Τα 23 προβλήματα του Hilbert

  

Σε ένα συνέδριο στο Παρίσι το 1900 ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1862 - 1943) με μια ιστορική ομιλία παρουσίασε μια λίστα με άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά που έμελλε να οδηγήσουν τις εξελίξεις τους ερχόμενους αιώνες. Έθεσε τελικά 23 προβλήματα τα οποία όρισαν σε μεγάλο βαθμό την ερευνητική ατζέντα του 20ου αιώνα. 

Σήμερα, 125 χρόνια από την ομιλία αυτή, ορισμένα από τα προβλήματα, τα οποία αναφέρονται συνήθως με αριθμό, έχουν λυθεί, κάποια επαναδιατυπώθηκαν και μερικά είναι ακόμα ανοιχτά, όμως το πιο σημαντικό είναι ότι υποκίνησαν την καινοτομία και τη γενίκευση. Τα βραβεία Millennium του Ινστιτούτου Clay Mathematics είναι μια εκδοχή του 21ου αιώνα της αρχικής πρότασης του σπουδαίου Hilbert.

Ο Hilbert γεννήθηκε και μεγάλωσε στο Königsberg της ανατολικής Πρωσίας (σημερινό Kalinigrad της Ρωσίας) και αποτέλεσε έναν από τους πιο χαρισματικούς επιστήμονες με ευρείες γνώσεις στους περισσότερους τομείς των μαθηματικών. Υποστήριζε ότι κάθε μαθηματικό πρόβλημα έπρεπε ή να έχει λύση ή απόδειξη ότι είναι αδύνατο.

  

Η παρουσίαση των 23 άλυτων προβλημάτων εκείνης της εποχής έχει μείνει στην ιστορία των Μαθηματικών και ανάλογη δεν έχει επαναληφθεί μέχρι σήμερα. 

Ο Hilbert ξεκίνησε την ομιλία του με έναν μεγάλο πρόλογο θέτοντας κάποιες ερωτήσεις στη μαθηματική κοινότητα:

"Ποιος από εμάς δεν θα ήταν ευτυχής να σηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο βρίσκεται κρυμμένο το μέλλον; Να ρίξει μια ματιά στην επερχόμενη πρόοδο της επιστήμης και να μάθει τα μυστικά αυτής της ανάπτυξης στους επόμενους αιώνες; Να μάθει ποιοι θα είναι οι συγκεκριμένοι στόχοι προς τους οποίους οι κορυφαίες μαθηματικές διάνοιες των επερχόμενων γενεών θα στρέψουν τις προσπάθειές τους; Ποιες νέες μέθοδοι και νέες αλήθειες από το ευρύ και πλούσιο φάσμα των μαθηματικών σκέψεων θα αποκαλυφθούν στους επόμενους αιώνες;"

Τα προβλήματα, όπως χαρακτηριστικά είπε, αποτελούν την ένδειξη ότι ένας επιστημονικός κλάδος είναι ζωντανός!

1. Το πρόβλημα του Cantor για τους πληθικούς αριθμούς του συνεχούς. Η υπόθεση του συνεχούς.

 

Το πρώτο πρόβλημα στο οποίο αναφέρθηκε ο Hilbert ήταν του Georg Cantor (1845-1918) από τον κλάδο της Θεωρίας Συνόλων. Ο Cantor είχε εισαγάγει την έννοια του πληθάριθμου προκειμένου να συγκρίνει το μέγεθος των άπειρων συνόλων, αποδεικνύοντας ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει μικρότερο πληθάριθμο από το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Με τον τρόπο αυτό εισήγαγε την υπόθεση του συνεχούς, με την οποία υποστήριζε ότι δεν υπάρχει σύνολο που να έχει πληθάριθμο μεταξύ αυτού των φυσικών αριθμών και αυτού των πραγματικών αριθμών. Ο Cantor προσπαθούσε πολλά χρόνια να το αποδείξει χωρίς επιτυχία και ο Hilbert το επανέφερε. 

Με τη βοήθεια του Kurt Gödel το 1938 και του Paul Cohen το 1963 αποδείχθηκε τελικά ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να μην αποδειχθεί η υπόθεση του συνεχούς με βάση τα αξιώματα της Θεωρίας Συνόλων.

2. Η συνέπεια των αξιωμάτων της Αριθμητικής

Με το 2ο πρόβλημα του ο Hilbert ζήτησε να απαλειφθεί κάθε ενδεχόμενο αντιφάσεων στα Μαθηματικά. Και ενώ η βασική του επιδίωξη ήταν μια απόδειξη ότι τα αξιώματα της Αριθμητικής έχουν συνέπεια, το 1933 ο Kurt Gödel με το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας αποδεικνύει το αντίθετο, δηλαδή ότι καμία θεωρία δεν είναι αρκετά ισχυρή ώστε να αποδείξει τη συνέπειά της. Ο Hilbert μέχρι το θάνατό του δεν έδωσε καμία απάντηση σε αυτό.

3. Η ισότητα των όγκων δύο τετραέδρων με ίσες βάσεις και ίσα ύψη

Ίσως το πιο απλό πρόβλημα από τα υπόλοιπα με αναφορές στον Ευκλείδη και την επιδίωξη μιας αυστηρής απόδειξης της αδυναμίας να λυθεί το συγκεκριμένο πρόβλημα. Η αρνητική απάντηση δόθηκε την ίδια χρονιά από τον Max Dehn.

 

4. Το πρόβλημα της ευθείας γραμμής ως τη μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων (εναλλακτικές γεωμετρίες)

Το συγκεκριμένο πρόβλημα θεωρήθηκε από πολλούς ότι δεν ήταν σαφώς διατυπωμένο και επομένως δεν μπορούσε να πάρει μια σαφή απάντηση.

5. Η αρχή του Lie για συνεχείς ομάδες μετασχηματισμών χωρίς την υπόθεση της διαφορισιμότητας των συναρτήσεων που ορίζουν τις ομάδες

Ο Νορβηγός μαθηματικός Marius Sophus Lie (1842 - 1899) δημιούργησε σε μεγάλο βαθμό τη θεωρία της συνεχούς συμμετρίας και την εφάρμοσε στη μελέτη της γεωμετρίας και των διαφορικών εξισώσεων.

Στη θεμελίωση της θεωρίας του υπέθεσε ότι οι συναρτήσεις που ορίζουν τις ομάδες του είναι διαφορίσιμες. Το ερώτημα του Hilbert ήταν αν μπορεί να αποφευχθεί η υπόθεση της διαφορισιμότητας και το 1952 δόθηκε τελικά θετική απάντηση από τον Andrew Gleason.

 

6. Η αξιωματικοποίηση της Μαθηματικής Φυσικής

Για το συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχει η εξής πρόοδος:

 Αξιωματικοποίηση

👉 της Κλασικής Μηχανικής το 1903 από τον Georg Hamel.

👉 της Θερμοδυναμικής το 1909 από τον Κ. Καραθεοδωρή.

 

 👉 της Ειδικής Σχετικότητας το 1914 από τον Robb και το 1924 από τον Καραθεοδωρή.

 👉 της Θεωρίας Πιθανοτήτων το 1930 από τον Kolmogorov.

 👉 της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου στα τέλη της δεκαετίας του 1950 από τον Whiteman.

 

 7. Η αρρητότητα και η υπερβατικότητα κάποιων συγκεκριμένων αριθμών

Ο Hilbert έθεσε το ερώτημα αν μια εκθετική παράσταση με αλγεβρική βάση και άρρητο αλγεβρικό εκθέτη παριστάνει πάντα έναν υπερβατικό ή τουλάχιστον έναν άρρητο αριθμό. Θετική απάντηση στο πρόβλημα αυτό δόθηκε για πρώτη φορά το 1934.

8. Προβλήματα πρώτων αριθμών (η κατανομή των πρώτων αριθμών και η υπόθεση Riemann)

Από τα πιο γνωστά προβλήματα το οποίο παραμένει άλυτο μέχρι και σήμερα. Η υπόθεση αυτή εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 1859 στην εργασία του Bernhard Riemann (1826 - 1866) με τίτλο "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener Grosse".

 

9. Η απόδειξη του γενικότερου Νόμου της Αντιστροφής σε κάθε αριθμητικό σώμα

Μερική λύση του προβλήματος αυτού δόθηκε το 1923 από τον Emil Artin. 

 

10. Καθορισμός της επιλυσιμότητας μιας Διοφαντικής Εξίσωσης

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ο Hilbert έθεσε το ζήτημα για το αν υπάρχει τελικά διαδικασία εύρεσης ακέραιων ριζών μιας οποιασδήποτε διοφαντικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων. Το πρόβλημα απαντήθηκε το 1970 όταν ο Yuri Matiyasevich απέδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος.

Η απόδειξη αυτής της "αδυνατότητας" αποτελεί και το κύριο αντικείμενο του παρακάτω βιβλίου, το οποίο συνοδεύεται και από πολλές εφαρμογές της τεχνικής που επινοήθηκε για την επίλυση του 10ου προβλήματος. Μετά την αρχική έκδοση του 1993, το βιβλίο κυκλοφόρησε στα ελληνικά το 2022 από τις εκδόσεις Ευρύαλος - Απόλλων αποτελώντας το πληρέστερο σύγγραμμα παγκοσμίως επί του θέματος.

 

11. Τετραγωνικές μορφές με τυχαίους αλγεβρικούς συντελεστές

Το πρόβλημα διατυπώθηκε ως εξής:

Με δεδομένη μια τετραγωνική εξίσωση με αλγεβρικούς συντελεστές και οποιοδήποτε πλήθος μεταβλητών, να υπολογιστούν οι ακέραιες ή κλασματικές λύσεις, οι οποίες ανήκουν στο αλγεβρικό σύνολο που ορίζουν οι συντελεστές της.

Το πρόβλημα αυτό λύθηκε το 1924 από τον Hasse για τους ρητούς αριθμούς και το 1930 από τον Siegel για τους ακέραιους.

12. Επέκταση του θεωρήματος του Kronecker για τα αβελιανά σώματα σε οποιοδήποτε ρητό αλγεβρικό σύνολο

Ο Γερμανός μαθηματικός Leopold Kronecker (1823 - 1891) ασχολήθηκε με τη θεωρία αριθμών, την άλγεβρα και τη λογική. Το 1853 διατύπωσε το θεώρημα Κρόνεκερ - Βέμπερ, αν και δεν έδωσε ολοκληρωμένη απόδειξη (αποδείχθηκε πλήρως αργότερα από τον Hilbert). Μελέτησε επίσης τις ελλειπτικές συναρτήσεις και διατύπωσε την εικασία liebster jugendraum (το αγαπημένο όνειρο της νεολαίας), μια γενίκευση που διατυπώθηκε αργότερα ως το 12ο πρόβλημα της λίστας.

 Η λύση δόθηκε το 1920 από τον Takagi με τη δημιουργία της θεωρίας Αβελιανών Σωμάτων.

13. Αδυναμία λύσης της γενικής εξίσωσης 7ου βαθμού θεωρώντας συναρτήσεις δύο μόνο μεταβλητών

Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τους Andrei Kolmogorov και Vladimir Arnold το 1957.

14. Απόδειξη ότι ορισμένα πλήρη συστήματα συναρτήσεων είναι πεπερασμένα

Λύθηκε το 1962 από τον Masayoshi Nagata.

15. Αυστηρή θεμελίωση της αριθμητικής γεωμετρίας του Schubert

Η αριθμητική γεωμετρία αποτελεί κλάδο της αλγεβρικής γεωμετρίας που ασχολείται με την καταμέτρηση αριθμών λύσεων σε γεωμετρικά ερωτήματα. Ως κλάδος των μαθηματικών γνώρισε θεαματική ανάπτυξη προς τα τέλη του 19ου αιώνα, στα χέρια του Γερμανού μαθηματικού Hermann Schubert (1848 - 1911).

 

Το 15ο πρόβλημα του Hilbert αφορούσε το συγκεκριμένο κλάδο γενικεύοντας ένα θεμελιώδες ερώτημα του λογισμού Schubert, ενώ μια αυστηρά μαθηματική θεωρία δόθηκε το 1930 από τον Van Der Waerden.

16. Πρόβλημα στην τοπολογία των αλγεβρικών καμπύλων και επιφανειών

Χωρίζεται σε δύο επιμέρους προβλήματα. Το πρώτο ζητά να ερευνηθούν οι σχετικές θέσεις των κλάδων των αλγεβρικών καμπύλων βαθμού n και το δεύτερο ζητά να καθοριστεί άνω φράγμα για τον αριθμό των οριακών κύκλων σε πολυωνυμικά διανυσματικά σώματα βαθμού n.

Όσον αφορά το πρώτο τα καλύτερα αποτελέσματα δόθηκαν το 1996, ενώ όσον αφορά το δεύτερο δόθηκαν μερικά αποτελέσματα το 1990.

17. Παράσταση ορισμένων μορφών ως αθροίσματα τετραγώνων

Μπορεί κάθε πολυώνυμο πολλών μεταβλητών το οποίο παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές στο σύνολο των πραγματικών να παρασταθεί ως άθροισμα τετραγώνων ρητών συναρτήσεων;

Λύσεις δόθηκαν το 1927 από τον Emil Artin, το 1967 από τον A. Pfister και η αρνητική λύση στη γενική περίπτωση το 1967 από τον D.W. Dubois.

 

18. Διαμέριση του χώρου σε ίσα πολύεδρα

Η τελική λύση δόθηκε στο τέλος του 20ου αιώνα με τη βοήθεια υπολογιστών.

 

19. Είναι πάντα οι λύσεις των κανονικών προβλημάτων του Λογισμού Μεταβολών αναγκαστικά αναλυτικές;

Λύθηκε το 1904 για πρώτη φορά από τον Serge Bernstein.

 

20. Το γενικό πρόβλημα των οριακών τιμών

Στο πρόβλημα αυτό ο Hilbert διερωτάται αν όλα τα προβλήματα μεταβολών με συνοριακές συνθήκες έχουν λύσεις, καθώς είχε παρατηρήσει ότι υπήρχαν μέθοδοι για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων όπου οι τιμές της συνάρτησης δίνονταν στο σύνορο.

 

21. Απόδειξη της ύπαρξης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που να έχουν προκαθορισμένη μονοδρομική ομάδα

Δόθηκε αρνητική απάντηση το 1994 από τους Anasov και Bolibrukh.

 

22. Ομογενοποίηση των αναλυτικών σχέσεων μέσω αυτομορφικών συναρτήσεων

Λύθηκε το 1907 από τον Paul Koebe και ανεξάρτητα το 1907 από τον Henri Poincaré.

 

23. Περαιτέρω ανάπτυξη των μεθόδων του Λογισμού Μεταβολών   

Το συγκεκριμένο πρόβλημα αποτελεί ουσιαστικά μια παρότρυνση του Hilbert προς την μαθηματική κοινότητα να ασχοληθεί με τον Λογισμό Μεταβολών, έναν κλάδο των μαθηματικών που μέχρι εκείνη τη στιγμή δεν είχε τύχει γενικής εκτίμησης.

 

Σημείωση

Η πλήρης λίστα με τα 23 προβλήματα δημοσιεύθηκε το 1902 στο περιοδικό της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας. Ο Hilbert αρχικά συμπεριέλαβε 24 προβλήματα στη λίστα του, αλλά αργότερα αποφάσισε να μην δημοσιεύσει το ένα από αυτά. Το "24ο πρόβλημα" ανακαλύφθηκε το 2000 στα προσωπικά του χειρόγραφα.