10+1 μοναδικές ακολουθίες αριθμών και εφαρμογές τους που δεν φαντάζεσαι...
Ένα προσωπικό top 10 με θεμελιώδεις ακολουθίες αριθμών και σημαντικά μοτίβα που παρουσιάζουν πολλές εφαρμογές σε διάφορους τομείς.
1. Ακολουθία Fibonacci
Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων του. Ξεκινάει με 0 και 1.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο της Πίζας ή Fibonacci περιγράφοντας ένα πρόβλημα που αφορά την αναπαραγωγή κουνελιών. Το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της πλησιάζει τον χρυσό αριθμό φ (1,618...), ο οποίος χρησιμοποείται συχνά στην τέχνη, στην αρχιτεκτονική και στη φύση. Εμφανίζεται σε αμέτρητα φυσικά φαινόμενα, σε αναλύσεις οικονομικών και κοινωνικών μεγεθών, στη σύνθεση μουσικών κομματιών και γενικότερα σε καλλιτεχνικές δημιουργίες προκειμένου να αποτυπωθούν αρμονικές συνθέσεις.
2. Ακολουθία Lucas
Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων του, όμως ξεκινάει με 2 και 1.
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,...
Ανακαλύφθηκε από το Γάλλο μαθηματικό François Édouard Anatole Lucas (1842-1891) ο οποίος συνεισέφερε στη Θεωρία Αριθμών και είναι ευρέως γνωστός για το διάσημο παζλ "Πύργοι του Ανόι". Ο ίδιος έκανε σημαντικές έρευνες πάνω στην ακολουθία Fibonacci και προσδιόρισε πολλές ιδιότητές της.
Οι αριθμοί Lucas, όπως και οι αριθμοί Fibonacci, χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους κρυπτογραφίας εξαιτίας των μαθηματικών τους ιδιοτήτων και της δυσκολίας στην ανάλυσή τους. Έχουν επίσης εφαρμογές στην ανάλυση βιολογικών μοτίβων, στη μελέτη κβαντικών συστημάτων και φυσικών φαινομένων, στη Συνδυαστική, στη Θεωρία Παιγνίων, στην ανάπτυξη μουσικών μοτίβων, αλλά και στη διδασκαλία της Αριθμητικής και των βασικών μαθηματικών εννοιών.
3. Ακολουθία Pell
Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής ισούται με το διπλάσιο του προηγούμενου όρου του προσθέτοντας τον όρο που βρίσκεται πριν από αυτόν.
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70,...
Οι αριθμοί Pell είναι γνωστοί από την αρχαιότητα, καθώς σχετίζονται με την πλησιέστερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2.
Έχουν εφαρμογές στην Άλγεβρα, στη Γεωμετρία, χρησιμοποιούνται σε κρυπτογραφικούς αλγορίθμους, στην ανάλυση μηχανικών συστημάτων και δομών με αναδρομικές ιδιότητες, στην πρόβλεψη οικονομικών τάσεων και στη Θεωρία Παιγνίων. Επιπλέον έχουν εφαρμογή στους οκταγωνικούς καθρέπτες Bagua, οι οποίοι κατασκευάζονται σε μορφή οκταγώνου, καθώς το οκτάγωνο στην κινεζική φιλοσοφία αντιπροσωπεύει τη δημιουργία.
4. Ακολουθία Πρώτων Αριθμών
Αποτελείται από αριθμούς οι οποίοι διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...
Οι πρώτοι αριθμοί έχουν τεράστιες εφαρμογές στην ασφάλεια του διαδικτύου, καθώς χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους κρυπτογραφίας προστατεύοντας τις ηλεκτρονικές επικοινωνίες και συναλλαγές μας.
Εφαρμόζονται στην ίδια την επιστήμη των Μαθηματικών, στην Πληροφορική για τη βελτίωση και την ανάλυση αλγορίθμων, στη Φυσική και στην Κβαντομηχανική για τη μελέτη των ιδιοτήτων των στοιχειωδών σωματιδίων και των κυμάτων. Επίσης στη Βιολογία και στη Γενετική για την ανάλυση της αλληλουχίας του DNA και της συμμετρίας βιολογικών δομών, στα Οικονομικά για την ανάλυση δεδομένων και την πρόβλεψη οικονομικών τάσεων, στη Μουσική, στην Τέχνη, ακόμα και στην Αστρονομία για τη μελέτη περιόδων και συχνοτήτων ουράνιων σωμάτων.
5. Τετράγωνοι Αριθμοί
Στο μοτίβο αυτό ο κάθε όρος είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...
Έχουν εφαρμογές σε μαθηματικά μοντέλα, σε εξισώσεις της Φυσικής και στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Χρησιμοποιούνται επίσης στη Μηχανική για υπολογισμούς σχετικούς με δομικά φορτία και κατασκευές, στη δημιουργία γραφικών παραστάσεων, στη ψηφιακή τέχνη με το σχεδιασμό μοτίβων, αλλά και σε χρηματοοικονομικά μοντέλα και αναλύσεις.
6. Τρίγωνοι Αριθμοί
Ο κάθε όρος είναι ίσος με το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών μέχρι έναν συγκεκριμένο αριθμό.
1, 3 (1+2), 6 (1+2+3), 10 (1+2+3+4), 15, 21, ...
Οι τρίγωνοι, όπως και οι τετράγωνοι αριθμοί, αποτελούν εφεύρεση των πυθαγορείων και μέρος της θεώρησής τους πως όλα στο Σύμπαν εξηγούνται με τη βοήθεια των αριθμών. Για το λόγο αυτό έφτιαχναν ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα, οπότε κάθε τρίγωνος αριθμός, αν συμβολιστεί με σημεία, σχηματίζει ένα τρίγωνο.
Έχουν εφαρμογές στη Γεωμετρία, στη Συνδυαστική, σε διάφορα στρατηγικά παιχνίδια και παζλ, στη Φυσική για την ανάλυση της διάταξης των σωματιδίων σε τριγωνικά πλέγματα, στην Κρυσταλλογραφία, στην Πληροφορική, στη Θεωρία Παιγνίων, στη Μουσική και στην Τέχνη.
7. Ακολουθία των Παραγοντικών (factorials)
Αποτελείται από όλα τα παραγοντικά των φυσικών αριθμών. Το παραγοντικό του n (συμβολίζεται με n!) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων από το 1 έως το n.
1, 2, 6, 24, 120, ...
Έχουν πολύ μεγάλη εφαρμογή στη Στατιστική για τον υπολογισμό πιθανοτήτων (κατανομή Poisson κ.α.). Χρησιμοποιούνται επίσης στην ανάλυση δεδομένων για την κατανόηση των κατανομών και των σχέσεων μεταξύ δεδομένων, στη Μηχανική, στη Χημεία για την ανάλυση χημικών αντιδράσεων και μοριακών συνθέσεων και φυσικά στην Πληροφορική.
8. Ακολουθία Thue - Morse
Μια πιο ιδιαίτερη ακολουθία, η Thue - Morse είναι μια δυαδική ακολουθία η οποία μπορεί να ληφθεί ξεκινώντας από το 0 και προσθέτοντας διαδοχικά το Boolean συμπλήρωμα της ακολουθίας που έχει ληφθεί μέχρι τώρα.
Τα πρώτα βήματα αυτής της ακολουθίας δίνουν τις συμβολοσειρές:
0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110, ...
Ονομάζεται και ακολουθία δίκαιων μεριδίων λόγω των εφαρμογών της στη δίκαιη διαίρεση ή την ακολουθία ισοτιμίας. Για πρώτη φορά μελετήθηκε το 1851 από τον Eugène Prouhet που την εφάρμοσε στη Θεωρία Αριθμών, ωστόσο δεν ανέφερε ρητά την ακολουθία, κάτι το οποίο έκανε το 1906 ο Axel Thue. Η ακολουθία έγινε γνωστή σε όλο τον κόσμο με το έργο του Marston Morse το 1921, όταν την εφάρμοσε στη Διαφορική Γεωμετρία. Η συγκεκριμένη αλληλουχία έχει ανακαλυφθεί ανεξάρτητα κι άλλες φορές, όχι από ερευνητές μαθηματικούς, όπως ο γκραν μάστερ σκακιού Max Euwe, ο οποίος την χρησιμοποίησε σε μια εφαρμογή στο σκάκι.
Λόγω της έλλειψης επαναληψιμότητας χρησιμοποιείται για τη δημιουργία ακολουθιών και για την κατασκευή αλγορίθμων που απαιτούν μη επαναληπτικά μοτίβα. Χρησιμοποιείται επίσης στη δημιουργία κωδικών που πρέπει να αποφύγουν επαναλαμβανόμενα σφάλματα, ενώ έχει εφαρμογές σε θέματα σήματος και θορύβου, όπου απαιτούνται μη επαναληπτικά μοτίβα για τη βελτίωση της ποιότητας ενός σήματος.
9. Ακολουθία Kolakoski
Η ακολουθία Kolakoski είναι μια μοναδική ακολουθία που χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι καθορίζεται από την ίδια την κατασκευή της. Πήρε το όνομά της από τον ψυχαγωγικό μαθηματικό William Kolakoski (1944 - 1997), ο οποίος την περιέγραψε το 1965.
Κατασκευή ακολουθίας
Η ακολουθία αποτελείται από τους αριθμούς 1 και 2 και καθορίζεται επαγωγικά.
Ξεκινά με 1.
Το δεύτερο στοιχείο είναι το 2, το οποίο δείχνει ότι πρέπει να γράψουμε τον αριθμό 2 δύο φορές μετά το 1.
Το τρίτο στοιχείο είναι επίσης το 2, το οποίο δείχνει ότι πρέπει να γράψουμε τον αριθμό 1 δύο φορές.
Συνεχίζοντας καθορίζουμε το επόμενο στοιχείο με βάση τα προηγούμενα, ως εξής:
1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, ...
Είναι αυτοπροσδιοριζόμενη και μη επαναληπτική, δηλαδή δεν παρουσιάζει επαναλαμβανόμενα μοτίβα, γεγονός που την καθιστά ενδιαφέρουσα στη μελέτη ακολουθιών και κωδικών.
Χρησιμοποιείται επίσης στη Θεωρία Γραφημάτων, σε προβλήματα όπου απαιτείται η συμπίεση ή η κωδικοποίηση δεδομένων χωρίς επαναληψιμότητα και, όπως η ακολουθία Thue - Morse, η ακολουθία Kolakoski μπορεί να βοηθήσει στη δημιουργία υφών και σχεδίων χωρίς επαναλαμβανόμενα μοτίβα.
10. Ακολουθία Look-and-Say
Μια ψυχαγωγική ακολουθία αριθμών, η οποία αναλύθηκε από τον John Conway, ενώ είναι επίσης γνωστή και ως ακολουθία αριθμών Morris, από τον κρυπτογράφο Robert Morris και το παζλ "Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός στην ακολουθία 1, 11, 21, 1211, 111221;"
Κατασκευάζεται "λέγοντας" το προηγούμενο ψηφίο. Ξεκινά με 1 και το κάθε επόμενο στοιχείο λέει το προηγούμενο.
Δηλαδή,
Το 1 διαβάζεται ως "ένα 1" ή 11.
Το 11 διαβάζεται ως "δύο 1" ή 21.
Το 21 διαβάζεται ως "ένα 2, ένα 1" ή 1211
Το 1211 διαβάζεται ως "ένα 1, ένα 2, δύο 1" ή 111221 κ.ο.κ
