Bernand Bolzano: Λίγα λόγια για τη ζωή του και μια συλλογή ασκήσεων

 

 

Ο Bernand Bolzano γεννήθηκε στην Πράγα στις 5 Οκτωβρίου 1781 και πέθανε στις 18 Δεκεμβρίου 1848.

Σπούδασε μαθηματικά, φυσική και φιλοσοφία στο Πανεπιστήμιο της Πράγας, ενώ το 1800 ξεκίνησε να σπουδάζει και θεολογία, ώστε να γίνει καθολικός ιερέας σαν τον πατέρα του. Το 1818 εξελέγη κοσμήτορας στη Φιλοσοφική Σχολή, όπου προσπάθησε να προχωρήσει μια σειρά μεταρρυθμίσεων σε εκπαιδευτικά, κοινωνικά και οικονομικά ζητήματα με κύριο στόχο τα συμφέροντα του έθνους να έχουν ως αφετηρία την ειρήνη και όχι τις ένοπλες συγκρούσεις μεταξύ των κρατών.

Αυτές οι πολιτικές του πεποιθήσεις όμως ήταν υπερβολικά φιλελεύθερες για τις αυστριακές αρχές της εποχής εκείνης με αποτέλεσμα μετά από μόλις ένα χρόνο να απολυθεί από το πανεπιστήμιο, καθώς δε δέχτηκε να αρνηθεί τα πιστεύω του.

Ο Bolzano ήταν αρκετά δημιουργικός στο κομμάτι των μαθηματικών με πολλές και πρωτότυπες συνεισφορές.

 

Συνέβαλε στα θεμέλια της μαθηματικής ανάλυσης με την εισαγωγή ενός αυστηρού ε-δ ορισμού του μαθηματικού ορίου.

 

  

(Σχολικό βιβλίο μαθηματικών Γ Λυκείου, εκτός ύλης)

 

Η αντίληψη του Bolzano για το όριο ήταν παρόμοια με αυτήν που έχουμε σήμερα. Δηλαδή, ότι ένα όριο, αντί να είναι μια σχέση μεταξύ απειροελάχιστων, θα πρέπει να αντικατασταθεί με τον τρόπο με τον οποίο η εξαρτημένη μεταβλητή πλησιάζει μια ορισμένη ποσότητα, καθώς η ανεξάρτητη μεταβλητή προσεγγίζει κάποια άλλη καθορισμένη ποσότητα. 

 

Έδωσε ακόμα την πρώτη αναλυτική απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας, το οποίο αρχικά είχε αποδειχθεί από τον Gauss, ενώ έδωσε και την πρώτη επίσης καθαρά αναλυτική απόδειξη του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Τιμής, γνωστό και ως Θεώρημα Bolzano.

 

Γενικότερα, το πρόβλημα της εύρεσης γενικών τύπων για τον ακριβή προσδιορισμό των ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων είχε απασχολήσει τους μαθηματικούς για πολλούς αιώνες, από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα.

 

Όταν δεν ήταν δυνατή η επινόηση τέτοιων αλγεβρικών τύπων, τότε η προσπάθεια τους εστίαζε στην αναζήτηση δεδομένων και πληροφοριών που θα έκαναν τον προσδιορισμό των ριζών κατά προσέγγιση και με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια. 

 

 

(Σχολικό βιβλίο άλγεβρας Β Λυκείου, εκτός ύλης)

 

(Σχολικό βιβλίο μαθηματικών Γ Λυκείου, εντός εξεταστέας ύλης)

Τέλος, σημαντική ήταν και η επιρροή που άσκησε με τις ιδέες και τις εργασίες του για την Λογική και την Επιχειρηματολογία σε φιλοσόφους του 20ου αιώνα. Το έργο του "Παράδοξα του απείρου", αν και δημοσιεύτηκε το 1851, τρία χρόνια μετά τον θάνατό του, αποτέλεσε την αφετηρία προς την παραδοχή της ύπαρξης υπερσυνόλων.

Μια συλλογή ασκήσεων πάνω στο Θεώρημα Bolzano για μαθητές της Γ Λυκείου ελεύθερο για χρήση.