Το παραμύθι των υπολογισμών (για παιδιά δημοτικού και όχι μόνο..)

"Μια φορά και έναν καιρό, πάνε πάρα πολλά χρόνια, ήταν ένας βοσκός που είχε ένα πρόβατο" άρχισε να διηγείται ο άντρας.

"Καθώς είχε ένα πρόβατο, όλο κι όλο, δε χρειαζόταν να το μετράει. Αν το έβλεπε πάει να πει πως ήταν εκεί. Αν δε το έβλεπε πήγαινε να πει πως έλειπε και έβγαινε στη γύρα για να το ψάξει. Μετά από λίγο καιρό, ο βοσκός απέκτησε κι άλλο πρόβατο. Ήδη, τα πράγματα γίνανε πιο σύνθετα, γιατί άλλοτε τα έβλεπε και τα δύο μαζί, άλλοτε μόνο το ένα, κι άλλοτε δεν έβλεπε κανένα."

"Κι εγώ ήδη ξέρω πως συνεχίζεται η ιστορία" τον διέκοψε η Αλίκη. "Μετά ο βοσκός βρέθηκε με τρία πρόβατα και έπειτα με τέσσερα. Κι αν συνεχίσουμε να μετράμε πρόβατα, εμένα θα με πάρει ο ύπνος."

"Μην είσαι ανυπόμονη, τώρα αρχίζει το καλύτερο. Πράγματι, το κοπάδι του βοσκού σιγά σιγά μεγάλωνε και αυτός όλο και δυσκολευόταν να κάνει τον έλεγχο του για να δει αν όλα τα πρόβατα ήταν εκεί και δεν του έλειπε κανένα. Αλλά όμως, την μέρα που έφτασε να έχει δέκα πρόβατα, έκανε μια καταπληκτική ανακάλυψη: αν σήκωνε ένα δάχτυλο για κάθε πρόβατο και δεν έλειπε κανένα, τότε έπρεπε να βρεθεί με όλα τα δάχτυλα υψωμένα - και των δύο χεριών."

"Σπουδαία χαζο-ανακάλυψη" σχολίασε η Αλίκη.

"Εσένα σου φαίνεται χαζή γιατί σου μάθανε να μετράς από μικρή, αλλά του βοσκού κανείς δεν του είχε μάθει. Και μη με διακόπτεις...Όσο ο βοσκός είχε μόνο δέκα πρόβατα, όλα πήγαιναν καλά. Όμως σύντομα βρέθηκε με λίγα ακόμα και τότε πια τα δάχτυλα δεν του έφταναν."

"Μπορούσε να χρησιμοποιήσει και τα δάχτυλα των ποδιών."

"Μπορεί, αν τύχαινε να είναι ξυπόλητος." συμφώνησε ο άντρας.

"Πράγματι, κάποιοι αρχαίοι πολιτισμοί το έκαναν αυτό και μετρούσαν είκοσι-είκοσι τα πράγματα αντί για δέκα-δέκα, όπως κάνουμε εμείς. Έλα όμως, που ο βοσκός φορούσε τσαρούχια και δεν το βόλευε καθόλου να τα βγάλει για να μετράει...Έτσι λοιπόν του ήρθε μια καλύτερη ιδέα:όταν του τελείωναν τα δέκα δάχτυλα, έβαζε μια πετρούλα σε ένα ξύλινο πιάτο και άρχιζε να μετράει πάλι από την αρχή με τα δάχτυλά του, από το ένα. Ήξερε όμως, πως η πετρούλα μέσα στο πιάτο άξιζε για δέκα."

"Και δεν ήταν πιο εύκολο να θυμάται πως είχε χρησιμοποιήσει τα δάχτυλά του μια φορά;"

"Όπως λέει μια παροιμία, μόνο οι κουτοί εμπιστεύονται τη μνήμη τους. Σκέψου ακόμα ότι ο βοσκός μας ήξερε ότι το κοπάδι του συνεχώς θα μεγάλωνε κι άρα θα χρειαζόταν ένα σύστημα που θα του χρησίμευε για να μπορεί να μετράει όλα του τα πρόβατα, όσα κι αν ήταν. Από την άλλη, η ιδέα με τις πετρούλες τον βόλεψε πολύ γιατί του ξεκούρασε τα χέρια. Και έτσι, αντί να σηκώνει τα δάχτυλά του για τα πρώτα δέκα πρόβατα, άρχισε να τις βάζει σε ένα άλλο πιάτο, αυτή τη φορά πήλινο."  

"Τι μπλέξιμο!"

"Κανένα μπλέξιμο.Είναι πιο εύκολο να το κάνεις, παρά να το εξηγείς. Κάθε φορά που ξεκινούσε να μετράει τα πρόβατα του, αντί να σηκώνει τα δάχτυλα του, αρχίζει να βάλει πετραδάκια στο πήλινο πιάτο, κι όταν έφτανε στα δέκα, άδειαζε το κουτί αυτό και έβαζε μια πέτρα στο ξύλινο πιάτο. Μετά συνέχιζε το μέτρημα και ξανάρχιζε να γεμίζει το πήλινο πιάτο ως το δέκα. Αν στο τέλος είχε, για παράδειγμα, τέσσερις πέτρες μέσα στο ξύλινο πιάτο και άλλες τρεις στο πήλινο, ήξερε ότι έπρεπε να μετρήσει τέσσερις φορές δέκα πρόβατα και άλλα τρία, με άλλα λόγια σαράντα τρία. 

"Και όταν έφτανε να έχει δέκα πέτρες μέσα στο ξύλινο πιάτο;"

"Καλή ερώτηση. Τότε έπαιρνε ένα τρίτο πιάτο, σιδερένιο, και έβαζε μέσα μια πέτρα που άξιζε όσο οι δέκα πέτρες του ξύλινου. Έτσι, ήξερε πως η πέτρα στο σιδερένιο πιάτο άξιζε όσο δέκα πέτρες του ξύλινου που άξιζαν η κάθε μια όσο δέκα πέτρες του πήλινου."

"Κάτι που σημαίνει πως η πέτρα στο μεταλλικό πιάτο άξιζε εκατό πρόβατα."

"Πολύ καλά, βλέπω πως το έπιασες το θέμα. Έτσι λοιπόν στο τέλος της ημέρας, μετά τη βοσκή και αφού είχε κλείσει τα πρόβατα στο μαντρί, ο βοσκός βρισκόταν κάπως έτσι...." είπε ο άντρας και ξαναπήρε το μολύβι της Αλίκης για να ζωγραφίσει στο τετράδιο της:

"Πάει να πει ότι είχε διακόσια δεκατέσσερα πρόβατα" συμπέρανε εκείνη.

"Ακριβώς. Κάθε πέτρα του σιδερένιου κουτιού αξίζει για εκατό, του ξύλινου για δέκα και του πήλινου για ένα. Τότε όμως, κάνανε στο βοσκό δώρο ένα μπλοκ και ένα μολύβι...."

"Μα τι λες!" έβαλε τις φωνές η Αλίκη. "Το μπλοκ και το μολύβι είναι πρόσφατες εφευρέσεις, ενώ οι αριθμοί πρέπει να είχαν ανακαλυφθεί πιο πριν."

"Αυτό είναι παραμύθι, δεσποινίς πολυξερίτσα, και στα παραμύθια μπορούν να συμβούν σημεία και τέρατα. Αν σου είχα πει ότι, ξαφνικά, εμφανίστηκε μια νεράιδα με το μαγικό ραβδί της, δε θα είχες διαμαρτυρηθεί καθόλου. Κοίτα τώρα πως κάνεις για ένα απλό μπλοκάκι..."

"Δεν είναι το ίδιο. Στα παραμύθια μπορούν να εμφανιστούν νεράιδες, αλλά όχι αεροπλάνα ή και εγώ δεν ξέρω τι άλλα μοντέρνα πράγματα."

"Καλά, καλά. Αν προτιμάς στο βοσκό δώρισαν ένα πίνακα από πηλό και μια γραφίδα. Και έτσι, αντί να χρησιμοποιεί κουτιά και πετρούλες, άρχιζε να ζωγραφίζει γραμμές για να φαίνονται καλύτερα. Για παράδειγμα:

πήγαινε να πει εκατόν εβδομήντα τρία. Γρήγορα όμως κατάλαβε πως οι γραμμές, αν τις έκανε όλες κάθετες, δεν ήταν και πολύ πρακτικές γιατί μπέρδευε, για παράδειγμα, τις εφτά με τις οκτώ ή τις οκτώ με τις εννιά. Τότε ήταν που άρχισε να κάνει τους αριθμούς να διαφέρουν μεταξύ τους, αλλάζοντας θέση στις γραμμούλες.

Επειδή με τον καιρό συνήθιζε τους εννέα αριθμούς, τους έγραφε όλο και πιο γρήγορα, χωρίς καν να σηκώνει το μολύβι από το χαρτί (συγνώμη τη γραφίδα από το πινάκιο ήθελα να πω) κι άρχιζαν να μοιάζουν κάπως έτσι:

Σιγά σιγά άρχισε να στρογγυλεύει το περίγραμμα των αριθμών του με γραμμές όλο και πιο ελεύθερες, μέχρι που κατέληξαν να πάρουν την παρακάτω μορφή:

Πολύ γρήγορα κατάλαβε πως, τώρα που οι αριθμοί ήταν ξεχωριστοί ο ένας από τον άλλο και δεν μπέρδευε τις γραμμούλες τους, τα κουτιά του ήταν άχρηστα. Γιαυτό κράτησε μόνο τον κύκλο του κουτιού όταν αυτό ήταν άδειο. Για παράδειγμα, αν είχε τρεις εκατοντάδες, καμία δεκάδα και οκτώ μονάδες, έγραφε:

"Και δεν ήταν πιο εύκολο να αφήσει απλά ένα κενό;" ρώτησε η Αλίκη.

"Όχι, γιατί το λευκό κενό φαίνεται μόνο αν έχεις έναν αριθμό από κάθε πλευρά. Οπότε, για να γράψεις τριάντα - που είναι τρεις δεκάδες και καμία μονάδα- δεν μπορείς να γράψεις μόνο το 3, γιατί αυτό είναι το τρία. Για αυτό το λόγο χρειαζόμαστε και τον άδειο κύκλο. Ο βοσκός όμως άρχισε σιγά σιγά να τον μικραίνει, μέχρι που τον έκανε να έχει το ίδιο μέγεθος με τους άλλους αριθμούς. Έτσι, το τριακόσια οκτώ του προηγούμενου παραδείγματος κατέληξε να έχει αυτήν εδώ την μορφή:

"Είχε εφεύρει το μηδέν και έτσι το καταπληκτικό μετρικό μας σύστημα ήταν πλήρες. "

"Δεν καταλαβαίνω γιατί είναι τόσο καταπληκτικό." απάντησε η Αλίκη. "Εμένα οι ρωμαϊκοί αριθμοί μου φαίνονται πιο κομψοί. "

"Μπορεί να είναι πιο κομψοί, αλλά δεν είναι τόσο πρακτικοί. Για δοκίμασε να πολλαπλασιάσεις είκοσι τρία  επί δεκάξι με τους ρωμαϊκούς αριθμούς..."

"Ούτε που το σκέφτομαι να δοκιμάσω. Μήπως πιστεύεις ότι ξέρω την προπαίδεια στα λατινικά;"

"Ε, λοιπόν γράψε μου με ρωμαϊκούς αριθμούς τρεις χιλιάδες τριακόσια τριάντα τρία."

"Πως, αμέ, αυτό ξέρω να το κάνω" είπε η Αλίκη και έγραψε στο τετράδιο της:

"Θα πρέπει να αναγνωρίσεις ότι είναι πολύ πιο απλό να γράψεις 3.333 στο δικό μας "θεσιακό" δεκαδικό σύστημα."

"Καλά, το αναγνωρίζω" παραδέχτηκε η Αλίκη με κρύα καρδιά. "Αλλά γιατί το λες "θεσιακό" δεκαδικό σύστημα;"

"Στο ρωμαϊκό σύστημα, όλα τα Μ είχαν την ίδια αξία, όπως και όλα τα υπόλοιπα γράμματα, ενώ στο δικό μας σύστημα η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από την θέση του μέσα στον αριθμό. Έτσι, στο 3.333, κάθε 3 έχει διαφορετική αξία. Το πρώτο από τα δεξιά αντιστοιχεί σε τρεις μονάδες, το δεύτερο σε τρεις δεκάδες, το τρίτο σε τρεις εκατοντάδες και το τέταρτο σε τρεις χιλιάδες. Για αυτό το λόγο το δικό μας σύστημα λέγεται "θεσιακό". Και αν το λέμε και δεκαδικό είναι γιατί πηδάμε δέκα-δέκα από τη μια θέση στην άλλη: δέκα μονάδες κάνουν μια δεκάδα, δέκα δεκάδες κάνουν μια εκατοντάδα, δέκα εκατοντάδες μια χιλιάδα.."

Από το βιβλίο του Κάρλο Φραμπέτι "ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ μαθηματικά. Η Αλίκη στη χώρα των αριθμών"