Ένας σύντομος οδηγός μαθηματικής φιλοσοφίας.

 

 Τι είναι τα μαθηματικά; Μελετούν κάποιο αντικείμενο και ποιο είναι αυτό; Τι είναι οι αριθμοί, τα σύνολα, τα σημεία, οι γραμμές, οι συναρτήσεις; Τι σημαίνουν οι μαθηματικές προτάσεις; Ποια είναι η φύση της μαθηματικής αλήθειας; Πώς είναι γνωστά τα μαθηματικά; Νομιμοποιείται η παρατήρηση ή είναι μια καθαρή νοητική άσκηση; Πώς διευθετούνται οι διαμάχες ανάμεσα στους μαθηματικούς; Τι είναι η απόδειξη; Είναι οι αποδείξεις απόλυτα βέβαιες, απρόσβλητες από λογική αμφιβολία;

Η φιλοσοφία των μαθηματικών είναι ένας κλάδος της φιλοσοφίας ο οποίος μελετά τις υποθέσεις, τα θεμέλια και τις επιπτώσεις των μαθηματικών, ενώ έχει ως στόχο να κατανοήσει τη φύση των μαθηματικών και να ανακαλύψει τη θέση που έχουν στη ζωή των ανθρώπων.

Η προέλευση των μαθηματικών ιστορικά υπόκειται σε επιχειρήματα και διαφωνίες με βασικότερο θέμα συζήτησης το ερώτημα αν η γέννηση των μαθηματικών ήταν τυχαία ή προκλήθηκε από ανάγκη κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης άλλων πεδίων, όπως η φυσική.

Οι αιτίες της διασύνδεσης των μαθηματικών με τη φιλοσοφία είναι πολλές, αφού και οι δύο κλάδοι αποτελούν τις πρωταρχικές διανοητικές προσπάθειες για την κατανόηση του κόσμου γύρω μας. Επίσης και οι δύο γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα και υπέστησαν βαθύτερους μετασχηματισμούς εκεί.

Οι δυτικές φιλοσοφίες των μαθηματικών πηγαίνουν πίσω στον Πυθαγόρα, ο οποίος περιέγραψε τη θεωρία πως τα πάντα είναι μαθηματικά. Οι φιλόσοφοι από την άλλη ενδιαφέρονταν ιδιαίτερα για ζητήματα αναφοράς. Τι είναι αυτό στο οποίο αναφέρεται ή αναπαριστά μια λέξη; Είναι ένα αντικείμενο και πώς καταφέρνουμε να συνδέσουμε ένα όνομα με εκείνο του οποίου αποτελεί το όνομα; Η γλώσσα των μαθηματικών εστιάζει σε τέτοια ζητήματα και έτσι ο Πλάτωνας παραφράζει τον Πυθαγόρα και μελετά την οντολογική κατάσταση των μαθηματικών αντικειμένων και στη συνέχεια ο Αριστοτέλης μελετά τη λογική αυτών.

Στη σύγχρονη φιλοσοφία ένα άλλο διαχρονικό ζήτημα στη φιλοσοφία των μαθηματικών έχει να κάνει με  τη σχέση λογικής και μαθηματικών και τα κοινά τους θεμέλια. Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι φιλόσοφοι των μαθηματικών είχαν ήδη αρχίσει να χωρίζονται σε διάφορες σχολές σκέψης για όλα τα ερωτήματα που τέθηκαν αρχικά, με τρεις βασικές σχολές (το φορμαλισμό, το διαισθητισμό και τη λογική) να εμφανίζονται την περίοδο εκείνη και να επιχειρούν να δώσουν τη δική τους απάντηση στην ολοένα και πιο διαδεδομένη ανησυχία ότι τα μαθηματικά δεν ανταποκρίνονται στα πρότυπα της βεβαιότητας και της αυστηρότητας, όπως είχε θεωρηθεί.

Η φιλοσοφία των μαθηματικών σήμερα προχωρά σε πολλές διαφορετικές κατευθύνσεις έρευνας από φιλοσόφους των μαθηματικών, λογικούς και μαθηματικούς και υπάρχουν πολλές σύγχρονες σχολές σκέψης για το συγκεκριμένο θέμα. Πριν όμως δούμε μερικές από αυτές να σημειώσουμε ότι η φιλοσοφία των μαθηματικών έχει δύο κύρια θέματα:

Α) τον μαθηματικό ρεαλισμό και Β) τον μαθηματικό αντιρεαλισμό.

Ο μαθηματικός ρεαλισμός υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές οντότητες υπάρχουν ανεξάρτητα από την ανθρώπινη σκέψη. Οι άνθρωποι δεν επινοούν τα μαθηματικά, αλλά τα ανακαλύπτουν, όπως πιθανώς το ίδιο θα έκαναν κι οποιαδήποτε άλλα νοήμονα όντα στο σύμπαν. Με άλλα λόγια υπάρχει πραγματικά ένα είδος μαθηματικών που μπορεί να ανακαλυφθεί, όπως είναι για παράδειγμα τα τρίγωνα που αποτελούν πραγματικές οντότητες κι όχι δημιουργήματα του ανθρώπινου μυαλού. Από τους μεγαλύτερους υποστηρικτές του μαθηματικού ρεαλισμού ήταν ο Paul Erdos, ο David Hilbert και ο Kurt Godel που πίστευε σε μια αντικειμενική μαθηματική πραγματικότητα που μπορούσε να γίνει αντιληπτή με τρόπο ανάλογο με την αίσθηση της αντίληψης μας.

Από την άλλη ο μαθηματικός αντιρεαλισμός υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές δηλώσεις έχουν πράγματι αξίες αλήθειας, όμως αυτό δεν πραγματοποιείται κάνοντας μια αντιστοίχιση σε ένα ξεχωριστό κόσμο άυλων ή μη εμπειρικών οντοτήτων.

Μερικές σύγχρονες σχολές σκέψης.

✔ Ας ξεκινήσουμε με μια ιδιαίτερη σχολή, πιο καλλιτεχνική θα λέγαμε, αφού υπερισχύει η άποψη ότι τα μαθηματικά είναι μια τέχνη, ένας αισθητικός δηλαδή συνδυασμός υποθέσεων. Ο G.H. Hardy, ένας από τους σημαντικότερους Άγγλους μαθηματικούς του 20ού αιώνα, στο διάσημο βιβλίο του Η Απολογία ενός Μαθηματικού, ορίζει τα μαθηματικά περισσότερο σε σχέση με ένα αισθητικό συνδυασμό εννοιών. Στο σπουδαίο αυτό δοκίμιο, το οποίο έγραψε αφού συνταξιοδοτήθηκε από την έρευνα στα μαθηματικά, κυριαρχεί το ιδιόμορφο λογοτεχνικό και αισθητικό ύφος του και πραγματεύεται το επίμαχο θέμα της ομορφιάς και της χρησιμότητας των καθαρών μαθηματικών. Η μαθηματική ομορφιά ορίζεται ως τέρψη που προέρχεται από την αφαιρετικότητα, την καθαρότητα, την απλότητα και την τάξη των μαθηματικών, ενώ ως δημιουργική δραστηριότητα μπορεί να συγκριθεί με τη μουσική και την ποίηση.

 

 

✔ Ο μαθηματικός πλατωνισμός για την συνέχεια, μια μορφή ρεαλισμού που υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές οντότητες είναι αφηρημένες, έχουν αντικειμενική υπόσταση ανεξάρτητη από τον μαθηματικό που τα ερευνά, είναι αιώνιες και φυσικά αμετάβλητες. Αυτή ουσιαστικά είναι και η πιο διαδεδομένη άποψη που έχουν οι περισσότεροι άνθρωποι για τους αριθμούς. Για τον μαθηματικό πλατωνισμό τα σημαντικότερα ερωτήματα είναι τα εξής: που ακριβώς υπάρχουν οι μαθηματικές οντότητες και πώς εμείς γνωρίζουμε γι' αυτές; Μήπως υπάρχει ένας κόσμος ξεχωριστός από τον φυσικό κόσμο που αντιλαμβανόμαστε, ο οποίος αποτελείται αποκλειστικά από μαθηματικές οντότητες; Υπάρχει τρόπος να αποκτήσουμε πρόσβαση σε αυτόν τον ξεχωριστό κόσμο και να ανακαλύψουμε αλήθειες για τις οντότητες αυτές; Στο βιβλίο Mathematical Experience του 1999, οι Davis και Hersh υποστηρίζουν πως οι περισσότεροι μαθηματικοί σκέφτονται και ενεργούν σαν πλατωνιστές, ο Kant επίσης έγραφε ότι τα μαθηματικά είναι συνθετικά και a priori, ενώ και ο Godel υπέθετε την ύπαρξη κάποιου είδους μαθηματικής διαίσθησης που μας επιτρέπει να αντιληφθούμε άμεσα τα μαθηματικά αντικείμενα.

✔  Ένα βήμα παρακάτω από τον μαθηματικό πλατωνισμό είναι ο μαθηματισμός που προχωρά περισσότερο από τον πλατωνισμό, καθώς υποστηρίζει πως όχι μόνο υπάρχουν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα, αλλά δεν υπάρχει και τίποτα άλλο. Χρονολογικά εξελίσσεται ως εξής: Πυθαγόρας (όλα τα πράγματα είναι αριθμοί), Πλάτωνας, Νεοπυθαγορισμός, Νεοπλατωνισμός (με την προσθήκη της αριστοτελικής μαθηματικής λογικής), Καρτεσιανισμός (εφαρμογή του μαθηματικού συλλογισμού στη φιλοσοφία), Λαϊμπνιζιανισμός, η φιλοσοφία του Alain Badiou και η υπόθεση του μαθηματικού σύμπαντος από το Φυσικό Max Tegmark.

✔ Ο λογικισμός, η άποψη ότι τα μαθηματικά μπορούν να αναχθούν στη λογική, είναι γνωστά εκ των προτέρων και αποτελούν απλώς μέρος της γνώσης μας για τη λογική. Η γνώση για τα μαθηματικά είναι επομένως αναλυτική και δεν απαιτείται καμία ειδική ικανότητα μαθηματικής διαίσθησης, αφού η λογική είναι το μόνο σωστό θεμέλιο των μαθηματικών και όλες οι μαθηματικές προτάσεις είναι αναγκαίες λογικές αλήθειες. Βασικοί εκφραστές της σχολής αυτής είναι οι Rudolf Carnap, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Bob Hale, Crispin Wright κ.α.

" Τα μαθηματικά και η λογική, από ιστορική σκοπιά, ήταν εξ ολοκλήρου διακριτοί κλάδοι... Αλλά και οι δύο αναπτύχθηκαν στους νεότερους χρόνους: η λογική έχει γίνει περισσότερο μαθηματική και τα μαθηματικά έχουν πάρει περισσότερο λογική μορφή. Κατά συνέπεια έχει γίνει αδύνατο να τραβήξει κανείς μια διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο. Στην πραγματικότητα οι δύο κλάδοι έχουν γίνει ένας..."

(Russell, 1919)

✔ Ο φορμαλισμός που υποστηρίζει πως οι μαθηματικές δηλώσεις είναι συνεπείς όταν βρίσκονται εντός του συστήματος και της μεθοδολογίας που τις περιγράφει. Μια λίστα επιτρεπτών κανόνων και χαρακτήρων δηλαδή, όπου τα μαθηματικά δε χρειάζεται να αναφέρονται σε κάτι περισσότερο από τη λίστα αυτή. Μια εμμονή γενικότερα σε ένα ήδη μορφοποιημένο, τυπικό και γενικά αποδεκτό περιβάλλον κατά το παρελθόν με μια ανώτερη εξουσία να τα καθορίζει στο παρόν. Ο σημαντικότερος και πρώιμος υποστηρικτής του φορμαλισμού δεν ήταν άλλος από τον μεγάλο David Hilbert, ο οποίος είχε ως στόχο την πλήρη αξιωματοποίηση των μαθηματικών για να δείξει τη συνέπεια όλων των μαθηματικών συστημάτων. Η βασική κριτική που δέχτηκε ο φορμαλισμός ήταν η αδυναμία του να δώσει απάντηση στο ερώτημα ποια συστήματα αξιωμάτων πρέπει να μελετηθούν, καθώς κανένα δεν είναι πιο σημαντικό από το άλλο από φορμαλιστική άποψη.

"Ο φορμαλισμός αντιλαμβάνεται ως μια άποψη των μαθηματικών, ίσως αγνοώντας ή παραμερίζοντας οτιδήποτε άλλο. Για καλό ή για κακό, το μεγαλύτερο τμήμα της βασικής αριθμητικής μαθαίνεται ως μια σειρά από μηχανιστικές (τυφλές) τεχνικές, με λίγες ή καθόλου υποδείξεις του τι κάνουν αυτές οι τεχνικές ή γιατί λειτουργούν. Πόσοι δάσκαλοι θα μπορούσαν να εξηγήσουν τους κανόνες της διαίρεσης ή ακόμα και τον αλγόριθμο για να υπολογίζουμε τετραγωνικές ρίζες, αποκλειστικά με όρους εκτέλεσης μιας ρουτίνας; Αλλά μάλλον αυτό είναι περισσότερο μια παιδαγωγική κριτική παρά μια προσπάθεια δικαίωσης μιας φιλοσοφίας."

(Shapiro, σελ.154)

✔ Ο συμβατισμός, η άποψη ότι οι προτάσεις στη γεωμετρία πρέπει να επιλέγονται για τα αποτελέσματα που παράγουν και όχι για τη φαινομενική συνοχή τους με τις ανθρώπινες διαισθήσεις για το φυσικό περιβάλλον. Για παράδειγμα, ο Poincare, σε μια εργασία του για τις διαφορικές εξισώσεις, ήταν ίσως από τους πρώτους που διατύπωσε την άποψη πως η ευκλείδεια γεωμετρία δεν πρέπει να θεωρείται a priori αλήθεια.

✔ Ο μαθηματικός διαισθητισμός ή ιντουισιονισμός, ένα πρόγραμμα ουσιαστικά μεθοδολογικής μεταρρύθμισης με βασικό σύνθημα πως δεν υπάρχουν μαθηματικές αλήθειες μακριά από τις αισθήσεις και τις εμπειρίες μας. Ο Brouwer, ιδρυτής του κινήματος, ήταν αυτός που πρώτος απέρριψε τη χρησιμότητα κάθε είδους λογικής στα μαθηματικά. Η βασική κριτική που έχει δεχθεί η συγκεκριμένη σχολή είναι πως δεν ορίζεται ξεκάθαρα ο όρος "σαφής κατασκευή", ενώ έχουν γίνει προσπάθειες να χρησιμοποιηθούν οι έννοιες της μηχανής Turing για να καλυφθεί αυτό το κενό, οδηγώντας στον ισχυρισμό ότι μόνο ερωτήσεις σχετικά με τη συμπεριφορά των πεπερασμένων αλγορίθμων έχουν νόημα και θα πρέπει να διερευνηθούν στα μαθηματικά.

"Ελπίζω να έχει καταστεί σαφές ότι ο ιντουισιονισμός αφενός λεπτολογεί με έξυπνο τρόπο τη λογική, αφετέρου την αποκηρύσσει ως πηγή αλήθειας."

(Brouwer, 1948)

 

✔ Ο κονστρουκτιβισμός, που όπως ο διαισθητισμός, περιλαμβάνει την αρχή ότι μόνο οι μαθηματικές οντότητες που μπορούν να κατασκευαστούν ρητά με μια ορισμένη έννοια πρέπει να γίνονται δεκτές στο μαθηματικό λόγο. Τα μαθηματικά με βάση τη σχολή αυτή είναι μια μελέτη της ανθρώπινης διαίσθησης και όχι ένα παιχνίδι που παίζεται με σύμβολα που δεν έχουν νόημα. Βασικός υποστηρικτής ο Christofer Bishop.

✔ Ο φινιτισμός, η πιο ακραία μορφή του κονστρουκτιβισμού, σύμφωνα με τον οποίο ένα μαθηματικό αντικείμενο δεν υφίσταται καν, εκτός κι αν μπορεί να κατασκευαστεί με πεπερασμένο αριθμό βημάτων από τους φυσικούς αριθμούς. Διασημότερος υποστηρικτής της σχολής αυτής ο Kronecker, με τη χαρακτηριστική του φράση: "Ο Θεός δημιούργησε τους φυσικούς αριθμούς, όλα τα άλλα είναι έργο του ανθρώπου."

✔ Ο μαθηματικός στρουκτουραλισμός, μια σχολή με βασικό σύνθημα τα μαθηματικά είναι η επιστήμη της δομής. Οι μαθηματικές θεωρίες λοιπόν περιγράφουν δομές και κάθε μαθηματικό αντικείμενο ορίζεται αποκλειστικά από τη θέση του σε τέτοιες δομές, οπότε δεν έχει εγγενείς ιδιότητες από τη γέννηση του ή εξαιτίας της ίδιας της φύσης του. Για παράδειγμα, το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζουμε για τον αριθμό 1 είναι ότι είναι ο πρώτος ακέραιος αριθμός μετά το 0. Ομοίως όλοι οι άλλοι ακέραιοι αριθμοί ορίζονται από τις θέσεις τους σε μια δομή, που δεν είναι άλλη από την αριθμητική γραμμή. Ο στρουκτουραλισμός αποτελεί ουσιαστικά μια γνωσιολογικά ρεαλιστική θέση στην οποία οι δομές θεωρούνται ότι υπάρχουν, εφόσον κάποιο συγκεκριμένο σύστημα τις εξηγεί. Αυτό προφανώς δημιουργεί και όλες τις γνωστές διαφωνίες σύμφωνα με τις οποίες ορισμένες απολύτως νόμιμες δομές μπορεί κατά λάθος να μην υπάρχουν και πως ένας πεπερασμένος φυσικός κόσμος μπορεί να μην είναι αρκετά μεγάλος για να χωρέσει κάποιες κατά τα άλλα νόμιμες δομές. Κύριοι υπερασπιστές της σχολής αυτής οι Paul Benacerraf, Geoffrey Hellman, Michael Resnik, Shapiro κ.α.

✔ Η θεωρία του ενσωματωμένου νου, ένας καθαρά γνωσιακός κλάδος των μαθηματικών, σύμφωνα με τον οποίο η μαθηματική σκέψη αποτελεί απλά μια φυσική απόρροια του ανθρώπινου γνωστικού μηχανισμού. Στη σχολή αυτή, η αφηρημένη έννοια του αριθμού για παράδειγμα, πηγάζει από την εμπειρία της μέτρησης διακριτών αντικειμένων. Θεωρεί δηλαδή πως τα μαθηματικά δεν είναι καθολικά και ούτε υπάρχουν με καμία πραγματική έννοια, εκτός από τον ανθρώπινο εγκέφαλο. Οι άνθρωποι κατασκευάζουν, αλλά δεν ανακαλύπτουν τα μαθηματικά. Το φυσικό σύμπαν λοιπόν μπορεί να θεωρηθεί ως το απόλυτο θεμέλιο των μαθηματικών που καθοδήγησε την εξέλιξη του εγκεφάλου και καθόρισε ποια ερωτήματα θα έβρισκε άξια έρευνας ο εγκέφαλος αυτός. Υποστηρικτές της σχολής αυτής οι George Lakoff, Keith Devlin και ο σπουδαίος νευροεπιστήμονας Stanislas Dehaene. 

✔ Ο αριστοτελικός ρεαλισμός, μια θέση που υποστηρίζει πως τα μαθηματικά μελετούν τη συμμετρία, τη συνέχεια και την τάξη, ιδιότητες που μπορούν κυριολεκτικά να πραγματοποιηθούν στο φυσικό μας κόσμο. Η βασική του αρχή είναι πως τα αντικείμενα των μαθηματικών, όπως οι αριθμοί για παράδειγμα, δεν υπάρχουν σε έναν αφηρημένο κόσμο, αλλά μπορούν να πραγματοποιηθούν φυσικά, ενώ το κύριο πρόβλημα για τον αριστοτελικό ρεαλισμό είναι η δυσκολία του στο να βρει αντιστοιχία για τα ανώτερα άπειρα που δεν είναι πραγματοποιήσιμα στο φυσικό κόσμο. Χαρακτηριστικό έργο επηρεασμένο από τη συγκεκριμένη σχολή είναι το βιβλίο Foundation of Mathematics in the Theory of Set του John Penn Mayberry.

✔ Ο μαθηματικός ή λογικός ψυχολογισμός, μια ιδιαίτερη σχολή κατά την οποία οι μαθηματικές έννοιες και αλήθειες βασίζονται, προέρχονται, αλλά και εξηγούνται από ψυχολογικά γεγονότα ή νόμους. Υπέρμαχοι της σχολής αυτής οι John Stewart Mill και Gustave Le Bon, ενώ επικρίθηκε έντονα από τον Frege στα Θεμέλια της Αριθμητικής.

✔ Ο μαθηματικός εμπειρισμός, μια μορφή ρεαλισμού ουσιαστικά με βάση τον οποίο τα μαθηματικά αντικείμενα ανακαλύπτονται με εμπειρική έρευνα, όπως συμβαίνει και στις υπόλοιπες επιστήμες. Βασικοί υποστηρικτές της σχολής αυτής οι John Stewart Mill και Karl Popper που επισήμαναν τις εμπειρικές πτυχές των μαθητικών παρατηρώντας πως οι περισσότερες μαθηματικές θεωρίες είναι υποθετικά απαγωγικές, όπως ακριβώς συμβαίνει στη φυσική και στη βιολογία. Ο σύγχρονος μαθηματικός εμπειρισμός διατυπώθηκε από τους Quine και Putnam με βασική αρχή το επιχείρημα της αναγκαιότητας. Αυτό σημαίνει πως τα μαθηματικά είναι απαραίτητα για όλες τις εμπειρικές επιστήμες και πως αν επιθυμούμε να πιστέψουμε στην πραγματικότητα των φαινομένων που περιγράφονται από αυτές θα πρέπει επίσης να πιστέψουμε στην πραγματικότητα των οντοτήτων που απαιτούνται για αυτήν την περιγραφή. Αυτή η θέση έγινε ιδιαίτερα δημοφιλής προς τα τέλη του 20ου αιώνα μαζί με τον ισχυρισμό πως κανένα θεμέλιο των μαθηματικών δε θα μπορούσε ποτέ να αποδειχθεί ότι υπάρχει και συχνά αποκαλείται "μεταμοντερνισμός στα μαθηματικά", αν και ο όρος αυτός θεωρείται από κάποιους υπερφορτωμένος και από άλλους προσβλητικός.

✔ Ο μαθηματικός φαντασιοπλισμός ή μυθοπλασία, που έγινε γνωστός όταν ο Hartry Field δημοσίευσε το 1980 το περίφημο Science Without Numbers. Το βιβλίο υποστηρίζει πως δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε στην ύπαρξη μαθηματικών οντοτήτων ή στην κυριολεκτική αλήθεια των μαθηματικών και συγχρόνως ότι η φυσική θεωρία δεν το απαιτεί αυτό. Η εξήγηση της χρησιμότητας των μαθηματικών στην περιγραφή του φυσικού κόσμου δεν απαιτεί τα μαθηματικά να είναι αληθινά, αλλά να είναι συνεπή. Ο Field προσπάθησε να το εξηγήσει δίνοντας μια πλήρη αξιωματοποίηση της Νευτώνειας μηχανικής, χωρίς να κάνει καμία αναφορά σε αριθμούς και συναρτήσεις. Στη συνέχεια, έχοντας ήδη δείξει πως να κάνουμε επιστήμη χωρίς τη χρήση αριθμών, προχώρησε στην αποκατάσταση των μαθηματικών ως ένα είδος χρήσιμης μυθοπλασίας. 

✔  Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει τέλος η σχολή του κοινωνικού κονστρουκτιβισμού, που αντιμετωπίζει τα μαθηματικά ως ένα κοινωνικό κατασκεύασμα, προϊόν του εκάστοτε πολιτισμού, που υπόκεινται σε διόρθωση και αλλαγή. Στη συγκεκριμένη σχολή η κοινωνική φύση των μαθηματικών αναδεικνύεται ανάλογα με την κάθε ειδικότητα η οποία σχηματίζει τη δική της επιστημονική κοινότητα. Έχει αρκετά ανθρωπιστικό υπόβαθρο και υποστηρίζει για παράδειγμα πως μεγάλες ανακαλύψεις μπορούν να γίνουν σε ένα κλάδο των μαθηματικών που να σχετίζονται με έναν άλλο, ωστόσο η σχέση να παραμείνει άγνωστη λόγω έλλειψης κοινωνικής επαφής μεταξύ των μαθηματικών.

Η φιλοσοφία των μαθηματικών ανήκει συμπερασματικά σε ένα είδος που εμπεριέχει τη φιλοσοφία της φυσικής, τη φιλοσοφία της βιολογίας, τη φιλοσοφία της ψυχολογίας, τη φιλοσοφία της γλώσσας, τη φιλοσοφία της λογικής, ακόμα και τη φιλοσοφία της φιλοσοφίας. Τα μαθηματικά αν και έχουν τη φήμη ότι είναι ένας ξεκάθαρος και αδιαμφισβήτητος επιστημονικός κλάδος, στην πραγματικότητα κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Ιστορικά υπήρχαν και μεγάλες επαναστάσεις στα μαθηματικά, αλλά και μακροχρόνιες αντιλήψεις που στην πορεία εγκαταλείφθηκαν. Και αυτό γιατί η βαθιά κατανόηση του κόσμου (με επιστημονικούς όρους) προϋποθέτει μια εξίσου βαθιά κατανόηση πολλών μαθηματικών. Ο φιλόσοφος των μαθηματικών νιώθει την ανάγκη να πει κάτι γύρω από τα μαθηματικά καθαυτά, κάτι για τον άνθρωπο μαθηματικό και κάτι για τον κόσμο όπου εφαρμόζονται τα μαθηματικά. Μια πράγματι δύσκολη δουλειά! Πηγές: ✒ Stewart Shapiro, "Σκέψεις για τα Μαθηματικά - Η Φιλοσοφία των Μαθηματικών", Κώστας Δρόσος, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών.

✒ Wikipedia, Διαδίκτυο.