κατείχε, από τον Αύγουστο του 2009, ο Νταϊσούκε Τακαχάσι του πανεπιστημίου Τσουκούμπα της Ιαπωνίας και του είχε πάρει 29 ώρες, αλλά με την υποστήριξη ενός σούπερ-κομπιούτερ 2.000 φορές πιο γρήγορου και χιλιάδες φορές πιο ακριβού από τον κοινό υπολογιστή που χρησιμοποίησε ο Μπελάρντ.
Βέβαια οι προσπάθειες συνεχίζονται γιατί πέρα από το γόητρο , τη διασκέδαση και την καθαρή περιέργεια, η αναζήτηση του π αποτελεί όχημα για τον έλεγχο αλγορίθμων και υπολογιστών.
Το τελευταίο ρεκόρ που βρήκα το έκανε ένας ερευνητής της yahoo υπολογίζοντας 2 τετράκις εκατομμύρια ψηφία που ακολουθούν την υποδιαστολή. Ο Νίκολας Ζι χρειάστηκε τους υπερυπολογιστές της yahoo και 23 ημέρες, για να υπολογίσει τα 2.000.000.000.000.000 ψηφία της σταθεράς, ενώ αν χρησιμοποιούσε ένα απλό υπολογιστή θα χρειαζόταν περισσότερα από 500 χρόνια!

Το αξιοσημείωτο είναι πως λόγω του τεράστιου αριθμού των δεκαδικών ψηφίων του , έστω και με αυτά που έχουν ήδη βρεθεί, αν κάποιος ψάξει αρκετά ανάμεσα τους, θα βρει τον αριθμό της ταυτότητάς του, τον αριθμό του διαβατηρίου του, τον αριθμό του τηλεφώνου του, την ημερομηνία γεννήσεώς του και γενικά οποιονδήποτε αριθμό.
Για παράδειγμα η ημερομηνία "28 Oκτωβρίου 1940", γραμμένη στη μορφή  28101940, εμφανίζεται μετά από 7.641.792 δεκαδικά ψηφία:
π = 3,14159......................……............379121928101940…….
                   7.641.792 δεκαδικά ψηφία

Επειδή είναι σίγουρο ότι ο αριθμός π θα συνεχίσει να μας απασχολεί και στο μέλλον , έχει καθιερωθεί και η 14 Μαρτίου ως "ημέρα του π" (Pi day) , από τα τρία πρώτα ψηφία του (3/14). Χρόνια πολλά π!


Πηγή: http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_%CF%80

Σάββατο, 4 Δεκεμβρίου 2010

Το πρόβλημα των σχοινιών του Maier

Η ικανότητα και αποτελεσματικότητα ενός ατόμου στη λύση προβλημάτων επηρρεάζεται , εκτός από τους γενικούς παράγοντες νοημοσύνης του, και από  παράγοντες που έχουν σχέση με την προϋπάρχουσα γνώση και πείρα του ατόμου.
Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι τα άτομα που έχουν περισσότερες γνώσεις είναι πολύ πιθανόν να παρουσιάζουν μεγαλύτερη ευχέρεια και αποτελεσματικότητα στη λύση προβημάτων. Η γνώση αυτή δεν είναι απλώς περισσότερη για τα συγκεκριμένα θέματα , αλλά και καλύτερα οργανωμένη  στη μνήμη, με αποτέλεσμα τα άτομα να εντοπίζουν ευχερέστερα τα στοιχεία εκείνα του προβλήματος που μπορούν να οδηγήσουν στη λύση του.
Η διαδικασία με την οποία συσχετίζουμε την προϋπάρχουσα γνώση σε νέες καταστάσεις χαρακτηρίζεται ως "μεταβίβαση"(transfer). H επιτυχία της μεταβίβασης αυτής είναι συνάρτηση των ομοίων στοιχείων που υπάρχουν μεταξύ της αποκτημένης γνώσης και της νέας κατάστασης του προβλήματος που έχουμε να λύσουμε.

Όμως , ενώ δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η προϋπάρχουσα γνώση κατά κανόνα διευκολύνει τη λύση προβλημάτων , είναι πιθανόν να αποτελεί ταυτόχρονα και ανασταλτικό παράγοντα. Αυτό οφείλεται στο ότι η εμπειρία μας για παράδειγμα στη χρήση αντικειμένων , περιορίζει τη δυνατότητα αξιοποιήσής τους για άλλο σκοπό. Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει ονομαστεί "λειτουργική προσκόλληση" και έχει αποδειχθεί στην κλασική μελέτη του Maier.

 Σε αυτήν την μελέτη το άτομο βρισκόταν σε ένα δωμάτιο και σκοπός του ήταν να δέσει δύο σχοινιά που κρέμονταν από την οροφή του δωματίου.
Όμως η απόσταση  μεταξύ των σχοινιών ήταν τόσο μεγάλη που ήταν αδύνατο στο άτομο να τα πιάσει ταυτόχρονα. Εκτός των σχοινιών στο δωμάτιο υπήρχαν και άλλα αντικείμενα μεταξύ των οποίων μια καρέκλα και μια τανάλια. 
Τα περισσότερα άτομα προσπαθώντας να λύσουν το πρόβλημα χρησιμοποίησαν διάφορες μεθόδους (όπως ανέβηκαν στην καρέκλα) , χωρίς αποτέλεσμα.
Για να λυθεί το πρόβλημα έπρεπε η τανάλια να δεθεί στο ένα σχοινί και να αφαιθεί να αιωρείται ως εκκρεμές. Ταυτόχρονα, κρατώντας το άλλο σχοινί θα μπορούσε να πιάσει το σχοινί με την κρεμασμένη τανάλια και έτσι να τα δέσει μεταξύ τους.

Το ζήτημα αυτό θα πρέπει να βρίσκεται στο μυαλό των μαθητών όταν καλούνται να αντιμετωπίσουν ένα πρόβλημα(όχι απαραίτητα μαθηματικό). Οι γνώσεις και η εμπειρία τους από παρόμοια προβλήματα θα πρέπει να μεθοδεύει τις όποιες προσπάθειες για λύση του , χωρίς όμως να περιορίζουν τη φαντασία τους. Μην ξεχνάμε ότι κινητήρια δύναμη όλων των επιστημών (και πόσο μάλλον των μαθηματικών) είναι η φαντασία και όχι η λογική.

Πηγή: Γνωστική Ψυχολογία - Κων/νος Πόρποδας (Έκδοση του Παν/μιου Πατρών)

Παρασκευή, 3 Δεκεμβρίου 2010

Οι αριθμοί Fibonacci

Ποιος ήταν ο Fibonacci
Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στην Πίζα τη δεκαετία του 1170 και πέθανε αυτή του 1240. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Πίζα και στη Φλωρεντία. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (υιός του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του.
Στον μαθηματικό κλάδο είναι γνωστός για τη συμβολή του στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό και για τους αριθμούς του που, όπως θα δούμε, είναι μία ακολουθία αριθμών για τους οποίους η φύση παρουσιάζει ιδιαίτερη προτίμηση, γεγονός που ακόμα και σήμερα δεν είναι πλήρως κατανοητό.

Το πρόβλημα με τα κουνέλια
Το πρόβλημα που μελέτησε και τον οδήγησε μάλλον τυχαία  στον ορισμό της ακολουθίας του, αφορούσε την αναπαραγωγή κουνελιών. Το έθεσε στο ιστορικό βιβλίο του Liber Abaci(βιβλίο των υπολογισμών) που πρωτοδημοσιεύθηκε το 1202.

Το πρόβλημα έχει ως εξής:
Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;

Απάντηση:
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια                      
Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι                        
Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια     
Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση ακόμη,  δηλαδή 3 ζευγάρια.                                                                   
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο. Σύνολο 5 ζευγάρια                                                                                 


Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.

Άρα οι αριθμοί Fibonacci είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,.....  με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.

1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,.....


Οι αριθμοί Fibonacci και ο χρυσός λόγος φ
Η δεύτερη και σημαντικότερη ιδιότητα των αριθμών αυτών είναι η εξής:
Αν διαιρέσουμε κάθε αριθμό με τον επόμενό του , τότε οι λόγοι που θα βρούμε τείνουν να προσεγγίσουν τον άρρητο αριθμό 0,618... , το γνωστό χρυσό αριθμό που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ.

Δείτε μερικά παραδείγματα:   8:13=0,615..
                                               13:21=0,619..
                                               21:34=0,6176..
                                34:55=0,61818.. και όσο συνεχίζουμε τόσο πιο κοντά στον αριθμό φ βρισκόμαστε. 


Ο αριθμός φ δεν ήταν άγνωστος στους αρχαίους Έλληνες. Ο Πυθαγόρας ήταν από τους πρώτους που παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία , αλλά με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες.
Τα σχέδια των λουλουδιών , η ανάπτυξη των φύλλων γύρω από το μίσχο , η ανάπτυξη των βελόνων στα έλατα κ.α. ακολουθούν τις προηγούμενες ακολουθίες. Χρησιμοποιήθηκε στην αρχιτεκτονική (Παρθενώνας) , στη ζωγραφική (Μόνα Λίζα) με τα γνωστά τέλεια αποτελέσματα. Τους αριθμούς Fibonacci τους συναντάμε επίσης στο ανθρώπινο χέρι (κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάχτυλα, κάθε δάκτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις) , στο ανθρώπινο πρόσωπο , στη δομή του DNA και ίσως σχεδόν παντού στη φύση.  

Τα παρακάτω video είναι από το youtube και νομίζω αξίζει να τα δείτε:

video1:




video 2:
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...