Τετάρτη, 11 Δεκεμβρίου 2013

Τεχνητή νοημοσύνη μαθαίνει τον κόσμο από τις εικόνες του Διαδικτύου

 
Εδώ και μήνες, ένα πρόγραμμα που τρέχει όλο το 24ωρο σε έναν αμερικανικό υπερυπολογιστή προσπαθεί να κατανοήσει τις εικόνες του Παγκόσμιου Ιστού και να καταλήξει στους κανόνες της (ανθρώπινης) κοινής λογικής.

Το πρόγραμμα Neil (Never Ending Image Learner ή «αιώνιος μαθητής εικόνων» σε ελεύθερη απόδοση) αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο Carnegie Mellon του Πίτσμπουργκ έχει στόχο να δημιουργήσει «τη μεγαλύτερη βάση δεδομένων δομημένης οπτικής γνώσης».

Με άλλα λόγια, θέλει να μάθει να αναγνωρίζει τις οπτικές πληροφορίες και να αντιλαμβάνεται το νόημα των εικόνων όπως οι άνθρωποι.

Ο εικονολάτρης Neil βασίστηκε σε σχετικά νέες εξελίξεις στο χώρο της μηχανικής όρασης, οι οποίες επιτρέπουν στο λογισμικό να αναγνωρίζει αντικείμενα, να χαρακτηρίζει σκηνές και να προσδιορίζει ιδιότητες όπως το χρώμα, η υφή και τα υλικά.

Επιπλέον, όμως, το πρόγραμμα διατυπώνει συσχετισμούς ανάμεσα σε αυτά τα αντικείμενα και παραμέτρους προκειμένου να καταλήξει σε πληροφορίες τις οποίες οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται χωρίς καν να το σκεφτούν. Για παράδειγμα, τα αυτοκίνητα κινούνται συνήθως στους δρόμους, τα κτήρια έχουν κατακόρυφες επιφάνειες και οι πάπιες μοιάζουν κάπως με τις χήνες.

«Οι εικόνες είναι ο καλύτερος τρόπος προκειμένου να μάθει κανείς οπτικές ιδιότητες» λέει ο Άμπιναβ Γκούπτα, επίκουρος καθηγητής στο Ινστιτούτο Ρομποτικής του Carnegie Mellon. «Οι εικόνες περιλαμβάνουν επίσης πληροφορίες της κοινής λογικής. Οι άνθρωποι το κάνουν αυτό μόνοι τους και, χάρη στο Neil, ελπίζουμε ότι και οι υπολογιστές θα μπορέσουν να κάνουν το ίδιο».

Το λογισμικό τρέχει χωρίς διακοπή από τον Ιούλιο σε μια συστοιχία υπολογιστών με συνολικά 200 πυρήνες επεξεργασίας.

Σε αυτό το διάστημα έχει αναλύσει τρία εκατομμύρια εικόνες, Έχει αναγνωρίσει 1.500 διαφορετικά αντικείμενα σε μισό εκατομμύριο εικόνες και 1.200 διαφορετικές σκηνές σε εκατοντάδες χιλιάδες εικόνες.

Επιπλέον έχει καταλήξει σε 2.500 συσχετισμούς, όπως ότι οι ζέβρες απαντώνται συνήθως στη σαβάνα, ή ότι o τροχός είναι εξάρτημα των αυτοκινήτων.

Τα κατορθώματα της τεχνητής νοημοσύνης είναι διαθέσιμα για το κοινό στο δικτυακό τόπο του Νeil, Νeil-kb.com.
 
Πηγή: vima.gr
 

Δευτέρα, 2 Δεκεμβρίου 2013

Γαλιλαίος: Η Μάχη στην Αυγή της Σύγχρονης Επιστήμης

Νέα παραγωγή με θέμα «Γαλιλαίος: Η Μάχη στην Αυγή της Σύγχρονης Επιστήμης» παρουσιάζει το Ίδρυμα Ευγενίδου. Το ντοκιμαντέρ είναι αφιερωμένο στον σπουδαίο διανοητή Γαλιλαίο και συγκεκριμένα στις σημαντικές στιγμές από τη ζωή και το έργο του, που, κατά πολλούς, αποτέλεσε την αφετηρία της σύγχρονης επιστήμης.
Ακόμη, αναδεικνύει άγνωστες πτυχές του 17ου αιώνα και της διανοητικής δραστηριότητας της εποχής, με ανατρεπτικό και πρωτότυπο τρόπο. Εστιάζει με δραματοποιημένο τρόπο στις διαμάχες του Γαλιλαίου, στις πολιτικές του συμμαχίες, τα επιτεύγματά του και φυσικά στην περίφημη δίκη και καταδίκη του, τελικά, από την Ιερά Εξέταση.
 Το ντοκιμαντέρ δημιουργήθηκε από την επιστημονική ομάδα της Διαδραστικής Έκθεσης Επιστήμης και Τεχνολογίας (ΔΕΕΤ) του Ιδρύματος Ευγενίδου, σε συνεργασία με τον πρωτοεμφανιζόμενο σκηνοθέτη Πάνο Ανέστη, ο οποίος έχει σπουδάσει Ιστορία της Επιστήμης. Συγγραφέας του κειμένου και αφηγητής είναι ο Δημήτρης Πετάκος, υποψήφιος διδάκτωρ Ιστορίας της Επιστήμης, ενώ η επιστημονική επιμέλεια του κειμένου πραγματοποιήθηκε από τον Δημήτρη Κοιλάκο, φυσικό και υποψήφιο διδάκτορα Φιλοσοφίας της Επιστήμης.
Η οργάνωση της παραγωγής έγινε από τη Λήδα Αρνέλλου, διδάκτορα Επικοινωνίας της Επιστήμης.
Τον ρόλο του Γαλιλαίου ερμηνεύει ο βραβευμένος ηθοποιός Αντώνης Βλησίδης. Στον ρόλο του Καρδινάλιου Μπελαρμίνε είναι ο Νίκος Μπουρνιάς και του γραμματέα της Ιεράς Εξέτασης ο Μιχάλης Ταμπούκας. Η μουσική επιμέλεια και μίξη ήχου έγινε από τον συνθέτη Αναστάσιο Κ. Κατσάρη, υπεύθυνο για τη μουσική των παραστάσεων του Ψηφιακού Πλανηταρίου, του Ιδρύματος Ευγενίδου.
Τα γραφικά (motion graphics & animation) δημιουργήθηκαν από την εικαστικό Μίνα Ασημακοπούλου, το μοντάζ έκαναν οι Νίκος Παπαδόπουλος και Διονύσης Ξένος (ΧΥΖ Productions) και η διεύθυνση φωτογραφίας είναι του Νίκου Μιστριώτη (ΧΥΖ Productions). Όλοι οι συντελεστές αναφέρονται αναλυτικά στην ιστοσελίδα του Ιδρύματος Ευγενίδου.


Πηγή: tovima.gr

Σάββατο, 23 Νοεμβρίου 2013

Ένα βιβλίο στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Ένα πολύ καλό βιβλίο 447 σελίδων στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β Λυκείου, από τους συναδέλφους Σίσκα Χρήστο και Φακόπουλο Επαμεινώνδα.

Τρίτη, 19 Νοεμβρίου 2013

Εσύ ποιά πλευρά του εγκεφάλου χρησιμοποιείς περισσότερο;


Γνωστός ο "μύθος" για τα δύο ημισφαίρια του ανθρώπινου εγκεφάλου και του βαθμού που επηρεάζουν τη συμπεριφορά, ακόμη και τον τρόπο γραφής. 

Αν λοιπόν σας ενδιαφέρει να μάθετε ποιο από τα δύο ημισφαίρια χρησιμοποιείτε περισσότερο, αφιερώστε μόνο 30'' και κάνετε τό τεστ.

Το αποτέλεσμα δείχνει σε ποσοστό % τη χρήση αριστερού και δεξιού ημισφαιρίου. Το αριστερό αφορά δεξιότητες όπως ορθολογισμός, στρατηγική, ρεαλισμός, γλωσσομάθεια, κανόνες, αναλυτική σκέψη, ενώ το δεξί σχετίζεται με τη φαντασία, τη δημιουργικότητα, τη διαίσθηση, την περιέργεια, τις νοερές εικόνες, το χάος..

Κάντε το τεστ εδώ για να μάθετε!

Πέμπτη, 10 Οκτωβρίου 2013

To πρόβλημα του Γαλιλαίου

 
Ένας φίλος του Γαλιλαίου παρατήρησε ότι η συχνότητα εμφάνισης του ενδεχομένου να εμφανιστεί άθροισμα 9 κατά τη ρίψη τριών ζαριών, είναι διαφορετική από τη συχνότητα εμφάνισης αθροίσματος 10, ενώ θα έπρεπε να εμφανίζονται το ίδιο συχνά. 

Και αυτό διότι και τα δύο αθροίσματα σχηματίζονται με 6 τρόπους. Συγκεκριμένα:

              9=6+2+1                                              10=6+3+1
                  =5+3+1                                                  =6+2+2
                  =5+2+2                                                  =5+4+1
                  =4+4+1                                                  =5+3+2
                  =4+3+2                                                  =4+4+2
                  =3+3+3                                          =4+3+3

Ο Γαλιλαίος θεώρησε κατάλληλο δειγματικό χώρο για το συγκεκριμένο πρόβλημα το τριπλό καρτεσιανό γινόμενο του Ω={1,2,3,4,5,6} με τον εαυτό του, που δίνει:

           9=6+2+1    6 τρόποι                           10=6+3+1   6 τρόποι
                 =5+3+1     6 τρόποι                               =6+2+2   3 τρόποι
                 =5+2+2     3 τρόποι                               =5+4+1   6 τρόποι
                 =4+4+1     3 τρόποι                               =5+3+2   6 τρόποι
                 =4+3+2     6 τρόποι                               =4+4+2   3 τρόποι
                  =3+3+3     1 τρόπος                               =4+3+3  3 τρόποι

 
Δηλαδή άθροισμα 9 μπορεί να εμφανιστεί με 25 τρόπους από τους 216 συνολικά (άρα έχει πιθανότητα 25/216), ενώ άθροισμα 10 μπορεί να εμφανιστεί με 27 τρόπους από τους 216 (και άρα έχει πιθανότητα 27/216), που σημαίνει ότι είναι πιθανότερο να εμφανιστεί.

 

Σάββατο, 21 Σεπτεμβρίου 2013

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Α.Ε.Π.Π.)- Ένα πλήρες βιβλίο

Ένα πλήρες βιβλίο 578 σελίδων στο μάθημα της "Ανάπτυξης Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον"  από τον πολύ καλό συνάδελφο και φίλο Απόστολο Μεϊντάνη. 

Δυστυχώς , σύμφωνα με τα μέχρις στιγμής δεδομένα, το Νέο Λύκειο μένει χωρίς Πληροφορική. Το σχολείο θα αρκείται μόνο να μαθαίνει στους μαθητές τη χρήση του πληκτρολογίου στο Γυμνάσιο και δε θα ασχολείται καθόλου με την Πληροφορική στο Λύκειο. Ας ελπίσουμε ότι οι ιθύνοντες στο τέλος θα αλλάξουν γνώμη και οι τόσο χρήσιμες γνώσεις του προγραμματισμού θα παραμείνουν στη Γ Λυκείου.

Πέμπτη, 12 Σεπτεμβρίου 2013

Η Ηθική της Διδασκαλίας (από τον Μιχάλη Δέλτα)

 
Η Ευθύνη είναι Ακτίνα της Ηθικής. Ο κάθε Δάσκαλος οφείλει να φέρει σε πέρας το έργο του επιβεβαιώνοντας στον μαθητευόμενο ότι έπειτα από την αναγνώριση και αξιοποίηση των ικανοτήτων του, έχει αποκτήσει τη Δύναμη της Υλοποίησης, της Δράσης και της Συνέχειας. «Κανείς δεν είναι καλύτερος από κανέναν » υπενθυμίζω πάντα στους νέους μαθητές, επειδή η όποια σύγκριση θα οδηγήσει σε κατώτερα συναισθήματα ,εχθρικές σκέψεις, λάθος συμπεράσματα Εαυτού και θα ξεκινήσει μια εσωτερική παραμόρφωση στη ψυχολογία και το Νου του μαθητή, που με μαθηματική ακρίβεια θα τον οδηγήσει σε κατευθύνσεις πόνου και βαθιάς απογοήτευσης. Η Δύναμη της Μουσικής βρίσκεται στην Υπέρτατη Αλήθεια πως δεν ανήκει σε κανέναν, συνεπώς μέσω αυτού του αξιώματος τα όποια μυστικά σε προχωρημένα στάδια μάθησης παύουν να παραμένουν κρυφά. Τη Βαθύτερη Γνώση τη μεταφέρει ένας Συνειδητός Δάσκαλος όταν θεωρήσει πως ο μαθητευόμενος είναι έτοιμος να κατανοήσει και να ενδυναμώσει τις δυνατοτητές του.
 
Κανείς δεν πρόκειται να χρησιμοποιήσει μία τεχνική ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που θα ακολουθήσει κάποιος άλλος. Η υποκειμενική αντίληψη του καθενός είναι ευτυχώς αναπόφευκτη και, η ιδιαιτερότητα της προσωπικής άποψης που θα διαμορφωθεί βάζει την υπογραφή στα μουσικά έργα του εκάστοτε δημιουργού.
 
Υποχρεώσεις δεν έχει μόνο ο Δάσκαλος, έχει και ο μαθητής. Είναι υποχρεωσή του είναι να μην εξιδανεικεύσει το Δασκαλό του, γιατί αυτόματα σε ένα δεύτερο επίπεδο προετοιμάζει τη στιγμή της απογοήτευσης και της εγκατάλειψης του προτύπου του (τον Δάσκαλο). Βασική επίσης αρχή είναι ο Σεβασμός προς τον Γνώστη και πάνω απ΄όλα η προσωπική δήλωση του μαθητευόμενου, «Αποδέχομαι την αγνοιά μου,δε νιώθω μειονεκτικά, αδημονώ και μαθητεύω για τη Γνώση.»
 
Έχουν έρθει μέσα στα λίγα χρόνια που διδάσκω κάποιοι μαθητές να με κολακέψουν κι άλλοι να με ειρωνευτούν. Και οι μεν και οι δε, είχαν χαμηλή αυτοεκτίμηση και ήταν γεμάτοι εχθρότητα. Οι έντιμοι μαθητές δε λένε πολλά λόγια. Ξέρουν να ακούνε και δε ντρέπονται να ρωτήσουν, ούτε επιδιώκουν να υπερπηδήσουν ενότητες, ψευτοκατανοώντας. Δουλεύουν σκληρά με Πάθος, Αγάπη και Πίστη.
 
Στόχος μου, στο διάστημα που αντιλήφθηκα ότι έχω την ικανότητα να μεταδώσω γνώσεις σχετικές με τη δημιουργία μουσικής, Ηλεκτρονικής και μη, είναι να βοηθήσω τους μαθητές να αντιληφθούν και να καλλιεργήσουν μέσα από μια σειρά εξέλιξης, όλες τους τις ικανότητες καθώς επίσης και να εντοπίσουν τις αδυναμίες τους.
 
Οι περισσότεροι νοιώθουν πως είναι ανίκανοι να καταφέρουν οτιδήποτε, ή αισθάνονται πως είναι οι μόνοι που έχουν τη δύναμη να κάνουν κάτι εξαιρετικά καλά. Και οι δύο αυτές περιπτώσεις έχουν κοινό παρονομαστή το φόβο της πραγματικής αναγνώρισης της Αξίας, που εκφράζεται μέσα από αυτούς τους αντίθετους πόλους συμπεριφοράς. Η προσωπική απελευθέρωση επιτυγχάνεται με την αποδέσμευση από την πλάνη της πεποίθησης «Δεν αξίζω τίποτα». Μια πεποίθηση που την κουβαλάνε και οι εκπαιδευτικοί και μάλιστα σε βαθμό μεγάλο πασχίζοντας να το καλύψουν με Υπερ-Εγωικές συμπεριφορές εναντίον συναδέλφων και πολυλογίες άκαρπες για τους μαθητές.
 
Προσωπικά εμπνέομαι από τους μαθητές οι οποίοι έχουν μια κάποια σχέση με το αντικείμενο της Μουσικής. Τουλάχιστον ένα μουσικό πρόγραμμα στον υπολογιστή τους ή ένα synthesizer είναι απαραίτητη προυπόθεση για να σταθεροποιηθούν τα θεμέλια μιας διδασκαλίας. Δείχνει επίσης την ροπή του ενδιαφερόμενου και τη δράση του η οποία εξισώνεται με την επαφή των μαθημάτων.
 
Είχα την εντιμότητα να σταματήσω ιδιαίτερα μαθήματα με νέους οι οποίοι στην πορεία άλλαξαν στάση απέναντι στις απαιτήσεις των συναντήσεων, δίνοντας προτεραιότητα σε άλλα κεφάλαια της καθημερινοτητάς τους.
 
Επίσης είχα τη χαρά να έρθω σε επαφή με μαθητευόμενους ελάχιστης σχέσης με το αντικείμενο και, που μέσα σε διάστημα πέντε μηνών σημείωσαν αλματώδη και εντυπωσιακή εξέλιξη στο κομμάτι της Μουσικής Παραγωγής.
 
Μπορεί κάποιος που δεν έχει αγγίξει ποτέ πλήκτρα στη ζωή του να δημιουργήσει ένα αξιοπρεπές μουσικό έργο Ηλεκτρονικής Μουσικής σε τέσσερις με έξι μήνες;
Είναι αυτό δυνατόν να συμβεί; Η απάντηση είναι Ναι!
 
Είναι καθαρά θέμα Συντονισμού Δασκάλου και ενδιαφερόμενου, λειτουργεί σαν την παροχή του ηλεκτρικού ρεύματος για τη μεταφορά του Φωτός στην Δημιουργική Ορατότητα, βγάζοντας τον καθένα από εμάς από το Black Out της άγνοιας, προσωπικής και κοινωνικής.
Η Ειλικρίνεια είναι μια άλλη Ακτίνα της Ηθικής της Διδασκαλίας. Δημιουργεί την Εμπιστοσύνη μεταξύ Δασκάλου και μαθητή επάνω στην οποία χτίζεται ολόκληρη η σχέση Διδασκαλίας, στην οποία ο δάσκαλος μαθητεύει δίπλα στον Μαθητευομενό του πολύ σπουδαίες Αξίες για τον εαυτό του και την εξέλιξη της Διδασκαλίας του. Η Αυστηρότητα μιας σημαντικής στιγμής δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να αποκλείει την Τρυφερότητα και την εξισορρόπηση.

Οι νέοι έχουν βαθιά ανάγκη να νοιώσουν ασφάλεια και το ότι δεν τους προδίδεις. Η Μουσική για τους εκλεκτούς που θέλουν να την ανακαλύψουν, είναι ένας κόσμος Προσωπικής Ανέλιξης, Δύναμης κι Αγάπης.

Από το Σεπτέμβριο ξεκινούν μαθήματα και εμπειρίες δυνατές, με επικοινωνία και δημιουργική χαρά με μουσικές, House, Deep House,Techno, Drum n Bass & Soundtrack. Όσοι ενδιαφέρονται μπορούν να επικοινωνήσουν μαζί μου, μέσα από αυτή τη σελίδα με προσωπικό μήνυμα ή στο e-mail : mikaeldeltamusicproduction@gmail.com

Ευχαριστώ πολύ

Σας φιλώ

Μιχάλης Δέλτα

Σημείωση: Το να είσαι δάσκαλος είναι τρόπος ζωής. Το αντικείμενο που διδάσκεις δεν έχει σημασία, μπορεί να είναι μαθηματικά, αρχαία, αγγλικά ή μουσική. 


Ο Μιχάλης Δέλτα είναι ένας από τους βασικότερους εκπροσώπους μιας μουσικής σκηνής που στην Ελλάδα άρχισε να καθιερώνεται τα τελευταία χρόνια. Οι δουλειές του από τους Stereo Nova μέχρι σήμερα, έχουν αγαπηθεί και καθιερωθεί, με πολύ καλές παραγωγές αλλά και συνεργασίες.

Όλο το παραπάνω κείμενο αναπαράχθηκε από την προσωπική του σελίδα στο facebook.
 

Παρασκευή, 30 Αυγούστου 2013

20 ασκήσεις πιθανοτήτων με ιστορικό ενδιαφέρον

Luca dal Borgo ή Paccioli , 1494

 
Γεννήθηκε στην περιοχή της Τοσκάνης (βόρεια Ιταλία), πιθανότατα το 1445 από φτωχή οικογένεια. Εντάχθηκε σε ένα μοναστήρι Φραγκισκανών και εργάσθηκε ως μαθητευόμενος δίπλα σε έναν επιχειρηματία. Όμως, η αγάπη του για τα μαθηματικά τον έκανε να εγκαταλείψει γρήγορα τη μαθητεία και να εργασθεί ως μελετητής μαθηματικών. Τo 1475 γίνεται καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Περούτζια. Το 1494 εκδίδει το γνωστό βιβλίο του Summa. Ο πλήρης τίτλος ήταν "summa de Arithmetica, Geometria, proportioni et proportionalita" δηλαδή συλλογή αριθμητικής, γεωμετρίας, αναλογίας και αναλογικότητας. Ο Pacioli έγραψε τη Summa, σε μια προσπάθεια να αποκαταστήσει την κακή φήμη της διδασκαλίας των μαθηματικών στην εποχή του.
 Ένα κεφάλαιο του βιβλίου έκανε το Pacioli διάσημο. Το κεφάλαιο αυτό ήταν το "Particularis de Computis et Scripturis", μια πραγματεία σχετικά με τη λογιστική. Με αυτό, ο Pacioli  έγινε ο πρώτος που περιέγραψε το διπλογραφικό λογιστικό σύστημα. Αυτό το νέο σύστημα υπήρξε μια εμπνευσμένη σύλληψη και έφερε την επανάσταση στην οικονομία και στις επιχειρήσεις. Η Summa  του εξασφάλισε  μια θέση στην ιστορία, ως "ο πατέρας της Λογιστικής." Έγινε η πιο πολυδιαβασμένη μαθηματική εργασία σε όλη την Ιταλία, και ένα από τα πρώτα βιβλία που δημοσιεύθηκαν από τον Γουτεμβέργιο.

Είχε μαθητή τον Leonardo da Vinci ο οποίος και εικονογράφησε το δεύτερο πιο σημαντικό χειρόγραφο του "Divine Proportions", ενώ η γνώση που πήρε ο Da Vinci από τον Pacioli σχετικά με την γεωμετρία, του έδωσε την δυνατότητα  να δημιουργήσει τον πιο διάσημο πίνακα του 15ου αιώνα, γνωστό ως "Ο Μυστικός Δείπνος".

1.      Δύο ομάδες παίζουν μπάλα και κερδίζει η ομάδα που θα σημειώσει πρώτη 60 σημεία. Βάζουν στοίχημα από 22 ducats. Σε κάποια στιγμή αναγκάζονται να σταματήσουν το παιχνίδι και η μια ομάδα έχει 50 σημεία, ενώ η άλλη 30. Πώς πρέπει να μοιραστούν το βραβείο; (κάθε ομάδα έχει πιθανότητα ½ να σημειώσει σημείο)

2.      Τρεις σκοπευτές Α , Β , Γ συναγωνίζονται στην σκοποβολή. Σε κάθε τρεις βολές (μια ο καθένας) σημειώνεται αυτός που έχει την καλύτερη βολή. Νικητής είναι αυτός που θα έλθει πρώτος 6 φορές. Στοιχηματίζουν 10 ducats. Όταν ο Α έχει 4 καλύτερες βολές, ο Β τρεις και ο Γ δύο καλύτερες βολές, αναγκάζονται να σταματήσουν. Πώς πρέπει να μοιραστούν το στοίχημα; (Κάθε ένας έχει πιθανότητα 1/3 να σημειώσει την καλύτερη βολή)

Σημείωση: To 1494 o Pacioli δημοσίευσε για πρώτη φορά τέτοιου είδους προβλήματα που θα έλυναν, δύο αιώνες αργότερα οι Pascal και Fermat. Τα προβλήματα «ημιτελούς παιχνιδιού» , όπως είναι γνωστά, αφορούν το πως πρέπει να καταμεριστεί το ποσό του στοιχήματος όταν ένα παιχνίδι πολλών γύρων, ή παρτίδων, διακόπτεται χωρίς να έχει ολοκληρωθεί. Το 1654 σε επιστολή του Pascal προς τον Fermat , o Pascal δίνει λύσεις σε παρόμοια προβλήματα , κάνοντας την αρχή της περίφημης αλληλογραφίας τους , που κυριολεκτικά άλλαξε του ρου της Ιστορίας, αφού συντέλεσε στην επινόηση της θεωρίας πιθανοτήτων.

Huygens , 1657

      Ο Cristiaan Hyugens (1629-1695) ήταν Ολλανδός φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός. Γεννήθηκε στη Χάγη και σπούδασε Νομική και Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Λέιντεν και το Κολλέγιο της Οράγγης. Καταρχήν ασχολήθηκε με τις κωνικές τομές, γρήγορα όμως στράφηκε στην Αστρονομία. Με τηλεσκόπια δικής του κατασκευής ανακάλυψε τον μεγαλύτερο δορυφόρο του Κρόνου, τον Τιτάνα το 1655. Την επόμενη χρονιά ήταν ο πρώτος που πρότεινε ότι οι δακτύλιοι του Κρόνου δεν ήταν συμπαγείς αλλά αποτελούνταν από πολλά σωματίδια, όπως και ο πρώτος που εξήγησε το γεγονός ότι οι δακτύλιοι έμοιαζαν να «εξαφανίζονται» κατά περιόδους. Επίσης, ανακάλυψε μερικά διπλά άστρα και ανέλυσε το Νεφέλωμα του Ωρίωνα σε ξεχωριστά άστρα.

    Ο ίδιος , το 1657 , έγραψε το  "De Ratio ciniis in Ludo Aleae" στα ολλανδικά το οποίο μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Van Scooten και θεωρείται το πρώτο βιβλίο πιθανοτήτων. Για 60 χρόνια, μέχρι το 1700 , χρησιμοποιούνταν αυτό το βιβλίο, ως το βιβλίο για τις πιθανότητες. Ο Huygens είχε ακούσει για τα προβλήματα της διαίρεσης του στοιχήματος (ημιτελούς παιχνιδιού)  στο Παρίσι το 1655, όταν πήγε για να πάρει ένα τιμητικό διδακτορικό στα νομικά, αλλά δεν γνώριζε την αλληλογραφία Pascal-Fermat. Ο Huygens έδωσε τη σωστή λύση στο πρόβλημα του στοιχήματος και η κύρια ιδέα του ήταν η έννοια της μέσης τιμής και όχι η έννοια της πιθανότητας (ονόμαζε "τιμή της τύχης" τη μέση τιμή). Προτείνει επίσης στο βιβλίο του πέντε προβλήματα για λύση. Δύο από τα προβλήματα αυτά τα πρότεινε ο Fermat και ένα ο Pascal. Ο C. Huygens ήταν σύγχρονος του Newton και αναγνωριζόταν ως η διάνοια της εποχής του.


  1. Αν ο Α και ο Β παίζουν ένα παιχνίδι ρίχνοντας 2 ζάρια. Ο Α κερδίζει αν φέρει άθροισμα 6 και ο Β αν φέρει άθροισμα 7. Πρώτα παίζει ο Α ρίχνοντας μια φορά, μετά ο Β δύο φορές και εναλλάσουν ρίχνοντας δύο φορές ο καθένας μέχρι να κερδίσει ο ένας από τους δύο. Ποια η πιθανότητα για τους Α και Β να κερδίσουν;


  1. Τρεις παίκτες Α , Β , Γ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Σε ένα δοχείο είναι 12 σφαιρίδια από τα οποία τα 4 είναι λευκά και τα 8 μαύρα. Παίρνουν κατά σειρά από ένα σφαιρίδιο και νικητής είναι αυτός που θα πάρει πρώτος λευκό σφαιρίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα για τους Α , Β , Γ να κερδίσουν;


  1. Σε 40 τραπουλόχαρτα, τα 10 είναι κόκκινα, τα 10 κίτρινα, τα 10 μαύρα και τα 10 καφέ. Παίρνουμε τυχαία, χωρίς επανάθεση, 4 τραπουλόχαρτα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε 4 διαφορετικά χρώματα; ( ο Huygens έδωσε 1000/9139=0,109)


  1. Οι Α και Β έχουν από 12 νομίσματα και παίζουν ρίχνοντας ζάρια. Κάθε φορά που έρχεται άθροισμα 11 ο Α δίνει στον Β ένα νόμισμα, ενώ όταν έλθει άθροισμα 14 ο Β δίνει ένα νόμισμα στον Α. Κερδίζει το παιχνίδι αυτός που θα κερδίσει όλα τα νομίσματα. Ποια η πιθανότητα για τους Α , Β να κερδίσουν;

  
  1. Δύο παίκτες Α , Β παίζουν ένα παιχνίδι και όποιος κερδίσει πρώτος n παρτίδες κερδίζει το ποσό α. Καθένας έχει πιθανότητα ½ να κερδίσει μια παρτίδα. Πως πρέπει να μοιραστούν το ποσό α όταν αναγκάζονται να σταματήσουν το παιχνίδι και ο Α έχει κερδίσει  n-r παρτίδες, ενώ ο Β έχει κερδίσει n-s παρτίδες;  (r=1,s=3  ,   r=2,s=3  ,  r=2,s=4)


Montmort , 1708

O Pierre Remond de Montmort ήταν Γάλλος μαθηματικός. Γεννήθηκε στο Παρίσι το 1678 και πέθανε το 1719. Το όνομά του αρχικά ήταν μόνο Pierre Remond ή Raymond. Ο πατέρας του τον πίεσε να σπουδάσει νομικά, αλλά επαναστάτησε και ταξίδεψε στην Αγγλία και τη Γερμανία. Επιστρέφοντας στη Γαλλία το 1699, κληρονόμησε από τον πατέρα του μια μεγάλη περιουσία, με την οποία  αγόρασε ένα κτήμα και πήρε το όνομα de Montmort. Είχε φιλικές σχέσεις με πολλούς μεγάλους μαθηματικούς της εποχής του, και ιδιαίτερα με τον Bernoulli , ο οποίος και συνεργάστηκε μαζί του σε πολλά ζητήματα. Εκλέχτηκε υπότροφος του Royal Society το 1715, ενώ ταξίδεψε και πάλι στην Αγγλία, όπου και έγινε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας των Επιστημών το 1716.

Ο De Montmort είναι γνωστός για ένα βιβλίο του αφιερωμένο στις πιθανότητες και τα τυχερά παιχνίδια, στο οποίο ήταν και ο πρώτος που εισήγαγε την συνδυαστική μελέτη διαταραχών. Έδωσε επίσης και την ονομασία στο γνωστό  «τρίγωνο του Pascal».

  1. Τρεις παίκτες Α , Β , Γ παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Παίζουν τρεις παρτίδες και σε καθεμία ο καθένας έχει πιθανότητα 1/3 να κερδίσει. Ο Α κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει μια παρτίδα πριν ο καθένας από τους Β , Γ κερδίσει δυο παρτίδες. Ο Β κερδίζει το παιχνίδι αν κερδίσει δύο παρτίδες πριν ο Α  κερδίσει μια και πριν ο Γ κερδίσει δύο. Ομοίως και ο Γ. Ποια η πιθανότητα να κερδίσουν το παιχνίδι οι Α , Β , Γ; ( ο  Montmort έδωσε : Ρ(Α)=17/27 , Ρ(Β)=5/27 και Ρ(Γ)=5/27)


Euler, 1763 

Ο Leonard Euler (15 Απριλίου 1707 – 18 Σεπτεμβρίου 1783) ήταν πρωτοπόρος Ελβετός μαθηματικός και φυσικός. Έκανε σημαντικές ανακαλύψεις, σε τομείς όπως ο απειροελάχιστος λογισμός και η θεωρία γραφημάτων. Επίσης καθιέρωσε την μοντέρνα μαθηματική ορολογία και σημειογραφία, κυρίως στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης, όπως την έννοια της μαθηματικής συνάρτησης. Είναι φημισμένος για τη δουλειά του στη μηχανική, τη ρευστοδυναμική, την οπτική και την αστρονομία. Ο Euler πέρασε μεγάλο μέρος της ενήλικης ζωής του στο St. Petersburg, στη Ρωσία και στο Βερολίνο.

Θεωρείται ως ο κατ’ εξοχήν μαθηματικός του 18ου αιώνα, και ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς που έχουν υπάρξει ποτέ. Είναι επιπλέον ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς όλων των εποχών, τα άπαντά του γεμίζουν 60-80 τόμους. Μία δήλωση που δόθηκε από τον Laplace εκφράζει την επίδραση του Euler στα μαθηματικά : «διαβάστε Euler, διαβάστε Euler, είναι ο κύριος όλων μας».


  1. Σε ένα δοχείο υπάρχουν n λαχνοί με τους αριθμούς 1,2,…..,n. Παίρνουμε τυχαία k λαχνούς.
i)                    Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν r ακριβώς διαδοχικοί αριθμοί σ’ αυτούς που πήραμε.
ii)                  Αν n=90 και k=5, να βρεθούν οι πιθανότητες για r=5,4,3,2,1



 
De Moivre, 1753

Ο Abraham de Moivre (26 Μαΐου 1667 - 27 Νοεμβρίου 1754) ήταν Γάλλος μαθηματικός, διάσημος για τον τύπο του de Moivre, που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς και την τριγωνομετρία, και για το έργο του σχετικά με την κανονική κατανομή και τη θεωρία των πιθανοτήτων.
Γεννήθηκε στην Καμπανία της Γαλλίας και πέθανε στο Λονδίνο. Πέθανε φτωχός και προέβλεψε με ακρίβεια την ημερομηνία του θανάτου του: ανακάλυψε ότι κοιμόταν 15 λεπτά πιο πολύ κάθε νύχτα και με αυτήν την αριθμητική πρόοδο, υπολόγισε ότι θα πέθαινε την ημέρα που θα κοιμόταν επί 24 ώρες αν και πολλοί αναφέρονται στο γεγονός αυτό ως “ανέκδοτο” της εποχής.

10. Δύο παίκτες Α και Β έχουν από μια πλήρη τράπουλα και   παίρνουν τυχαία, χωρίς επανάθεση , από ένα χαρτί μέχρι που να πάρουν το ίδιο χαρτί. Στην περίπτωση αυτή κερδίζει ο Α, αλλιώς κερδίζει ο Β.
i)                    Να βρεθούν οι πιθανότητες για τους Α και Β να κερδίσουν αν η τράπουλα έχει 3 χαρτιά.
ii)                  Αν η τράπουλα έχει n χαρτιά, να δειχθεί ότι:                 Ρ(Α) e-1 ≈ 0,368  , όταν n τείνει στο άπειρο.


Daniel Bernoulli , 1760

O Daniel Bernoulli (8 Φεβρουαρίου 1700 - 17 Μαρτίου 1782) ήταν μαθηματικός γεννημένος στην Ολλανδία, που έζησε επί το πλείστον στην Βασιλεία της Ελβετίας, όπου και πέθανε. Γεννήθηκε σε μια οικογένεια καταξιωμένων μαθηματικών, φυσικών και μηχανικών. Ο ίδιος έδωσε βάρος σε τομείς όπως η μηχανική των ρευστών και την στατιστική.
Γεννήθηκε στο Χρόνινγκεν, γιος του Γιόχαν Μπερνούλι, ανιψιός του Γιάκομπ Μπερνούλι, νεότερος αδερφός του Νικολάου Μπερνούλι, και μεγαλύτερος αδερφός του Γιόχαν Μπερνούλι Β'. Ο Ντάνιελ είχε χαρακτηριστεί ως «μακράν ο ικανότερος από τους νεότερους Μπερνούλι».
Ήταν συνομήλικος και φίλος με τον Λέοναρντ Όιλερ. Το 1724 δίδαξε σαν μαθηματικός στην Αγία Πετρούπολη, αλλά έφυγε το 1733 δυσαρεστημένος και επέστρεψε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας, όπου κράτησε διάφορες έδρες στα τμήματα της φαρμακευτικής, της μεταφυσικής και της φυσικής φιλοσοφίας μέχρι το τέλος της ζωής του.
Το πρώτο του μαθηματικό έργο ήταν το Exercitationes (Μαθηματικές Ασκήσεις, λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Ricatti), που εκδόθηκε το 1724. Δυο χρόνια αργότερα επεσήμανε για πρώτη φορά τη συχνή ανάγκη ανάλυσης μιας σύνθετης κίνησης σε μεταφορική κίνηση και περιστροφική κίνηση. Το κύριο έργο του είναι η Υδροδυναμική (Hydrodynamica), που εκδόθηκε στα 1738 και στην οποία διατυπώνεται η θεωρία της δυναμικής των ρευστών και η περίφημη πλέον Αρχή του Μπερνούλι με την αντίστοιχη Εξίσωση Μπερνούλι. Το έργο μοιάζει με την Αναλυτική Μηχανική του Λαγκράνζ στο ότι όλα τα αποτελέσματα προκύπτουν από μια και μόνη αρχή, τη διατήρηση της ενέργειας.
Το 1778 εισήγαγε την αρχή του μέγιστου γινομένου πιθανοτήτων σε σύστημα με ταυτόχρονα σφάλματα.

  

  1. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 2n κάρτες. Δύο κάρτες έχουν τον     αριθμό 1, δύο έχουν τον αριθμό 2 κ.τ.λ. Παίρνουμε τυχαία 2n-r κάρτες. Ποια είναι η μέση τιμή του αριθμού των ζευγαριών των καρτών με τον ίδιο αριθμό, που μένουν στο δοχείο; (Κάνε εφαρμογή αν αντί για 2n κάρτες, ανακατέψουμε δύο τράπουλες που η κάθε μια έχει 52 χαρτιά.)


  1.  Σε μια λέσχη πληρώνεις στην είσοδο το ποσό α και έχεις το δικαίωμα να παίξεις το παρακάτω παιχνίδι. Ρίχνεις ένα ζάρι και αν έλθει μονός αριθμός (1,3,5) για πρώτη φορά στην k ρίψη παίρνεις το ποσό 2k. Πόσο πρέπει να είναι το ποσό α ώστε το παιχνίδι να θεωρεί δίκαιο; (μέση τιμή μηδέν)

Σημείωση: Το προηγούμενο τυχερό παιχνίδι είναι γνωστό και ως το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St.Petersburg paradox).

Ας το διατυπώσουμε και λίγο διαφορετικά:

Έστω ότι κάποιος σας προτείνει το εξής στοίχημα:
Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικές φορές. Αν την πρώτη φορά έρθει «κορώνα» θα πληρωθείτε 1 ευρώ και το παιχνίδι συνεχίζεται όσο το νόμισμα θα έρχεται «κορώνα». Ωστόσο, την δεύτερη φορά θα λάβετε 2 ευρώ, την τρίτη 4 ευρώ, την τέταρτη 8 ευρώ, κοκ. Την πρώτη φορά που θα έρθουν «γράμματα» το παιχνίδι λήγει και εσείς λαμβάνετε το ποσό που έχει συγκεντρωθεί.

Η ερώτηση που σας τίθεται, και αποτελεί το αντικείμενο του προβληματισμού σας, είναι η εξής: Ποιο είναι το ελάχιστο ποσό που είστε έτοιμοι να πληρώσετε ώστε να συμμετάσχετε στο στοίχημα;

           Λογικά σε ένα τυχερό παιχνίδι σας συμφέρει να συμμετέχετε εάν το αναμενόμενο κέρδος είναι μεγαλύτερο από το κόστος συμμετοχής.
 
           Για παράδειγμα σε ένα παιχνίδι στο οποίο κερδίζεις 10 ευρώ με πιθανότητα 1/2, σε συμφέρει να συμμετέχεις πληρώνοντας οποιοδήποτε ποσό μικρότερο από 5 ευρώ, επειδή τότε το αναμενόμενο κέρδος, πού είναι το ποσό που κερδίζεις επί την πιθανότητα να το κερδίσεις (10€ * 1/2), είναι μεγαλύτερο. Στο στοίχημα που σας προτάθηκε, και με βάση τις πιθανότητες, περιμένετε ότι θα κερδίσετε:

(1€ * 1/2) + (2€ * 1/4) + (4€ * 1/8) + (8€ * 1/16) +...

το οποίο είναι:

0,5€ + 0,5€ + 0,5€ + 0,5€ +...

Επειδή η πρώτη «κορώνα» μπορεί να καθυστερήσει απεριόριστες επαναλήψεις να εμφανισθεί, προκύπτει ότι το συνολικό αναμενόμενο κέρδος είναι θεωρητικά άπειρο και πως σας συμφέρει να πληρώσετε ένα απεριόριστα μεγάλο ποσό για να συμμετάσχετε στο παιχνίδι. Παρόλα αυτά, είναι απίθανο κάποιος να δεχτεί να πληρώσει περισσότερα από 10 ευρώ περίπου, για να παίξει το συγκεκριμένο παιχνίδι, και αυτό είναι το παράδοξο.

          Το τυχερό παιχνίδι επινοήθηκε από τον Nicholas Bernulli και αργότερα ο Daniel Bernulli το δημοσίευσε στο «Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg» και για αυτό ονομάστηκε το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St. Petersburg paradox). Μάλιστα ο Daniel Bernoulli έκανε και μια πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση: «Ο προσδιορισμός της αξίας ενός στοιχείου δεν πρέπει να βασίζεται στην τιμή, αλλά μάλλον στην χρησιμότητα που του αποδίδετε. Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η αύξηση των χιλίων δουκάτων είναι πιο σημαντική για κάποιον άπορο από ότι σε έναν πλούσιο άνδρα, αν και οι δύο κερδίσουν το ίδιο ποσό.» Η «αξία» του χρήματος για τον κάθε υποψήφιο παίκτη καθώς και ο κορεσμός της ευτυχίας που επέρχεται όταν αυξάνονται τα ευρώ, είναι παράμετροι που δεν λαμβάνει υπόψη του ο τύπος του αναμενόμενου κέρδους και αυτός είναι ένας σοβαρός λόγος που οι προσφορές για την συμμετοχή στο παιχνίδι δεν αντιστοιχούν στα θεωρητικά αναμενόμενα κέρδη.

            Το 1783 ο Daniel Bernoulli έγραψε το βιβλίο «Specimen theoriae novae de mensura sortis» (Στοιχεία μιας Νέας Θεωρίας για την Εκτίμηση Κινδύνου), στο οποίο το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης γινόταν η βάση της οικονομικής θεωρίας της αποστροφής κινδύνου, του ασφάλιστρου κινδύνου και της οικονομικής ωφέλειας.


Condorcet, 1785
  
Ο Marie-Jean-Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet, (1743 -1794) ήταν Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος. Σε ηλικία 16 χρονών έγραψε το πρώτο του δοκίμιο για τον ολοκληρωτικό λογισμό. Συνδέθηκε με τον Βολταίρο, τον Ντ' Αλαμπέρ, τον Κλερώ, τον Τυργκώ κ.ά. εγκυκλοπαιδιστές και συνεργάστηκε στην "Εγκυκλοπαίδεια" με θέματα πολιτικής οικονομίας. Το 1769 έγινε μέλος της Ακαδημίας Επιστημών και έγραψε μια σειρά Εγκωμίων για τα μέλη της Ακαδημίας που πέθαναν.

13. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός Α σε μια προσπάθεια είναι p. Να βρεθεί η πιθανότητα:
i)                    Σε r προσπάθειες να συμβεί το Α ν φορές διαδοχικά
ii)                  Σε r προσπάθειες το Α να συμβεί p φορές διαδοχικά και μετά το Α΄ p  φορές διαδοχικά.
iii)                Σε r+t προσπάθειες το Α να συμβεί r φορές όταν στις m+n προσπάθειες το Α έχει συμβεί m φορές.


Laplace , 1812

     Ο Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) ήταν Γάλλος μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος. Οι μελέτες του πάνω στη μηχανική του αστρονομικού συστήματος έδωσαν τεράστια ώθηση στην έρευνα του διαστήματος. Σε ηλικία 18 ετών (1767) διορίστηκε καθηγητής των μαθηματικών στη στρατιωτική σχολή του Παρισιού. Άρχισε από τότε να ασχολείται πολύ σοβαρά με την έρευνα και το 1773 παρουσιάζει πρότυπη μαθηματική εργασία επί διαφορικού λογισμού όπου και γίνεται μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Γαλλίας και πρόεδρος της επιτροπής οργάνωσης του Πολυτεχνείου. Συνέγραψε σειρά έργων που εξέδωσε αργότερα η γαλλική κυβέρνηση σε επτά τόμους και στη συνέχεια και η Ακαδημία των Επιστημών

Εξέτασε πολλά θέματα που προβλημάτιζαν την εποχή του πάνω στην Ουράνια Μηχανική. Την ελλειπτική κίνηση των πλανητών, τις κινήσεις της Σελήνης, το σχήμα της Γης, τη μέθοδο για να βρεθεί η απόσταση του Ήλιου, τις τροχιές των πλανητών Δία και Κρόνου κλπ. Είναι επίσης αυτός που επινόησε την περίφημη εξίσωση Λαπλάς.
        
    Με το βιβλίο του «Theorie Analytique des Probabilites» το 1795 θεμελίωσε την κλασική θεωρία των πιθανοτήτων, συσχετίζοντας τα σφάλματα με την πιθανότητα και παριστάνοντας τη σχέση αυτή με μια συνάρτηση, της οποίας μελέτησε τις ιδιότητες.

14. Mία λοταρία έχει s αριθμούς και σε κάθε κλήρωση παίρνουμε n αριθμούς.
i)                    Ποια είναι η πιθανότητα σε m κληρώσεις να εμφανιστούν όλοι οι s αριθμοί;
ii)                  Κάνε εφαρμογή για s=90 , n=5 , m=85

15. Σε m+n πειράματα το γεγονός Α συνέβηκε m φορές και το Α΄ n φορές (m>n). Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε Ρ(Α)> ½ ;

16.  Υπάρχουν Ν+1 δοχεία, το δοχείο k περιέχει k κόκκινες και Ν-k άσπρες μπάλες (k=0,1,…,N). Παίρνουμε τυχαία ένα δοχείο και από αυτό παίρνουμε τυχαία n μπάλες με επανάθεση. Αν οι n μπάλες είναι κόκκινες , ποια είναι η πιθανότητα και η επόμενη μπάλα να είναι κόκκινη;

17.  Ένα γεγονός συνέβηκε διαδοχικά m φορές. Ποια η πιθανότητα να συμβεί διαδοχικά και τις επόμενες k φορές;


Bertrand , 1899

O Joseph Louis François Bertrand (1822 – 1900) ήταν  Γάλλος μαθηματικός που εργάσθηκε στους τομείς της θεωρίας αριθμών , της διαφορικής γεωμετρίας , της θεωρίας πιθανοτήτων , της οικονομίας και της θερμοδυναμικής . Ήταν καθηγητής στην École Polytechnique και στο Collège de France . Ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών στο Παρίσι  και ήταν μόνιμος γραμματέας της για είκοσι έξι χρόνια.
Είναι γνωστός για ένα παράδοξο στον τομέα των πιθανοτήτων , γνωστό ως “παράδοξο του Bertrand” . Υπάρχει και ένα άλλο παράδοξο στην θεωρία των παιγνίων που φέρει το όνομά του ( Bertrand Paradox ).

18. Κυκλικός δίσκος ακτίνας r < ½ ρίχνεται σε ένα επίπεδο στο οποίο υπάρχουν παράλληλες γραμμές σε απόσταση 1. Ποια η πιθανότητα μια από τις παράλληλες γραμμές να τμήσει τον κύκλο και η αντίστοιχη χορδή να είναι μεγαλύτερη της πλευράς του εγγράψιμου ισόπλευρου τριγώνου;

Σημείωση: Το Παράδοξο του Bertrand  

       Φτιάχνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο μέσα σε έναν κύκλο. Στη συνέχεια φέρνουμε μια τυχαία χορδή αυτού του κύκλου. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η χορδή αυτή να έχει μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του τριγώνου.

       Το πρόβλημα πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Joseph Bertrand σε μια εργασία του το 1888. Εκεί έδωσε τρεις διαφορετικές μεθόδους για τη δημιουργία της τυχαίας χορδής και βρήκε τρία διαφορετικά αποτελέσματα για τη ζητούμενη πιθανότητα!

19.  Δύο σημεία Μ , Μ΄ παίρνονται τυχαία στην επιφάνεια σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R. Ποια είναι η πιθανότητα το μικρότερο τόξο MOΜ΄ του μέγιστου κύκλου που περνά από τα Μ, Μ΄ να είναι το πολύ 2α 



Poincare , 1912

Ο Henri Poincaré ήταν ένας από τους κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς και θεωρητικούς φυσικούς και φιλόσοφος της επιστήμης. Γεννήθηκε στις 29 Απριλίου του 1854 στην πόλη Νανσύ της Γαλλίας και πέθανε στις 17 Ιουλίου του 1912 στο Παρίσι. Συχνά περιγράφεται ως πολυμαθής, και στον κόσμο των μαθηματικών είναι γνωστός ως ο «Τελευταίος Πανεπιστήμονας», καθώς διέπρεπε σε όλα τα επιστημονικά πεδία τα οποία υπήρχαν στη διάρκεια της ζωής του. Ο Πουανκαρέ δημοσίευσε το πρώτο του άρθρο στο Nouvelles Annales des Mathematiques σε ηλικία 19 ετών. Συνολικά έγραψε τουλάχιστον 30 βιβλία και 500 τεχνικά άρθρα. Ίσως ήταν ο τελευταίος μαθηματικός με ευρύτατο πεδίο ενασχόλησης, ώστε οι διαλέξεις του στη Σορβόνη να ποικίλουν σε ευρύτατη γκάμα θεμάτων. Εκτός από τη σημαντική του προσφορά στο αμιγώς μαθηματικό πεδίο, συνεισέφερε στην οπτική, τον ηλεκτρισμό, την ελαστικότητα, τη θερμοδυναμική, την κβαντική θεωρία τη σχετικότητα και την κοσμολογία. Με την εκλογή του ως μέλους του τμήματος λογοτεχνίας του Γαλλικού Ινστιτούτου τιμήθηκε για την πολυποίκιλη προσφορά του στην επιστήμη.

20. Κάθε ένα από τρία όμοια κουτιά είναι χωρισμένο σε δύο μέρη. Το πρώτο κουτί περιέχει από ένα χρυσό νόμισμα σε κάθε χώρισμα, το δεύτερο ένα χρυσό και ένα αργυρό και το τρίτο κουτί έχει ένα αργυρό νόμισμα σε κάθε χώρισμα. Παίρνουμε τυχαία ένα κουτί και στο ένα χώρισμα υπάρχει νόμισμα, ποια είναι η πιθανότητα στο άλλο χώρισμα να υπάρχει διαφορετικό είδος νομίσματος.

Σημείωση: Ας αναφέρουμε ότι και ο Ιταλός μαθηματικός Girolamo Cardano (1501-1576) ήταν από τους πρώτος που  από προσωπικό ενδιαφέρον (μανιώδης παίκτης) ασχολήθηκε με τα τυχερά παιχνίδια. Το βιβλίο του «περί τυχερών παιχνιδιών»  δημοσιεύθηκε το 1663, πολύ μετά το θάνατό του, ολοκληρώθηκε όμως το 1565 και αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη μελέτη της ρίψης ζαριών, η οποία βασίστηκε στην υπόθεση ότι υπάρχουν θεμελιώδεις αρχές που διέπουν την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος. Ο  Cardano δε χρησιμοποίησε βέβαια τη λέξη πιθανότητα, αλλά μιλούσε για ενδεχόμενα. Το βιβλίο στηρίζεται κυρίως στην παρατήρηση , περιείχε όμως και μαθηματικά, αφού για πρώτη φορά ορίστηκε ό,τι σήμερα ονομάζουμε πιθανότητα ενός γεγονότος υπό τη μορφή κλάσματος (πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί το γεγονός διαιρεμένο με το πλήθος όλων των δυνατών εκβάσεων).

Ο Spinoza (1632-1677) πίστευε ότι η άγνοια της πραγματικότητας μας οδηγεί να αποδίδουμε στην τύχη ορισμένα γεγονότα.
           


Οι 20 ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: Πιθανότητες Ι - Θεωρία και ασκήσεις, Στρατή Κουνιά, Χρόνη Μωυσιάδη, Εκδόσεις Ζήτη 1991.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...