Κυριακή, 12 Ιουνίου 2016

Μια ιστορική αναδρομή στα μαθηματικά της Γ Λυκείου

 Ξεκινώντας μια ιστορική αναδρομή του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού η αφετηρία μας για μια ακόμη φορά είναι η αρχαία Ελλάδα.

Οι δύο τάσεις που αναπτύχθηκαν στους διανοητές της εποχής αυτής ήταν:
1) Τα μεγέθη είναι επ' άπειρον διαιρετά, κάτι που οδηγεί στο άυλο σημείο ως αποτέλεσμα της επ' άπειρον διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος.
2) Το σύμπαν και ο μικρόκοσμος είναι πεπερασμένα.

Οπαδοί της δεύτερης τάσης ήταν κυρίως οι Ελεάτες φιλόσοφοι που με βασικό τους εκπρόσωπο τον Ζήνωνα διατύπωσαν τα περίφημα παράδοξα, όπως το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας.

Εκατό χρόνια αργότερα ο Αριστοτέλης ορίζει το "εν ενεργεία άπειρο" (είναι το άπειρο εκείνο προς το οποίο βαδίζει η ακολουθία 1,2,3,4,5,.... και στην πραγματικότητα δεν υπάρχει) και το "εν δυνάμει άπειρο" (όπως για παράδειγμα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 2 μονάδες. Αν πάρουμε το μισό του ΓΒ, μετά το μισό του μισού ΓΔ και συνεχίζοντας έτσι, παρότι δε θα βγούμε ποτέ πέρα από το Β, μετά από άπειρα όμως βήματα, θα έχουμε φθάσει στο Β).

Ο Αριστοτέλης με αυτό το τρόπο  έδειξε το παράλογο του Ζηνώνα, αφού τα επιχειρήματά του στηρίζονταν στην έννοια του απείρου την οποία όμως δεν είχε ο ίδιος ορίσει.

Βέβαια ο Ζήνωνας γνώριζε την αντίφαση αυτή και μάλιστα την χρησιμοποιούσε για να κεντρίσει τους Έλληνες διανοούμενους της εποχής έτσι, ώστε να ορίσουν την λεπτή αυτή έννοια του απείρου.

Την έννοια όμως του απείρου κατάφερε ο Αρχιμήδης να την τιθασεύσει, η δημιουργική σκέψη του οποίου άσκησε τεράστια επιρροή στη Μαθηματική Ανάλυση για τα επόμενα 2500 χρόνια.
Οι αρχές του Ολοκληρωτικού Λογισμού θα έπρεπε να αναζητηθούν στους γεωμετρικούς υπολογισμούς εμβαδών και όγκων.

Ουσιαστικά οι αρχαίοι Έλληνες ήταν αυτοί που μέσα από τον θησαυρό όλων των επιστημών, τη Γεωμετρία, επινόησαν και έφθασαν σε υψηλή τελειότητα τη "μέθοδο της εξάντλησης" που είναι ο στενότερος συγγενής του Ολοκληρωτικού Λογισμού.


Αξίζει να σημειωθεί ότι η πραγματική και βαθύτερη επίδραση του έργου του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη του Απειροστικού Λογισμού ήρθε αργότερα, τον 17ο αιώνα, όταν για πρώτη φορά μετά την αρχαιότητα τα μαθηματικά αποτέλεσαν το επίκεντρο της πνευματικής ανάπτυξης μιας ολόκληρης εποχής. Αυτό που άλλαζε ήταν η οπτική γωνία σε σχέση με την Αρχαία Ελλάδα όπου το κίνητρο ήταν θεωρητικό και φιλοσοφικό, σε σχέση με αυτό του 17ου αιώνα που το κίνητρο ήταν η θεμελίωση της επερχόμενης τεχνολογικής ανάπτυξης.

17oς αιώνας
H επιστήμη της Δυναμικής δημιουργήθηκε από τις ανακαλύψεις του Γαλιλαίου, ενώ η επιστήμη της Ουράνιας Μηχανικής δημιουργήθηκε από τις ανακαλύψεις του Κέπλερ. Και οι δύο αυτές νέες επιστήμες απαιτούσαν με τη σειρά τους τη δημιουργία ενός καινούριου μαθηματικού εργαλείου που να μπορεί να χειρίζεται τις μεταβλητές, τη ροή, την κίνηση και να αγκαλιάζουν τη μεταβολή και το άπειρο, σε αντίθεση με τα παλιότερα μαθηματικά που ασχολούνταν με το στατικό και το πεπερασμένο.

Η διαφορά αυτή του στατικού χαρακτήρα των παλιότερων μαθηματικών με τον κινητό του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού, αποδίδεται θαυμάσια συγκρίνοντας την ακίνητη εικόνα της φωτογραφίας με την κινούμενη εικόνα του κινηματογράφου.

Στη βαθμιαία εξέλιξη του καινούριου αυτού κλάδου των μαθηματικών που ονομάστηκε Απειροστικός Λογισμός και έδωσε απάντηση σε προβλήματα που απασχολούσε τους μαθηματικούς από την εποχή του Ζήνωνα, αρχικά θα πρέπει να αναφέρουμε την τεράστια συνεισφορά του Ντεκάρτ (Descartes 1596-1650). Στο έργο του Geometrie μετέφερε όλο το πεδίο της κλασικής Γεωμετρίας στην οπτική των αλγεβριστών (οι μαθητές τον έχουν γνωρίσει για τα καλά με τα μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου).

Κατά τον 17ο αιώνα, όταν τα θεμελιακά προβλήματα άρχισαν να αντιμετωπίζονται κατά τρόπο περισσότερο αφηρημένο για χάρη της γενικότητας, η αναζήτηση μεθόδων για την εύρεση της εφαπτομένης μιας καμπύλης σε ένα ορισμένο σημείο της έπαιρνε όλο και πιο εξέχουσα θέση δίπλα στα αρχαία προβλήματα.  Στην έρευνα αυτή δύο ήταν οι κυριότερες τάσεις, μια γεωμετρική (δίνοντας βαρύτητα στην ελληνική συλλογιστική) και μια αλγεβρική (αλγεβρικές καμπύλες).

Από την δεύτερη τάση γεννήθηκε και η έννοια της παραγώγου που για πρώτη φορά τέθηκε από τον Fermat το 1620. Ο ίδιος ανακάλυψε και μια μέθοδο υπολογισμού των μεγίστων και ελαχίστων το 1638.

Η θεμελίωση της έννοιας της παραγώγου έγινε από τον Newton (1642-1727) και από τον Leibniz (1646-1716), οπότε και άρχισαν να εμφανίζονται και τα κυριότερα χαρακτηριστικά του Απειροστικού Λογισμού.

Ο Newton αντιλαμβανόταν την παράγωγο κυρίως σαν ταχύτητα και ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να την εξηγήσει περιλαμβάνοντας στην θεωρία του την έννοια του ορίου, αλλά με τρόπο δύσκολο και όχι κατανοητό.

Αργότερα ο D' Alembert είδε ότι ο Newton είχε δώσει την σωστή ιδέα, ενώ ο Leibniz έκανε και την πρώτη δημοσίευση του Απειροστικού Λογισμού το 1684. Εκεί συναντάμε και τα σύμβολα dx, dψ, τους κανόνες διαφόρισης, το διαφορικό πηλίκου και τις συνθήκες dψ=0 για τα ακρότατα και d^2ψ=0 για τα σημεία καμπής.

Τις θεωρίες του Leibniz ακολούθησαν ένθερμα οι αδελφοί Bernoulli, οι οποίοι πριν το 1700 είχαν βρει και το μεγαλύτερο μέρος του Απειροστικού Λογισμού που μαθαίνουμε στην Γ Λυκείου.

Σημαντική επίσης ήταν και η συμβολή του μαρκήσιου De L΄Hospital (μαθητή του Bernoulli) που στο έργο του "Ανάλυση Απειροστών" περιλάμβανε και τον περίφημο κανόνα De L΄Hοspital που χρησιμοποιούμε στα όρια.

18ος αιώνας
Τον 18ο αιώνα οι μονάρχες πολλών κρατών περισσότερο από την επιθυμία για δόξα και λιγότερο από τη συνείδηση ότι τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και οι φυσικές επιστήμες βελτιώνουν τη βιομηχανία, το στρατό και το ναυτικό, ασκούσαν την εξουσία τους με ευνοϊκό για την ανάπτυξη των επιστημών αυτών τρόπο.

Τα κυριότερα επίκεντρα της επιστημονικής δραστηριότητας ήταν οι Ακαδημίες, με σπουδαιότερες αυτές του Παρισιού, του Βερολίνου και της Πετρούπολης. Η μαθηματική παραγωγικότητα συσσωρεύτηκε στον Απειροστικό Λογισμό και στις εφαρμογές του στη Φυσική με πρωτεργάτες τους: Leibniz (1646-1716), Euler (1707-1783), D΄Alembert(1717-1783), Langrange (1736-1813), Laplace (1749-1813) και την οικογένεια Bernoulli.

Ξεκινώντας με την οικογένεια Bernoulli στο τεράστιο σε όγκο έργο που άφησαν περιέχεται η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αλλά και οι διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.


Ο Euler, κατά πολλούς ο πιο παραγωγικός μαθηματικός του 18ου αιώνα, αν και τυφλώθηκε το 1766, συνέχισε για πολλά ακόμα χρόνια μέχρι τον θάνατό του το 1783, υπαγορεύοντας τις εργασίες του και ανεβάζοντας τον αριθμό τους σε 886 συνολικά.

Ο Lagrange σε ηλικία 19 ετών έγινε καθηγητής μαθηματικών στη σχολή πυροβολικού της πόλης του Τουρίνου. Στα έργα του συναντάμε τον συμβολισμό των παραγώγων f΄, f΄΄,... που χρησιμοποιούμε και σήμερα, καθώς και την συμπλήρωση της θεωρίας των σειρών Τέιλορ.

19ος αιώνας
Τον 19ο αιώνα με τους Cauchy, Riemann, Gauss, Weistrass έχουμε περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών και σε αντίθεση με τον 18ο αιώνα κατά τον οποίο οι μαθηματικοί δεν έδιναν τόσο μεγάλη προσοχή στη θεμελίωση του έργου τους με χαρακτηριστική τη φράση του D΄Alembert:
"Allez avant, et la foi vous viedra" (τραβήξτε μπροστά και η πίστη θα σας έρθει)

Η θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού που συναντάμε και στα διδακτικά μας βιβλία έγινε από τον Cauchy χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου του D΄Alembert, για να ορίσει την παράγωγο συνάρτηση με τρόπο πιο ακριβή απ΄ότι είχε μέχρι τότε κατορθωθεί, αφού πρώτα όρισε απειροελάχιστη μεταβλητή κάθε μεταβλητό αριθμό που έχει όριο το μηδέν.


Επιπλέον στοιχεία:   10 μεγάλοι σταθμοί στην ιστορία του Απειροστικού Λογισμού 

Βιβλιογραφία: Μαθηματική Ανάλυση  - Ηλίας Λόυβης 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...