Παρασκευή, 11 Δεκεμβρίου 2015

Ακτίνια vs Μοίρες


Στην Άλγεβρα της Β Λυκείου μάθαμε ότι:

"Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) ονομάζεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με ημx=ημ(x rad) "

Το ίδιο και για τη συνάρτηση συνημίτονο.

Πρέπει λοιπόν να θυμόμαστε, όταν δουλεύουμε με αυτές τις συναρτήσεις, ότι το x είναι σε rad (ακτίνια) και όχι σε μοίρες. 

Τι είναι το ακτίνιο;
Το ακτίνιο είναι μονάδα μέτρησης γωνιών. Ένα ακτίνιο (1 rad) είναι η επίπεδη γωνία η οποία όταν γίνει επίκεντρη ορίζει τόξο, σε οποιονδήποτε κύκλο, με μήκος ίσο με την ακτίνα του.
Ένα ακτίνιο ισούται με 180/π μοίρες, επομένως για να μετατρέψουμε ακτίνια σε μοίρες πολλαπλασιάζουμε με 180/π. Για παράδειγμα:
 

Αντίστροφα για να μετατρέψουμε τις μοίρες σε ακτίνια πολλαπλασιάζουμε με π/180. Για παράδειγμα:


Δύο χαρακτηριστικές ασκήσεις της Γ Λυκείου:
Παρατηρούμε ότι το συν2 είναι αρνητικός αριθμός, γιατί αναφερόμαστε στο συνημίτονο των 2 rad (περίπου 114,6 μοίρες) που είναι αρνητικός αριθμός (2ο τεταρτημόριο) και όχι στο συνημίτονο των 2 μοιρών.

Kαι εδώ θέλει προσοχή, αφού η γωνία είναι σε μοίρες, οπότε χρειάζεται μετατροπή σε rad.

Τετάρτη, 4 Νοεμβρίου 2015

Μια παραδοχή σε ένα κλασικό πρόβλημα παραγώγων

 Γνωρίζουμε ότι μια από τις βασικές χρησιμότητες της παραγώγου μιας συνάρτησης είναι για να εκφράσει το ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο.

Μεγάλο ενδιαφέρον στο κομμάτι αυτό του Διαφορικού Λογισμού έχουν προβλήματα που αφορούν το φαινόμενο της πληθυσμιακής αύξησης (ή μείωσης) των ειδών.

Πολύ συχνά όλοι μας δουλεύουμε προβλήματα στα οποία δίνεται μια συνάρτηση P(t) που μας δίνει τον πληθυσμό ενός είδους (μικρόβια κ.α.) σε κάθε χρονική στιγμή t και ζητείται ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται αυτός ο πληθυσμός κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Γνωριζουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού P(t) δίνεται από την παράγωγο P'(t) και δουλεύουμε ανάλογα.

Στο σημείο αυτό όμως κάνουμε και μια ουσιαστική παραδοχή του φαινομένου αυτού, θεωρώντας τον πληθυσμό σαν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, ενώ στην πραγματικότητα δεν είναι ούτε συνεχής, αφού είναι αναγκασμένη να παίρνει τιμές στο σύνολο Ν των φυσικών αριθμών (πληθυσμός 564,76 δεν έχει έννοια)

Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι η διαφορά μεταξύ μιας συνεχούς και μιας μη συνεχούς μεταβλητής οφείλεται στο γεγονός ότι οι συνεχείς μεταβλητές μπορούν να υποστούν οσοδήποτε μικρές μεταβολές, ενώ οι ασυνεχείς όχι. Στη προκειμένη περίπτωση για μεγάλες τιμές του πληθυσμού, η θεώρηση της συνάρτησης P(t) ως συνεχής συνάρτηση είναι ικανοποιητική εφ'όσον οι μεταβολές που υφίσταται είναι πολύ μικρές (αν το P(t) είναι 1.000.000, μια μεταβολή κατά μια μονάδα είναι μεταβολή 0,001%), οπότε για πρακτικούς λόγους θεωρούνται σχεδόν συνεχείς.

Παρασκευή, 2 Οκτωβρίου 2015

Εντός - εκτός και επί τα αυτά (μέρος 3ο και τελευταίο)


 Οι δύο τελευταίες αναρτήσεις μου εντός - εκτός και επί τα αυτά και εντός - εκτός και επί τα αυτά (μέρος 2ο) που αφορούσαν κάποιες ασάφειες στη παράγραφο 3.5. της φετινής ύλης των μαθηματικών προσανατολισμού της Γ Λυκείου, δημιούργησαν πολύ γόνιμες συζητήσεις μεταξύ αξιόλογων συναδέλφων στο διαδίκτυο. Για χάρη του διαλόγου και της ανταλλαγής απόψεων ολοκληρώνω τον προβληματισμό μου (αναμένοντας τις συμπληρωματικές οδηγίες από το Παιδαγωγικό Ινστιντούτο) με το 3ο μέρος των αναρτήσεων αυτών.

Α) Οι τύποι της τριγωνομετρίας ημ(α+β), συν(α+β) , ημ2α, συν2α κλπ.

Οι παραπάνω τύποι, αν και πολύ βασικοί όχι μόνο για τα Μαθηματικά, αλλά και για τη Φυσική, ήταν για κάποια χρόνια εκτός ύλης στη Β Λυκείου. Αυτό οδήγησε στο να εξαιρεθούν οι αποδείξεις δύο θεωρημάτων στη Γ Λυκείου ( παράγωγος των συναρτήσεων f(x)=ημx και f(x)=συνx), αλλά και όλων των ασκήσεων που έκαναν χρήση των παραπάνω τύπων. 

Από την προηγούμενη χρονιά οι τύποι αυτοί επανήλθαν στην ύλη της Άλγεβρας της Β Λυκείου, που σημαίνει ότι για τους φετινούς τελειόφοιτους της Γ θεωρούνται γνωστοί. Παρόλαυτά οι αποδείξεις των θεωρημάτων που προανέφερα παραμένουν εκτός ύλης, δημιουργώντας ίσως την εντύπωση ότι αποκλείονται και ασκήσεις που κάνουν χρήση των τύπων αυτών. Άρα πόσο πιθανό είναι φέτος να ξαναδούμε ασκήσεις σαν αυτές;

Β) Τα μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου

Οι περσινοί μαθητές της Β Λυκείου είχαν να αντιμετωπίσουν για μια ακόμη φορά ένα καινούργιο εξεταστικό σύστημα. Η ανακοίνωση αυτού καθυστέρησε αρκετά και για την ακρίβεια δεν έχει ολοκληρωθεί ακόμη και σήμερα. Έτσι αρκετοί μαθητές επέλεξαν την προηγούμενη χρονιά τις ανθρωπιστικές σπουδές χωρίς ουσιαστικά να γνωρίζουν τις επιλογές που μπορούσαν να έχουν φέτος που φοιτούν στη Γ Λυκείου. 

Δημιουργήθηκε το πρόβλημα λοιπόν ένας σημαντικός αριθμός εξ αυτών να έχει αναγκαστεί να επιλέξει σήμερα την κατεύθυνση της Οικονομίας και Πληροφορικής (για τη δυνατότητα πρόσβασης σε συγκεκριμένες σχολές) που έχει βασικό μάθημα τα Μαθηματικά Προσανατολισμού. Για το πόσο έτοιμοι είναι αυτοί οι μαθητές να προετοιμαστούν σωστά σε μιας τέτοιας δυσκολίας μάθημα δε θα αναφερθώ (το ζούμε όσοι έχουμε μαθητές αυτής της περίπτωσης). Το ερώτημα μου όμως είναι, αφού αυτοί οι μαθητές δεν διδάχθηκαν τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β Λυκείου, ασκήσεις σαν τις παρακάτω είναι φέτος πιθανές ή όχι;

Τετάρτη, 30 Σεπτεμβρίου 2015

Εντός - εκτός και επί τα αυτά (μέρος 2ο)

 

Σε συνέχεια της ανάρτησης εντός - εκτός και επί τα αυτά που αφορά το πρόβλημα που έχει προκύψει με την παράγραφο 3.5 των μαθηματικών προσανατολισμού της Γ Λυκείου παραθέτω μια ακόμη άσκηση:
Kαι η προηγούμενη άσκηση είναι θεωρητικά εντός ύλης. Το ερωτηματικό είναι στην αιτιολόγηση της συνέχειας της συνάρτησης-ολοκλήρωμα, η οποία γίνεται μέσω της παραγωγισιμότητας της (εκτός ύλης). Επίσης, τι γίνεται και στην περίπτωση που το μεταβλητό άκρο της συνάρτησης-ολοκλήρωμα είναι επίσης συνάρτηση (σύνθετη συνάρτηση).

Κυριακή, 27 Σεπτεμβρίου 2015

Ο Δασκαλάκης, ο Παπαδημητρίου και η "άλλη Ελλάδα"

 Τον Ιούλιο του 2008 ο τότε Πρόεδρος της Δημοκρατίας κ. Κάρολος Παπούλιας συνάντησε στο προεδρικό μέγαρο δύο σημαντικούς Έλληνες επιστήμονες, τον Κων/νο Δασκαλάκη (Ass Professor στο ΜΙΤ) και τον Χρήστο Παπαδημητρίου (καθηγητή στο Berkeley).

O Κων/νος Δασκαλάκης τελείωσε το Βαρβάκειο Πειραματικό Λύκειο το 1999 με βαθμό 20 (τότε η αριστεία δεν είχε ακόμη χαρακτηριστεί ως ρετσινιά) και το τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ το 2004 με βαθμό 9,98 που είναι και ο μεγαλύτερος όλων των εποχών. Στη συνέχεια μετέβη στο Berkeley για μεταπτυχιακές σπουδές και με την καθοδήγηση του Χρήστου Παπαδημητρίου πήρε το διδακτορικό του το 2008 με θέμα "The complexity of Nash Equilibria". Τον Μάιο του 2008 η διεθνής επιστημονική οργάνωση Association of Computing Machinery του απένειμε το βραβείο της καλύτερης παγκοσμίως διδακτορικής διατριβής στον τομέα της πληροφορικής (το βραβείο συνοδεύεται από χρηματικό έπαθλο 20.000$), αφού κατάφερε να λύσει τον γρίφο του John Nash που απασχολούσε τους επιστήμονες της πληροφορικής για τουλάχιστον 60 χρόνια. Η ισορροπία του Nash (Nash Equilibrium) εισήχθη από τον ίδιο τον Nash το 1951 ο οποίος χρησιμοποιώντας το τοπολογικό θεώρημα του Brower για τις υπερ-σφαίρες, απέδειξε ότι κάτω από πολύ γενικές συνθήκες πάντα υπάρχει ένα τέτοιο σημείο ισορροπίας. Ο Νash για την συνεισφορά του αυτή τιμήθηκε το 1994 με το βραβείο Nόμπελ για τις οικονομικές επιστήμες και έγινε ευρύτερα διάσημος λόγω της ταινίας A Beautiful Mind (2001) που βασίζεται κατά κάποιο τρόπο στη ζωή του.

 Ο Χρήστος Παπαδημητρίου καθηγητής στο Berkeley, είναι ένας από τους πιο καταξιωμένους διεθνώς σημαντικούς επιστήμονες στη Θεωρητική Πληροφορική (κλάδος των μαθηματικών στην παράδοση των Russel, Hilbert, Godel, Turing κλπ). Για τον Παπαδημητρίου μπορούν να γραφούν πάρα πολλά, αλλά θα περιοριστούμε στα πιο σημαντικά. Ενδεικτικά είναι και αυτός απόφοιτος του Βαρβακείου και πήρε διδακτορικό στο Princeton το 1974. Το 2002, οι οργανισμοί ACM και IEEE του απένειμαν από κοινού το τιμητικό βραβείο Donald E. Knuth (Knuth Prize), ως αναγνώριση της επί πολλά έτη και κεφαλαιώδους σημασίας συνεισφοράς του στα θεμέλια της επιστήμης των υπολογιστών. Το 1997 έλαβε το πρώτο του Επίτιμο Διδακτορικό από το Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Στη συνέχεια έλαβε Επίτιμα Διδακτορικά από το Παν/μιο Μακεδονίας το 2003, από το Παν/μιο Αθηνών το 2004 και από το Παν/μιο Κύπρου το 2009. Είναι μέλος της US National Academy of Engineering και από το 2009 της US National Academy of Science. Να επισημάνουμε ότι είναι πολύ ασύνηθες κάποιος να είναι μέλος αμφοτέρων των οργανισμών αυτών. Πέραν αυτών είναι o συγγραφέας της αλληγορικής νουβέλας "Turing-A Novel about Computation" η οποία εκδόθηκε το 2003 από το MIT Press και μαζί με τους Δοξιάδη, Παπαδάτο και Annie di Donna δημιούργησαν το 2008 το ιστορικό μυθιστόρημα σε κόμικς Logicomix.

Η Εταιρεία της Θεωρίας των Παιγνίων (Game Theory Society) σε συνέδριο της στην Αμερική το 2008 αποφάσισε να καθιερώσει ένα διεθνές βραβείο για εργασίες που συνδέουν τη θεωρία παιγνίων με την πληροφορική, το οποίο θα απονέμεται στο κεντρικό αυτό συνέδριο της κάθε 4 χρόνια. Η πρώτη απονομή το 2008 έγινε στους Δασκαλάκη, Παπαδημητρίου και Goldberg για την κοινή τους εργασία The Complexity of Computing a Nash Equilibrium.

"Καλωσόρισες. Χαίρομαι ιδιαίτερα που σε γνωρίζω. Η άλλη Ελλάδα είναι πολύ δυνατή και χαίρομαι γιατί εκπροσωπείτε την άλλη Ελλάδα. Γι αυτό και είμαι αισιόδοξος. Γιατί αυτός ο τόπος δεν θα χαθεί" ήταν τα πρώτα λόγια του κ. Κάρολου Παπούλια όταν μπήκαν στο Προεδρικό Μέγαρο ο Κ.Δασκαλάκης με τον καθηγητή του Χ.Παπαδημητρίου.

Είναι αλήθεια ότι ο αριθμός των Ελλήνων επιστημόνων που διαπρέπουν εκτός Ελλάδος είναι τεράστιος και διαρκώς αυξάνεται. Όμως αυτό έχει ελάχιστα αξιοποιηθεί από το Ελληνικό κράτος. Εν ονόματι του ρεαλισμού, θα πρέπει να συνειδητοποιήσουμε ότι ένας Έλληνας επιστήμονας που διαπρέπει στο εξωτερικό, σπανίως και κατ' εξαίρεση θα έρθει στην Ελλάδα με καθαρή διάθεση να βοηθήσει τον τόπο και διατεθειμένος να υποστεί ότι του επιφυλάσσει η ελληνική πραγματικότητα. Η συνήθης κατάσταση είναι ότι αναμένει κάποιες συνθήκες εργασίας που αντιστοιχούν σε ένα σύγχρονο κράτος.

Από άρθρο του κ. Σταύρου Παπασταυρίδη (Καθηγητή Παν/μιου Αθηνών) το 2009. 

Σήμερα είναι σαφές ότι οι συνθήκες έχουν αλλάξει αρκετά, δυστυχώς προς το χειρότερο. Ένας 20χρονος φοιτητής τις τελευταίες μέρες γίνεται viral στο διαδίκτυο γράφοντας μια ανάρτηση με τίτλο Η Ελλάδα δε θα αλλάξει ποτέ για την παθογένεια των Πανεπιστημίων και γενικά του δημόσιου τομέα. Οι επιστήμονες της διασποράς γίνονται ολοένα και περισσότεροι. Σε έναν άλλο χώρο, ο παγκοσμίου φήμης σκηνοθέτης Κώστας Γαβράς είχε δηλώσει το προφανές "αν έμενα στην Ελλάδα δε θα είχα κάνει τίποτα". Αντίστοιχες εκτιμήσεις έχουν γίνει και για τον κρισιμότατο χώρο των ξένων επενδύσεων. Πρέπει να αντιληφθούμε ότι είναι άμεση ανάγκη σήμερα περισσότερο από ποτέ να νοικοκυρέψουμε επιτέλους το σπίτι μας.

Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2015

Εντός - εκτός και επί τα αυτά




  Η νέα ηγεσία του Υπουργείου Παιδείας, όπως κάθε φορά άλλωστε,  έχει να αντιμετωπίσει πολλές δυσκολίες. Άμεση προτεραιότητά της πρέπει να είναι η ολοκλήρωση του νέου εξεταστικού συστήματος που έχει μείνει στη μέση. Όμως και στη μαθηματική κοινότητα έχουν δημιουργηθεί αρκετά ερωτηματικά όσον αφορά τη νέα μειωμένη ύλη των μαθηματικών προσανατολισμού της Γ τάξης του Λυκείου. 


Οι περιορισμοί στην ενότητα 3.5 δεν είναι τόσο ξεκάθαροι και δημιουργούν δύο διαφορετικές ερμηνείες. Από τη μια αναφέρεται ότι δε θα διδαχθούν ασκήσεις που αφορούν την παραγώγιση της συνάρτησης ολοκλήρωμα και γενικότερα αυτής, από την άλλη δε μπορούμε να εξαιρέσουμε (ή και να δημιουργήσουμε) πλήθος ασκήσεων που καλύπτουν τον παραπάνω περιορισμό.

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η παρακάτω άσκηση (4ο Θέμα πανελληνίων 2007). 
Στο παραπάνω θέμα δε γίνεται καμία αναφορά ούτε στην παραγώγιση της συνάρτησης ολοκλήρωμα, ούτε όμως στην ίδια τη συνάρτηση. Το μόνο που χρησιμοποιούμε είναι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

Είναι λοιπόν μια άσκηση που είναι εντός ή εκτός διδακτέας και εξεταστέας ύλης; 

Και βέβαια η ερώτηση που μας απασχολεί όλους: ποιό είναι το σκεπτικό της προσπάθειας κατάργησης ενός τόσο βασικού κομματιού της ανάλυσης; Μη ξεχνάμε ότι εκτός της μαθηματικής της αξίας η συνάρτηση ολοκλήρωμα βοηθούσε και σε μια γενική επανάληψη πάνω σε όλη την προηγούμενη ύλη.

Τετάρτη, 9 Σεπτεμβρίου 2015

Φυλλάδια για την Α , Β και Γ Λυκείου από τη lisari team


Ο Μάκης Χατζόπουλος και η lisari team συνεχίζουν την προσφορά τους σε σημειώσεις!!

1) Άλγεβρα Α Λυκείου (πλήρες σχολικό βοήθημα από τον φίλο Χρήστο Κουστέρη)




2) Άλγεβρα Β Λυκείου (το πρώτο τεύχος μιας συλλογής ασκήσεων από τον φίλο Θοδωρή Παγώνη)



3)  600 ασκήσεις στο ορισμένο ολοκλήρωμα
     (1η έκδοση από τον φίλο Νίκο Σκομπρή)

Επίσης σημειώσεις για τη Γ Λυκείου που συνεχώς ανανεώνονται εδώ

Πηγή: http://lisari.blogspot.gr/

Πέμπτη, 3 Σεπτεμβρίου 2015

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου vs Mαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου



Φέτος, για πρώτη χρονιά στα μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου αφαιρέθηκε το κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών. Αυτό ίσως έχει δημιουργήσει την λανθασμένη εντύπωση ότι πλέον τα μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου και η αναλυτική γεωμετρία γενικότερα (ευθεία, κύκλος, παραβολή κ.λ.π.) δε χρειάζονται στη Γ τάξη με το σκεπτικό ότι κομμάτια της ύλης που τη χρησιμοποιούσαν (γεωμετρικοί τόποι για παράδειγμα) αφορούσαν αποκλειστικά τους μιγαδικούς. Παρακάτω παραθέτω δύο χαρακτηριστικές ασκήσεις διαφορικού λογισμού με κύκλο και παραβολή και προφανώς υπάρχουν πολλές ακόμη. Το συμπέρασμα είναι ότι ακόμη και τώρα που η ύλη (εις βάρος των μαθητών) ελαττώθηκε, τα μαθηματικά είναι μια αλυσίδα και η σωστή προετοιμασία στις μικρότερες τάξεις αποτελεί το υπόβαθρο της επιτυχίας!
Καλή σχολική χρονιά σε όλους μας!!!

Τρίτη, 1 Σεπτεμβρίου 2015

Mαθηματικό μοντέλο αυξάνει κατακόρυφα το κοινοβουλευτικό έργο!

 
Τι θα λέγατε αν στην επόμενη Βουλή των Ελλήνων ένα μέρος των βουλευτών ήταν κληρωτοί; Σας φαίνεται περίεργο; Ιταλοί ερευνητές πάντως, οι οποίοι ανέπτυξαν ένα μαθηματικό μοντέλο που επιτρέπει την πρόβλεψη της αποτελεσματικότητας του βουλευτικού σώματος με βάση τα ποσοστά βουλευτών που προέρχονται από κόμματα και ανεξάρτητων κληρωτών βουλευτών, υποστηρίζουν ότι η εισαγωγή τυχαίου ανεξάρτητου αίματος θα αύξανε κατακόρυφα την αποτελεσματικότητα του κοινοβουλευτικού έργου. Τι εννοούν με τον όρο «αποτελεσματικότητα»; Ότι οι αποφάσεις θα ήταν προς το καλό του κοινωνικού συνόλου (κατ' αντιδιαστολή με το προσωπικό όφελος των εκλεγμένων αντιπροσώπων μας). Με δεδομένο ότι οι εκλεγμένοι αντιπρόσωποί μας απέτυχαν να αποτρέψουν τη χρεοκοπία της χώρας (για να μην πούμε συνέβαλαν σε αυτή), η διαίσθησή μας λέει ότι οι Ιταλοί επιστήμονες μπορεί και να έχουν δίκιο.

Η κληρωτίς ή κληρωτήριον των αρχαίων ελλήνων. Το φράγμα σώζεται στο Μουσείο της Αρχαίας Αγοράς 
 Όπως ο Περικλής...
Οι Ιταλοί ερευνητές του Πανεπιστημίου της Κατάνια δημοσίευσαν τη μελέτη τους στον διαδικτυακό τόπο του Πανεπιστημίου. Tο άρθρο τους αρχίζει θυμίζοντας μας ότι «Στην αρχαία Ελλάδα, στο λίκνο της δημοκρατίας, κυβερνητικά σώματα επιλέγονταν εν πολλοίς με κλήρωση». Τι σχέση όμως μπορεί να έχει η άμεση δημοκρατία των αρχαίων Ελλήνων με τη σημερινή πραγματικότητα; Οι καθηγητές Αστροφυσικής Alessandro Pluchino και Αndrea Rapisarda καθώς και οι συνεργάτες τους Cesare Garofalo S. Spagano και M. Caserta καθηγητές Οικονομικών και Πολιτικής Οικονομίας που υπογράφουν το άρθρο, εκτιμούν ότι έστω και αν η άμεση δημοκρατία δεν είναι εφικτή στις ημέρες μας, η σοφία της εισαγωγής του τυχαίου στον κοινοβουλευτισμό είναι διαχρονική.

Για τη μοντελοποίηση της ιδέας τους οι Ιταλοί επιστήμονες εμπνεύστηκαν από τον ιστορικό της Οικονομίας και συμπατριώτη τους Carlo Maria Cipolla (1922-2000). Στη διάσημη χιουμοριστική μονογραφία του «The basic laws of human stupidity» (οι βασικοί νόμοι της ανθρώπινης ηλιθιότητας) ο Cipolla χωρίζει τους ανθρώπους σε τέσσερις κατηγορίες οι οποίες προκύπτουν από τη θέση (διασπορά) τους σε έναν καρτεσιανό άξονα συντεταγμένων. Έτσι, με τον άξονα των χ να αντιπροσωπεύει το προσωπικό όφελος και τον άξονα των ψ το κοινό όφελος, τα άτομα που εμπίπτουν στο πάνω δεξιά τεταρτημόριο (δικό τους όφελος και κοινό όφελος) είναι τα έξυπνα άτομα, τα άτομα που εμπίπτουν στο πάνω αριστερά τεταρτημόριο (δικό τους κακό, κοινή ωφέλεια) είναι τα αφελή άτομα, τα άτομα που εμπίπτουν στο κάτω δεξιά τεταρτημόριο (δικό τους καλό, κοινό κακό) είναι οι ληστές και, τέλος, εκείνα που εμπίπτουν στο κάτω αριστερό τεταρτημόριο είναι οι ηλίθιοι (κακό δικό τους και του κοινού). Βάσει αυτής της κατηγοριοποίησης ο Cipolla δίνει τον ορισμό του ηλιθίου: «ένα άτομο είναι ηλίθιο αν μπορεί να προκαλέσει βλάβη σε ένα άλλο άτομο ή ομάδα ατόμων χωρίς να έχει κανένα προσωπικό όφελος ή ακόμη χειρότερα, να προκαλέσει και δική του βλάβη κατά τη διαδικασία».

Να μην οφείλουν τίποτε σε κανέναν...
Πόσο τυχαίοι όμως θα ήταν οι κληρωτοί βουλευτές; «Στην κληρωτίδα θα έμπαινε όποιος εξεδήλωνε την επιθυμία και με εξαίρεση το καθαρό ποινικό μητρώο δεν νομίζω ότι θα έπρεπε να υπάρχει άλλη προϋπόθεση» μας είπε ο Pluchino και προσέθεσε: «Στην πράξη θα συνέβαινε ό,τι συμβαίνει με την κλήρωση ενόρκων. Οι κληρωτοί βουλευτές θα μπορούσαν να είναι κάθε ηλικίας, φύλου, οικονομικού και μορφωτικού επιπέδου. Να είναι πραγματικά ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα της κοινωνίας».
Στη συζήτηση του άρθρου, οι ερευνητές αναλύουν τα πλεονεκτήματα των κληρωτών βουλευτών οι οποίοι «δεν οφείλουν τίποτε σε κανέναν και έτσι δεν έχουν παρά να είναι πιστοί μόνο στη συνείδησή τους και σε κανένα κόμμα. Επίσης δεν έχουν να ενδιαφερθούν για την επανεκλογή τους. Επιπροσθέτως, η κλήρωση είναι μια διαδικασία η οποία μπορεί να περιφρουρηθεί ευκολότερα από τις εκλογές. Είναι εύκολο να εξασφαλιστεί μια απολύτως δίκαιη διαδικασία κλήρωσης. Αντίθετα, η εκλογική διαδικασία μπορεί να μεθοδευτεί με χρήματα ή άλλα μέσα».
«Το αναγκαίο της ύπαρξης ηγεσίας, η τάση όλων των κοινωνικών ομάδων να υπερασπίζονται τα συμφέροντά τους και η παθητικότητα του εκλεκτορικού σώματος είναι μόνο μερικοί από τους πολλούς λόγους που οδηγούν στον εκφυλισμό των δημοκρατικών κομμάτων. Στην αντιπροσωπευτική δημοκρατία αυτή η διαδικασία έχει σχεδόν θεσμοθετηθεί. Οι κομματικές ελίτ δρουν με σκοπό την εξυπηρέτηση του κόμματος και του εαυτού τους, συχνά σε βάρος του κοινού συμφέροντος. Αν κάποιοι βουλευτές ψηφίσουν εναντίον της κομματικής γραμμής πιθανότατα εξοστρακίζονται και δεν συμμετέχουν στην επόμενη εκλογική διαδικασία. Φυσικά δεν χωρεί αμφιβολία ότι οι ελεύθερες εκλογές δεν συγκρίνονται με τα ολιγαρχικά καθεστώτα, αλλά τα σημερινά εκλογικά συστήματα τείνουν να δημιουργούν μια δημοκρατική αριστοκρατία, όπου οι εκλεγμένοι αντιπρόσωποι είναι ανώτεροι του εκλογικού σώματος».

 Για μας που έχουμε γαλουχηθεί με την ιδέα ότι η δημοκρατία είναι ταυτόσημη των εκλογών, ίσως τα συμπεράσματα των Ιταλών επιστημόνων να ακούγονται εξωπραγματικά. Από την άλλη όμως, δεν μπορεί κανείς να μη σκεφθεί ότι ορισμένα πράγματα από αυτά που υποστηρίζουν φαίνονται να περιγράφουν την ελληνική πραγματικότητα και πως ένα κοινοβούλιο με εκλεγμένους και κληρωτούς βουλευτές μπορεί όντως να ήταν αποτελεσματικότερο (θυμίζουμε ότι η αποτελεσματικότητα μετράται με βάση τους νόμους που ψηφίζονται και είναι προς το κοινό όφελος). Θα ψηφίζονταν άραγε από ένα μεικτό κοινοβούλιο νόμοι που εξασφαλίζουν ψηλότερες συντάξεις και αποδοχές στους βουλευτές; Θα περνούσε ο νόμος περί ευθύνης υπουργών ο οποίος οδηγεί στη συντομότατη παραγραφή αδικημάτων υπουργών; Θα δεχόταν το βουλευτικό σώμα να ψηφίζει προϋπολογισμούς στη διαμόρφωση των οποίων δεν είχε καμιά συμμετοχή και, ακόμη περισσότερο, κανέναν έλεγχο; Θα είχε συρρικνωθεί ο βουλευτικός ρόλος σε νομοθετικό ιμάντα έγκρισης νομοσχεδίων που φέρνουν στη Βουλή οι υπουργοί; Κάνουμε λάθος, ή είναι όντως ελάχιστα τα παραδείγματα βελτιστοποίησης νομοσχεδίων (σε επιμέρους λεπτομέρειες) που υπήρξε απόρροια συντεταγμένης προσπάθειας βουλευτών; Μήπως τελικά οι κληρωτοί είναι μια λύση;

Πέμπτη, 27 Αυγούστου 2015

Ένα καινούργιο μαθηματικό "πλακάκι"

Ένα νέο πεντάγωνο που μπορεί να επιστρώσει τέλεια ένα επίπεδο προσφέρει λύση σε αιώνιο πρόβλημα

Ενδιαφέροντα νέα για τους μαθηματικούς – αλλά και για τους αρχιτέκτονες, τους σχεδιαστές, τους βιοχημικούς και όχι μόνο – έρχονται από τις Ηνωμένες Πολιτείες. Ερευνητές από το Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον ανακάλυψαν έναν νέο τύπο πενταγώνου ο οποίος μπορεί να επιστρώσει πλήρως ένα επίπεδο. Η ανακάλυψη προσφέρει μια ακόμη απάντηση σε ένα πρόβλημα που απασχολεί την επιστήμη των Μαθηματικών εδώ και περισσότερο από έναν αιώνα: τα νέο σχήμα είναι το 15ο που έρχεται να προστεθεί στη σειρά των πενταγώνων που έχουν τη συγκεκριμένη ιδιότητα, ύστερα από τριάντα χρόνια απουσίας της παραμικρής προόδου στον συγκεκριμένο τομέα.


Στην καθημερινή πρακτική μας μια πλακόστρωση δεν είναι απαραίτητο να δίνει έμφαση στην παραμικρή λεπτομέρεια ούτε να χαρακτηρίζεται από τελειότητα. Για τη Γεωμετρία όμως η έννοια της επικάλυψης ή επίστρωσης επιπέδου σημαίνει ότι τα σχήματα που θα τοποθετηθούν το ένα πλάι στο άλλο για να καλύψουν το επίπεδο – δηλαδή, θα λέγαμε, οι «πλάκες» – δεν θα πρέπει να αφήνουν κενά μεταξύ τους ούτε να επικαλύπτουν το ένα το άλλο. Χάριν της οικοδομικής χρησιμότητάς της και όχι μόνο η γεωμετρική «πλακόστρωση», τόσο στο επίπεδο όσο και στον χώρο, έχει απασχολήσει τα μεγαλύτερα πνεύματα από την αρχαιότητα: οι Πυθαγόρειοι, ο Πλάτων, ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης έχουν ασχοληθεί με αυτήν και με τα στερεά που μπορούν να την επιτύχουν ενώ άλλοι λαμπροί μαθηματικοί τούς ακολούθησαν μεταγενέστερα σε αυτό το έργο. 

΄Ετσι λοιπόν είναι σήμερα γνωστό ότι όλα τα τρίγωνα και τα τετράπλευρα μπορούν να επιστρώσουν άψογα ένα επίπεδο, χωρίς κενά και αλληλοεπικαλύψεις. Από εκεί και πέρα ωστόσο αρχίζουν τα προβλήματα. Κανένα κανονικό (δηλαδή ίσων πλευρών και γωνιών) πολύγωνο με περισσότερες από τέσσερις πλευρές δεν μπορεί να προσφέρει πλήρη επικάλυψη του επιπέδου ενώ τα μη κανονικά πολύγωνα εμφανίζονται εν πολλοίς εξίσου ακατάλληλα. Εχει αποδειχθεί ότι κανένα μη κανονικό επτάγωνο, οκτάγωνο ή πολύγωνο με περισσότερες πλευρές δεν μπορεί να προσφέρει την επιθυμητή επίστρωση ενώ υπάρχουν μόνο τρία κυρτά εξάγωνα που μπορούν να κάνουν κάτι τέτοιο. Το ζήτημα των μη κανονικών πενταγώνων που μπορούν να επιστρώσουν ένα επίπεδο παραμένει ανοιχτό και η αναζήτηση αυτών των σχημάτων αποτελεί πεδίο της μαθηματικής έρευνας εδώ και περισσότερο από έναν αιώνα – περιλαμβάνεται μάλιστα στα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ

Ο πρώτος που ανακάλυψε πέντε πεντάγωνα (ή, για να είμαστε ακριβέστεροι, πέντε τύπους κυρτών πενταγώνων) που μπορούν να επιστρώσουν ένα επίπεδο ήταν ο Γερμανός Καρλ Ράινχαρτ το 1918. Οι επόμενες εξελίξεις στο συγκεκριμένο πεδίο άρχισαν να σημειώνονται πενήντα χρόνια αργότερα, όλες από τις Ηνωμένες Πολιτείες. Το 1968, ο Ρίτσαρντ Μπράντον Κέρσνερ παρουσίασε τρία ακόμη τέτοια πεντάγωνα ενώ το 1975 ο Ρίτσαρντ Τζέιμς πρόσθεσε άλλο ένα στην ομάδα. Ταυτόχρονα η Μάρτζορι Ράις, νοικοκυρά και ερασιτέχνης μαθηματικός, εφήρμοσε μια δική της μέθοδο για να ανακαλύψει, την ίδια χρονιά και τις αμέσως επόμενες, τέσσερα ακόμη πεντάγωνα του είδους. Το 1985 ο Ρολφ Στάιν περιέγραψε το δέκατο τέταρτο. 

Τώρα, τριάντα χρόνια μετά, ο Κέισι Μαν, η Τζένιφερ Μακ Λάουντ και ο Ντέιβιντ Φον Ντεράου από το Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον στο Μπόθελ παρουσίασαν τον δέκατο πέμπτο τύπο, ένα «ολοκαίνουργιο» κυρτό πεντάγωνο που ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις της επίστρωσης επιπέδου. Η ανακάλυψη έγινε με τη βοήθεια ενός ειδικού υπολογιστικού προγράμματος που σχεδίασε ο φοιτητής Ντέιβιντ Φον Ντεράου και θεωρείται εξαιρετικά σημαντική – οι ίδιοι οι ερευνητές ανέφεραν ότι για τον κόσμο των Μαθηματικών ισοδυναμεί κατά κάποιον τρόπο με την ανακάλυψη ενός νέου σωματιδίου στη Φυσική.
Το δέκατο πέμπτο πεντάγωνο που μπορεί να επιστρώσει ένα επίπεδο

«Το πρόβλημα της ταξινόμησης των κυρτών πενταγώνων που μπορούν να επιστρώσουν το επίπεδο είναι ένα ωραίο μαθηματικό πρόβλημα το οποίο είναι αρκετά απλό στην έκφρασή του ώστε να το καταλάβουν ακόμη και τα παιδιά αλλά η λύση του μας διαφεύγει εδώ και περισσότερο από εκατό χρόνια» δήλωσε ο Κέισι Μαν, επίκουρος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ουάσινγκτον στο Μπόθελ, στην εφημερίδα «The Guardian».

Όπως πρόσθεσε η μελέτη του συγκεκριμένου προβλήματος είναι επίσης ενδιαφέρουσα γιατί έχει πολλές και ευρείες εφαρμογές, από τον δομικό σχεδιασμό και τον σχεδιασμό γενικότερα ως τη βιολογία, τη βιοχημεία και την ιατρική. «Πολλές δομές που βλέπουμε στη φύση, από τους κρυστάλλους ως τους ιούς, αποτελούνται από δομικά στοιχεία τα οποία ενώνονται υπακούοντας στη γεωμετρία και άλλες δυναμικές για να σχηματίσουν μια μεγαλύτερης κλίμακας δομή» εξήγησε. 

Τα δεκαπέντε πεντάγωνα που έχουν ανακαλυφθεί ως σήμερα
 Πηγή: Βήμα-science

Ένα πολύ καλό άρθρο (με περισσότερα μαθηματικά) υπάρχει και στο τεύχος 9 του περιοδικού Μαθηματική Επιθεώρηση.  Εδώ: Κάλυψη επιπέδου με κανονικά πολύγωνα

Πέμπτη, 16 Ιουλίου 2015

Tα φροντιστήρια Μ.Ε. και Ξένων Γλωσσών ΔΕΝ είναι είδος πολυτελείας

Του Θανάση Βυρίνη

Κάνω έκκληση,
η οποία είναι ΑΠΑΊΤΗΣΉ από τους μαθητές, τους γονείς και τις οικογένειες οι οποίες έχουν πληγεί τα τελευταία χρόνια από τις πολιτικές λιτότητας.

κ. Πρωθυπουργέ, κ.Βουλευτές, κ.συντάκτες του υπό ψήφιση νομοσχεδίου,
θα ήθελα να αποτρέψετε ΑΜΕΣΑ την κατάργηση της απαλλαγής του ΦΠΑ στα φροντιστήρια, όπως ακριβώς έγινε με τα ιδιωτικά σχολεία και τα κολέγια, στα οποία φοιτούν κατά πλειοψηφία παιδιά οικονομικά εύρωστων οικογενειών! Η κατάργηση της απαλλαγής του ΦΠΑ στα φροντιστήρια τα οποία συμπληρώνουν το ρόλο του δημόσιου σχολείου, πλήττει ευθέως τις οικογένειες που βρίσκονται στα χαμηλά οικονομικά στρώματα και οι οποίες αποτελούν το μεγαλύτερο ποσοστό τους.
Η φροντιστηριακή υποστήριξη μέχρι τώρα στη χώρα μας έχει στόχο να αυξήσει και να βελτιώσει τα πρότυπα και τα στάνταρ για μαθητές που χρίζουν υποστήριξης, ενώ ταυτόχρονα «καλύπτει» την ανάγκη της ελληνικής οικογένειας για εισαγωγή του νέου στα πανεπιστήμια. Επιπλέον, το φροντιστήριο λειτουργεί εξισορροπητικά, παρέχοντας ίση μεταχείριση και τις ίδιες ευκαιρίες σε παιδιά διαφορετικών κοινωνικό-οικονομικών ομάδων. Αναμφίβολα, η μόρφωση και η ακαδημαϊκή επιτυχία ειδικότερα, δρουν καταλυτικά στην προσπάθεια του εφήβου να ανελκυθεί κοινωνικά και οικονομικά, με ταυτόχρονη αναβάθμιση της κοινότητας στην οποία ανήκει.
Στο πλαίσιο αυτό, τα Φροντιστήρια όπως και τα Κέντρα Ξένων Γλωσσών αποτελούν μια καθολική και αδήριτη εκπαιδευτική προτεραιότητα και ανάγκη, αφού δεκαετίες τώρα, έχει κατακτήσει την εμπιστοσύνη των μαθητών και των γονιών τους. Σε αυτά βρίσκουν πρόσβαση γνώσης -επαναλαμβάνω ρητά- τα παιδιά των ασθενέστερων οικονομικά τάξεων!
Αν θέλετε λοιπόν κ.Πρωθυπουργέ να φανείτε ακόλουθος των λόγων σας περί δίκαιης κατανομής των βαρών στην κοινωνία, αναιρέστε ΑΜΕΣΩΣ την απόφασή σας περί επιβολής ΦΠΑ στα φροντιστήρια, τα οποία αποτελούν στη χώρα μας (αλλά και παγκόσμια) τα Λαϊκά Σχολεία!

Κυριακή, 21 Ιουνίου 2015

Ένα σχόλιο του Μιχάλη Αμοιραδάκη στη διαβούλευση του ν/σ του Υπουργείου Παιδείας

Κύριε Υπουργέ

Αρχικά, οφείλω να καταθέσω το εξής: Στα 15 μου αποφάσισα να γίνω δάσκαλος. Μετά την απόκτηση του πτυχίου μου από το μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου της Αθήνας, επέλεξα να γίνω εκπαιδευτικός φροντιστής, γιατί έτσι έκρινα ότι θα μπορέσω να υλοποιήσω το εφηβικό μου όνειρο, με τον καλύτερο τρόπο. Η επιλογή μου αυτή ήταν - και εξακολουθεί να είναι - ελεύθερη, συνειδητή. Και, τουλάχιστον εξ όσων γνωρίζω, ήταν και παραμένει απολύτως νόμιμη. Εάν τα κομματικά σας στερεότυπα γεννούν απέχθεια για την επαγγελματική μου δραστηριότητα, έχετε δύο επιλογές: Είτε να αναλάβετε την πολιτική ευθύνη και να εκφράσετε την απέχθειά σας θεσμικά, με νόμο που να μου απαγορεύει να εργάζομαι, είτε να καταπιείτε την απέχθειά σας και να σωπάσετε. Πάντως, ουδείς, ούτε καν εσείς, έχει το δικαίωμα να χλευάζει το επάγγελμά μου και να με προσβάλλει, με απαράδεκτους χαρακτηρισμούς.

Επί του νομοσχεδίου:

1. Το φροντιστήριο, όπως κάθε χώρος εργασίας, οφείλει να σέβεται (προσωπικά, θα έλεγα και να τιμά), τους ανθρώπους – εργαζομένους του. Το Κράτος, νομοθετώντας, οφείλει να ορίζει τα συστατικά και το πλαίσιο διαχείρισης αυτού του σεβασμού, χαράσσοντας με σαφήνεια τα όρια μεταξύ νομιμότητας και παρανομίας. Ωστόσο, το Κράτος που τώρα εσείς υπηρετείτε, έχει αποδείξει ότι είναι ανίκανο να διαφυλάξει την τήρηση των κανόνων που το ίδιο θέτει, προφυλάσσοντας τους νόμιμους από τους παράνομους. Τίποτα δεν ακούω και πουθενά δεν βλέπω να νοιάζεστε, για τα παράνομα ιδιαίτερα που πλήττουν θανάσιμα τη νόμιμη (και σκληρά φορολογούμενη) φροντιστηριακή εκπαίδευση (την οποία, σε κάθε ευκαιρία που σας δίνεται, μάταια, προσπαθείτε να απαξιώσετε)…

2. Από πουθενά δεν προκύπτει ούτε τεκμηριώνεται δικαίωμα του Κράτους, να στρέφεται εναντίον επιχειρήσεων που (το ίδιο) «ξεζουμίζει», για να επιβιώσει. Τα εργασιακά δεδομένα που συνθέτουν τη λειτουργία κάθε φροντιστηρίου, σύμφωνα με υπάρχουσες νομικές διατάξεις, κατατίθενται σε κρατικές υπηρεσίες. Εάν το Κράτος είναι ανίκανο να βάλει τις υπηρεσίες του να επικοινωνήσουν μεταξύ τους, δεν ευθύνονται γι αυτό οι φροντιστές. Ευθύνεστε εσείς. Ευθύνεστε και οφείλετε να βρείτε τον τρόπο, όλα τα στοιχεία που εμείς (οφείλουμε να) καταθέτουμε, να τα καταθέτουμε μία φορά. Και μετά, βρείτε εσείς τον τρόπο, αυτά να φτάνουν στα χέρια των διευθυντών εκπαίδευσης – ή όπου αλλού επιθυμείτε.

3. Σας ενημερώνω ότι, κόντρα σε κάθε κρατικίστικη (και, φυσικά, κρατικοδίαιτη) λογική, οι μαθητές δεν συμπεριφέρονται στο φροντιστήριο (στο οποίο επιλέγουν να φοιτούν), όπως στο σχολείο (στο οποίο υποχρεώνονται να φοιτούν). Όσον αφορά τις κωμικοτραγικές αιτιάσεις κάποιων – και ελάχιστων – εκπαιδευτικών ότι «τα Χριστούγεννα και το Πάσχα πρέπει να ξεκουράζονται 15 ημέρες για να είναι αποδοτικοί» ή ότι «το Πάσχα οι μαθητές λείπουν γιατί είναι σε διακοπές»… τι να πω; Φαίνεται πως οι δικοί μου συνεργάτες – καθηγητές είναι άνθρωποι… μιας άλλης κατηγορίας, γιατί, πολλά χρόνια τώρα, για να μπορέσουν να κάνουν το καλύτερο για τους μαθητές τους, μου ζητούν πρόσθετες διδακτικές ώρες, ώρες πληρωμένες για τους εργαζόμενους κι απλήρωτες για το φροντιστήριο, ώρες στις οποίες οι μαθητές προσέρχονται ανελλιπώς, με μεγάλη ευχαρίστηση. Πάντως, σε αυτό το σημείο, στοιχειώδης αίσθηση δικαιοσύνης μου επιβάλλει να σας αναγνωρίσω ότι το παρόν κείμενο του νόμου απέχει πάρα πολύ (προς το καλύτερο), από τις αρχικές ανεκδιήγητες διατυπώσεις…

Κύριε Υπουργέ

Αξιοποιώ τη δυνατότητα που μου δίνει το θεσμικό πλαίσιο της Πολιτείας μου και καταθέτω εδώ την άποψή μου, αλλά δεν έχω ψευδαισθήσεις. Διανύω το 55ο έτος της ζωής μου. Τριάντα χρόνια εκπαιδευτικός φροντιστής, είχα πολλές ευκαιρίες, για να μάθω καλά ότι στα μάτια της κρατικής εξουσίας (όλων των χρωμάτων), αποτελώ τον ιδανικό – και απαραίτητο – αποδιοπομπαίο τράγο. Κουράστηκα και βαρέθηκα να προσπαθώ να πείσω, ότι δεν είμαι ελέφαντας. Έτσι, εδώ, δεν θα το επιχειρήσω καν. Θα ήθελα μόνο, σκεπτόμενος τους μαθητές μου, τους γονείς τους και αναλογιζόμενος τις πάμπολλες συζητήσεις μου μαζί τους, να σας παρακαλέσω: Κάποια στιγμή, όποτε το θελήσετε, ελάτε σε μια Κυριακάτικη εκδήλωση ενός φροντιστηρίου – του δικού μου, ή οποιουδήποτε άλλου. Δεν θα σας στοιχίσει τίποτα. Για κάποιους περίεργους κι ανεξερεύνητους λόγους, εμείς οι φροντιστές διαθέτουμε τις Κυριακές μας δωρεάν. Εκεί θα έχετε τη δυνατότητα, αφού αποχωρήσουν διακριτικά από την αίθουσα οι «πληγές», να μιλήσετε ιδιαιτέρως με όλους εκείνους που, αιώνες τώρα, θεραπεύονται… Αν το κάνετε, θα μάθετε πολύ ενδιαφέροντα πράγματα. Σας το υπόσχομαι, ευελπιστώντας ότι έχετε ακόμα τη δυνατότητα να ακούτε…

Τετάρτη, 3 Ιουνίου 2015

Test ευφυίας για παιδιά 5-11 ετών

Τα παρακάτω κείμενα καθώς και το τεστ είναι τμήμα από το τεύχος του περιοδικού "ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ", με τίτλο "ΜΕΤΡΗΣΤΕ ΤΗΝ ΕΥΦΥΪΑ ΣΑΣ" που εκδόθηκε στην Αθήνα το Σεπτέμβριο του 1982, με πρόλογο και επιμέλεια του Ιατρού  Νίκου Μανούσου.


Το τεστ αυτού του κεφαλαίου δεν είναι ένα πλήρες I.Q. τεστ. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι βρίσκεται πιο κοντά στις δοκιμασίες του Raνen, ελέγχοντας ορισμένα μόνο στοιχεία νοημοσύνης. Το τεστ είναι για παιδιά ηλικίας 5 ως 11 χρόνων, και η προγνωστική του αξία είναι οπωσδήποτε περιορισμένη. 'Όσο μικρότερη άλλωστε είναι η ηλικία του παιδιού, τόσο λιγότερο αξιόπιστα είναι τα αποτελέσματα κάθε I.Q. τεστ.


Αυτό πού θα πρέπει να τονιστεί είναι ότι τα αποτελέσματα τής παρακάτω δοκιμασίας δεν θα πρέπει σε καμιά περίπτωση να επηρεάσουν τη συμπεριφορά σας προς το παιδί. Στην περίπτωση πού η βαθμολογία του είναι πολύ χαμηλότερη από το μέσο όρο, θα πρέπει να απευθυνθείτε σε κάποιον ειδικό ψυχολόγο παιδιών, πού θα ελέγξει την ευφυΐα του παιδιού σας με πιο αντικειμενικό τρόπο και κάτω από καλύτερα ελεγχόμενες συνθήκες.


ΤΡΟΠΟΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΤΕΣΤ

Το τεστ αποτελείται από 30 σειρές σχημάτων, κάθε μία από τις οποίες έχει ένα κενό τετράγωνο. Θα ζητήσετε από το παιδί να συμπληρώσει το τετράγωνο αυτό ζωγραφίζοντας το σχήμα πού κατά τη γνώμη του ταιριάζει σε κάθε περίπτωση. Για να το βοηθήσετε να καταλάβει καλύτερα, μπορείτε να συμπληρώσετε το πρώτο σχήμα εσείς. Στις επόμενες δοκιμασίες όμως απαγορεύεται να το βοηθήσετε ή να του λέτε αν η απάντηση πού έδωσε είναι σωστή ή λανθασμένη. Δεν υπάρχει χρονικός περιορισμός για την ολοκλήρωση του τεστ, αλλά αν το παιδί "κολλήσει" για αρκετά λεπτά στην ίδια δοκιμασία, μπορείτε να του πείτε να συνεχίσει στην επόμενη.


Η κάθε δοκιμασία είναι δυσκολότερη από την προηγούμενη. Όταν το παιδί αρχίσει να συναντά δυσκολίες, θα πρέπει να του τονίσετε ότι στην πραγματικότητα οι δοκιμασίες αυτές είναι για παιδιά μεγαλύτερης ηλικίας. Αν το παιδί αποτύχει σε πέντε συνεχόμενες δοκιμασίες, θα πρέπει να τερματίσετε την εξέταση, αποφεύγοντας με κάθε τρόπο να του δημιουργήσετε αίσθημα ανεπάρκειας.


Οι σωστές απαντήσεις, καθώς και ο τρόπος βαθμολόγησης αναφέρονται στο τέλος της σελίδας.

1

 
2

 
3


4

5

6

7


8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30
Oι σωστές απαντήσεις του test 

  
Η κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με ένα βαθμό. Από τον παρακάτω πίνακα μπορείτε να βρείτε την αντιστοιχία πού υπάρχει ανάμεσα στη βαθμολογία που σημείωσε το παιδί, την ηλικία του και το Ι.Q. πού μετράει αυτό το τεστ. 


ΗΛΙΚΙΑ
ΣΩΣΤΕΣ
ΑΠΑΝΤΗ-
ΣΕΙΣ  
5*
6
7
9
8
10
11
0
70-
70-
70­




1
80
80
80 
70



2
90
87
85
80
73
70
66
3
100
95
90
84
78
73
70
4
110
104
96
88
83
77
73
5
120
116
101
93
86
80
76
6
130
126
112
97
89
84
79
7
140
137
124
106
94
87
82
8
150
Ι45
133
116
100
90
86
9

152
140
123
105
94
88
10


147
132
112
99
92
11


152
138
118
104
95
12



143
Ι25
108
98
13



149
130
114
102
14



I52
136
120
107
Ι5




142
124
112
16




146
128
116
17




149
133
120
18




152
137
125
19





142
130
20





Ι45
134
21





148
138
22





152
142
23






146 
24






149 
25






152

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Παρακάτω αναφέρονται ορισμένα "συμβατικά" επίπεδα ευφυΐας, σε συσχέτιση με το γενικό I.Q. ενός παιδιού.
ΣΥΜΒΑΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΥΦΥΪΑΣ
Πάνω από 140
Εξαιρετικά υψηλής ευφυΐας
120-140 
Εξαιρετικής ευφυΐας
110-119 
Άνω τού μετρίου
90-109 
Μέσης ευφυΐας
80-89 
Κάτω τού μετρίου
70- 79
Οριακό επίπεδο
Κάτω από 70  
Πνευματικά υπολειπόμενος

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η διάγνωση τής πνευματικής καθυστέρησης δεν μπορεί να στηριχθεί μόνο στα αποτελέσματα ενός I.Q. τεστ, και ειδικότερα όταν πρόκειται για παιδιά.


Δείτε επίσης εδώ ένα test ευφυίας για ενήλικες (διάρκεια test 45 min)
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...