Παρασκευή, 2 Δεκεμβρίου 2016

2 Πανεπιστημιακοί Καθηγητές Μαθηματικών απαντούν σε 4 ερωτήσεις για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση


Ολοκληρώνοντας την προσωπική μου έρευνα για τα Μαθηματικά στο Λύκειο και μετά από την μεγάλη αποδοχή που είχε η προσπάθεια αυτή στο 1ο (εδώ:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2016/11/6.html ) και στο 2ο μέρος (εδώ:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2016/11/6-m-2.html), θεώρησα πως η γνώμη δύο Μαθηματικών - Καθηγητών της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης είναι το λιγότερη επιβεβλημένη. 

Δύο πολύ γνωστά πρόσωπα της Πανεπιστημιακής μας Εκπαίδευσης, δύο σημαντικοί καθηγητές των μαθηματικών μας τμημάτων, ο Dr Κώστας Δρόσος http://www.math.upatras.gr/~cdrossos/ του Πανεπιστημίου Πατρών και ο Dr Μιχάλης Παπαδημητράκης http://thales.math.uoc.gr:1080/proswpiko/dep/pages/papadimitrakis του Πανεπιστημίου Κρήτης,  γράφουν τις απόψεις τους σε 4 θέματα που απασχολούν ιδιαίτερα όλους εμάς που διδάσκουμε στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση.

Εύχομαι ολόψυχα δημιουργικότητα, παραγωγικότητα και επιτυχία στο δύσκολο ακαδημαϊκό τους έργο!!!

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ


1. Σε ποιόν τομέα του τμήματος των Μαθηματικών διδάσκεται;

2. Θεωρείτε ότι οι πρωτοετείς φοιτητές έχουν το απαραίτητο υπόβαθρο στα Μαθηματικά από τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση τους;

3. Θα προτείνατε κάποια αλλαγή στα αναλυτικά προγράμματα Μαθηματικών στο Λύκειο;

4. Πιστεύετε ότι ο θεσμός των Πανελληνίων εξετάσεων είναι αξιοκρατικός για την εισαγωγή στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση; Η συμμετοχή των Πανεπιστημίων στη διαδικασία αυτή, ως σκέψη, θα σας έβρισκε σύμφωνους;



ΚΩΣΤΑΣ ΔΡΟΣΟΣ


1. Για κάποια χρόνια ήμουν στον Τομέα Πιθανοτήτων, Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας. Στην πορεία τα ενδιαφέροντά μου άλλαξαν και εντάχθηκα στον τομέα, «Παιδαγωγικής,  Ιστορίας και φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Στον τομέα αυτό δίδαξα «Λογική» και «Φιλοσοφία και Θεμέλια των Μαθηματικών»
Από την Πιθανοθεωρία και τη Στατιστική, θέλησα να δω ποια ήταν η σχέση της πιθανότητας και των μοντέλων με τιμές σε μια άλγεβρα Boole. Γενικά τα μη συμβατικά μαθηματικά ήταν στο κέντρο του ενδιαφέροντος μου. Όλα αυτά με οδήγησαν στη Θεωρία κατηγοριών.

2. Υπάρχει ένα 5% που είναι καλοί φοιτητές! Το σύνολο των αποδεκτών φοιτητών μπορεί να φθάνει το 10%. Τα υπόλοιπα 90% ταξινομούνται σε διάφορες κατηγορίες όπως: Φοιτητές που τα μαθηματικά δεν ήταν πρώτη επιλογή και οι οποίοι μάλλον δεν ενδιαφέρονται για αυτά. Οι γονείς επιμένουν: «πάρε ένα πτυχίο και άστο»! Γενικά αυτό το 90% είναι μάλλον αδιάφορο για τα μαθηματικά.

Το βασικό όμως πρόβλημα των «πρωτοετών» είναι ότι η δημιουργικότητά τους έχει σχεδόν μηδενιστεί! Εξηγούμαι: Κατά τη διάρκεια των εισαγωγικών, έχουν μάθει να μελετούν λυμένες ασκήσεις, και σπανίως μπαίνουν στο κόπο να λύσουν μόνοι τους μια άσκηση. Το αποτέλεσμα είναι ασκήσεις που βασίζονται απλά στον ορισμό να μην μπορούν να τις επιλύσουν! Η αναστροφή αυτής της συνήθειας είναι εξαιρετικά δύσκολη! Νομίζω ότι οι συνάδελφοι φροντιστές πρέπει κάπως να αλλάξουν τακτική. Ένας καλός φροντιστής πρέπει να ταξινομήσει την διδακτική ύλη και τις ασκήσεις σε ενότητες, όπου θα λύνονται μια δύο αντιπροσωπευτικές ασκήσεις, και οι άλλες θα λύνονται από τους υποψηφίους. Θα υπάρχουν βεβαίως και γενικές ασκήσεις. Αυτή η στρατηγική βεβαίως ισχύει και για τους συναδέλφους στη δευτεροβάθμια. Το σπουδαίο θέμα της «επίλυσης προβλήματος» πρέπει να τεθεί σε «σωστές» βάσεις. Τέλος ένα σύνηθες λάθος που κάνουν οι πρωτοετείς είναι ότι θεωρούν το πρώτο έτος, ως έτος «ξεκούρασης» μετά από τις εισαγωγικές! Αυτό τους αφήνει πίσω, με αποτέλεσμα να μην μπορούν να ξαναπιάσουν τον ρυθμό των μαθημάτων.

3. Και οι μαθητές αλλά και οι καθηγητές έχουν κυριολεκτικά κουραστεί με τη συνεχή αλλαγή των προγραμμάτων σπουδών. Τα προγράμματα σπουδών πρέπει να είναι «εθνικά» και όχι κομματικά. Πρέπει να υπάρχει ένα πρόγραμμα και μια μόνιμη εθνική επιτροπή η οποία θα εξετάζει τα προγράμματα και τις επιστημονικές εξελίξεις και θα προσαρμόζει και θα συγχρονίζει το δοθέν πρόγραμμα. Θα ήθελα ακόμη να προτείνω το πρόγραμμα να αποτελείται από μαθήματα κορμού, που θα πρέπει να είναι υποχρεωτικά για όλους και σε μαθήματα προσαρμογής στις τοπικές συνθήκες και περιφέρειες. Για παράδειγμα, αν μια περιοχή φημίζεται για τα κεραμικά της, δεν βλέπω το λόγω γιατί οι μαθητές αυτής της περιφέρειας να μη συνεχίζουν την παράδοσή τους.    

4.  Νομίζω ότι με τον ορισμό ανεξάρτητης αρχής επιτετραμμένης για της εισαγωγικές εξετάσεις, ο αξιοκρατικός χαρακτήρας έχει ενισχυθεί. Αν η αρχή αυτή νομίζει ή έχει κάποια ανάγκη συναδέλφων από το Πανεπιστήμιο μπορεί να το ζητήσει. Η θέσπιση όμως τέτοιας συμμετοχής θα μπορούσε να οδηγήσει σε περισσότερες επιπλοκές.

Μπορείτε επιπλέον να προσθέσετε οποιαδήποτε σκέψη σας για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση.

Θα ήθελα να σχολιάσω κάποια θέματα γύρω από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Είναι σίγουρο ότι οι ερμηνείες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, κάτω από διάφορα points of view, δεν είναι αυτές που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν έγκυρες! Θα μνημονεύσω συνοπτικά κάποια σημεία:

Α) Στα ΔΕΔΟΜΕΝΑ Euclids Data βρίσκουμε ότι: Μέγεθος ονομάζεται κάθε ποσό που επιδέχεται αύξηση ή μείωση και επομένως μπορεί να μετρηθεί και να εκφρασθεί με αριθμούς. (Το μήκος, το εμβαδό, ο όγκος, κ.λπ. είναι μεγέθη)
Ο αριθμός που αποτελεί το μέτρο κάποιου μεγέθους είναι ο λόγος (πηλίκο) του εξεταζόμενου μεγέθους προς άλλο ομοειδές το οποίο έχει επιλεχθεί ως μονάδα μέτρησης.

Φαίνεται ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν κατόρθωσαν να επιλέξουν μια μονάδα μέτρησης, και περιορίστηκαν σε καθαρά γεωμετρικές μεθόδους. Λόγω και της κρίσης των ασσύμετρων αριθμών, δεν προχώρησαν στην συντεταγμενοποίηση της γεωμετρικής ευθείας. Αυτό δεν σημαίνει ότι τα μεγέθη “μήκος”, εμβαδό”, “όγκος” δεν υπήρχαν στον Ευκλείδη. Απλά δεν υπήρχαν τα μέτρα, τους!

Ας δούμε όμως τι είναι άλγεβρα, στη σημερινή εποχή.

Σύμφωνα με τον Weyl (δες, Algebra: I-Basic Notions of Algebra-Kostrikin-Shafarevich) “One can attempt a description of the place occupied by algebra in mathematics by drawing attention to the process for which Hermann Weyl coined the unpronounceable word 'coordinatisation'” Πράγματι η αλγεβροποίηση της γεωμετρίας επιτεύχθηκε έχοντας την συντεταγμενοποίηση του Καρτέσιου. Είχαν προσπαθήσει να ταυτίσουν την παρουσία της άλγεβρας και της θεωρίας αριθμών με την ικανότητα να κάνει κανείς προσθέσεις, πολλαπλασιασμούς κ.λπ., αυτό που καλούσαν οι αρχαίοι Έλληνες «λογιστική». Όμως ένας μπακάλης είναι πολύ καλός στις πράξεις αυτές χωρίς να μπορεί να θεωρηθεί ως αλγεβριστής ή ειδικός στη Θεωρία Αριθμών. Έτσι ο όρος «γεωμετρική άλγεβρα» ήταν μάλλον μια υπερβολική ερμηνεία από «κανονιστικούς» μαθηματικούς.

Β) Υπάρχει πρόσφατα μια αναβίωση του «διαγραμματικού συλλογισμού» στην πρακτική των μαθηματικών. Ιδιαίτερα η διαγραμματική τακτική στον Ευκλείδη, δεν είναι καθόλου αρνητικό σημείο αλλά περιέχει ενδιαφέρουσες αναλύσεις. Η καθαρή αξιωματική απαγωγική μέθοδος, μπορεί να παραγάγει τόσα αποτελέσματα όσα επιτρέπει ο νόμος της ταυτότητας ("Α είναι Α"). Από την άλλη μεριά τα διαγράμματα είναι στην ουσία τα «σώματα» η «ύλη» των «εννοιών». Επομένως τα απαγωγικά συστήματα που στηρίζονται στα διαγράμματα είναι «διευρυντικά» (ampliative), δηλαδή προσθέτουν στην ήδη υπάρχουσα γνώση! Το θέμα είναι εκτεταμένο γι’ αυτό θα δώσω κάποια βιβλιογραφία για τους ενδιαφερομένους:

Danielle Macbeth Realizing Reason: A Narrative of Truth and Knowing , Oxford University Press, 2014
●Christian_Marinus_Taisbak Dedomena Euclid’s Data
●GEORGES IFRAH, THE UNIVERSAL HISTORY OF NUMBERS


ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΑΚΗΣ

 
Δυστυχώς δεν μπορώ να αφιερώσω τον πρέποντα χρόνο για να απαντήσω όπως αρμόζει στο απλό αλλά σημαντικό αυτό ερωτηματολόγιο. Για να τιμήσω αυτούς που με τίμησαν απευθυνόμενοι σε εμένα, καταγράφω κάποιες απαντήσεις, εκφράζοντας, όμως, την λύπη μου για το ότι αυτές είναι αναπόφευκτα κάπως βιαστικές και πρόχειρες. Κάνω, συγχρόνως, και την ειλικρινή αυτοκριτική μου για το ότι, όπως εξάλλου οι περισσότεροι συνάδελφοι της τριτοβάθμιας, δεν ξοδεύω αρκετή (και ποιοτική) φαιά ουσία για τα θέματα της δευτεροβάθμιας από την οποία, στο κάτω-κάτω, έρχονται και με «συναντούν» οι φοιτητές μου.

1. Μαθηματική Ανάλυση (Πραγματική, Μιγαδική, Συναρτησιακή και Αρμονική Ανάλυση).

2. Στην Ανάλυση, τυπικά, ναι. Ουσιαστικά, κατηγορηματικά όχι. Στην (ανώτερη) Άλγεβρα ούτε τυπικά ούτε ουσιαστικά. Το ίδιο στη Γεωμετρία και στην (απλή) Γραμμική Άλγεβρα. Το ίδιο και στις Πιθανότητες, όπου υποτίθεται ότι οι μαθητές αποκτούν κάποιες γνώσεις.
Για να μη μακρυγορώ απαριθμώντας, νομίζω ότι η Ανάλυση έχει τη μερίδα του λέοντος στις βασικές γνώσεις από το Λύκειο και ότι ακριβώς αυτές οι βασικές γνώσεις Ανάλυσης είναι εν πολλοίς αχρείαστες. Ίσως οι Πολυτεχνικές Σχολές, οι οποίες τυχαίνει να είναι σχολές “αιχμής”, πιστεύουν ότι οι πολλές και πολύ προχωρημένες γνώσεις Ανάλυσης από το Λύκειο προετοιμάζουν τους φοιτητές τους για το απαιτητικό προπτυχιακό τους πρόγραμμα. Αν όντως έτσι πιστεύουν, είμαι προσωπικά απολύτως βέβαιος ότι κάνουν λάθος. Αλλά ακόμη και αν κάνω λάθος και αυτές έχουν δίκιο, είναι βέβαιος και πάλι ότι κάθε χρόνο "καταστρέφεται μαθηματικά" μια ολόκληρη γενιά μαθητών για χάρη ελάχιστων από αυτούς που θα καταλήξουν στις σχολές "αιχμής". Θα πω περισσότερα απαντώντας στο τρίτο ερώτημα.

3. Θα αναφέρω κάποια πράγματα που νομίζω ότι πρέπει οπωσδήποτε να διδάσκονται.  Κάποια από αυτά μάλλον ήδη διδάσκονται, ίσως σε διαφορετικό βαθμό από αυτό που θεωρώ εγώ σωστό. Δυστυχώς, δεν είμαι καλός γνώστης των αναλυτικών προγραμμάτων, οπότε “συμπαθάτε με” για τις αστοχίες μου. Θα αναφέρω και κάποια πράγματα που γνωρίζω ότι διδάσκονται αλλά που πιστεύω ότι πρέπει να διδάσκονται πολύ λιγότερο ή και καθόλου. 

α) Μεγαλύτερη έμφαση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Να προστεθούν βασικά στοιχεία στερεομετρίας, αλλά κατά τα άλλα να μην αυξηθεί η ύλη της. Να μοιραστεί και στα τρία έτη του Λυκείου (και να εξετάζεται πανελλαδικά). Να διδάσκονται απλές κατασκευές και απλοί γεωμετρικοί τόποι. Δεν χρειάζονται περίπλοκες ασκήσεις. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι το κατεξοχήν εργαλείο μαθηματικής εκπαίδευσης σε λυκειακή ηλικία. Ο μαθητής ζωγραφίζει ένα σχήμα με το χέρι του (επιμονή στην σχεδίαση με χάρακα και διαβήτη!) και παράλληλα σκέφτεται με το μυαλό του. Νομίζω ότι δεν υπάρχει καλύτερο πεδίο εκμάθησης της Αποδεικτικής Διαδικασίας.

β) Μεγαλύτερη έμφαση στις Πιθανότητες και στην Στατιστική. Χωρίς καμία θεωρητικολογία αξιωματικού τύπου. Πραγματική τριβή με (απλά) προβλήματα απαρίθμησης (απλή συνδυαστική), τα οποία αποτελούν τη βάση των πιθανοτήτων. Οι απλοί κανόνες (προσθετικός κ.λ.π.) να προκύπτουν από τέτοια παραδείγματα.

γ) Διεξοδικότερη μελέτη της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν καλά την εξίσωση ευθείας: τί σημαίνει και πώς αυτή προκύπτει (θεώρημα του Θαλή). Πρέπει να γνωρίζουν τα διανύσματα και τις πράξεις τους (απαραίτητες γνώσεις και για τη Φυσική). Ενδέχεται να μαθαίνουν και στοιχεία Αναλυτικής Γεωμετρίας του χώρου (π.χ. εξίσωση επιπέδου).

δ) Απλές γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας: γραμμικά συστήματα 2Χ2 και 3Χ3. Σύνδεση με την Αναλυτική Γεωμετρία (τομές ευθειών και επιπέδων). Η έννοια της ορίζουσας τουλάχιστον για 2Χ2 συστήματα. Το εμβαδό παραλληλογράμμου ως ορίζουσα.

ε) Μεγάλη τριβή με την στοιχειώδη Άλγεβρα (πολυώνυμα, ρητές συναρτήσεις, ρίζες, κ.λ.π.). Πολλή, πολλή παραγοντοποίηση. Διαιρετότητα, μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρώτοι αριθμοί. 

στ) Τριγωνομετρία. Τύποι διπλάσιας και τριπλάσιας γωνίας. Επίλυση τριγώνου και πολλές άλλες εφαρμογές.

ζ) Μιγαδικοί αριθμοί. (Απαράδεκτο να μην γνωρίζουν οι φοιτητές τί κάνουμε όταν ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα!!!) Πολική μορφή μιγαδικού (δηλαδή τριγωνομετρία). Ρίζες της μονάδας.

η) Πολύ απλές έννοιες Ανάλυσης. Συναρτήσεις (πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, ένα-προς-ένα, επί). Απλά παραδείγματα: πολυώνυμα, ρητές συναρτήσεις, συναρτήσεις που ορίζονται με ρίζες, συναρτήσεις με διπλό τύπο (συνδυασμός των προηγουμένων). Η έννοια του ορίου διαισθητικά (το τονίζω: διαισθητικά). Το όριο να κατανοηθεί με πολλά  «πινακάκια»: εδώ οι τιμές του x, δίπλα οι τιμές του y=y(x), το x πλησιάζει το ξ (αριθμός ή άπειρο), το y πλησιάζει το η (αριθμός ή άπειρο). Αντίστοιχες, προσεκτικά ζωγραφισμένες, γραφικές παραστάσεις με πολλά ζεύγη (x,y). Απλές πράξεις ορίων (άθροισμα, γινόμενο, ρίζες) με διαισθητική κατανόηση. Καλή κατανόηση των βασικών απροσδιόριστων μορφών με πολλά απλά παραδείγματα. Βάσει των προηγουμένων, η έννοια της συνέχειας (ομοίως, διαισθητικά) με παραδείγματα απλών αλγεβρικών συναρτήσεων (και διπλού τύπου για την κατανόηση της ασυνέχειας). Η έννοια της παραγώγου ως όριο κλίσεων των χορδών και πώς προκύπτει η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας. Η έννοια της παραγώγου και η ταχύτητα (και επιτάχυνση) στη Φυσική. Απλοί κανόνες παραγώγισης (άθροισμα, γινόμενο κ.λ.π.). Όχι ο κανόνας σύνθεσης. Μέχρι εκεί.  Ενδέχεται (το τονίζω: ενδέχεται) να ειπωθούν κάποια πράγματα για το ορισμένο (όχι αόριστο) ολοκλήρωμα ως όριο αθροισμάτων Riemann, τελείως διαισθητικά και σε συνάφεια με τη γεωμετρική έννοια του εμβαδού και την έννοια του έργου από τη Φυσική. Μέχρι εκεί. Καθόλου παραγώγιση αόριστου ολοκληρώματος, κανένας κανόνας υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Το τί θα ειπωθεί σχετικά με τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα θα εξαρτηθεί από το τί πραγματικά χρειάζεται η Φυσική του Λυκείου από αυτά και σε απόλυτο συντονισμό με την Φυσική. (Πιστεύω ότι χρειάζονται ελάχιστα.)

Είπα πολλά για την Ανάλυση για δύο λόγους: πρώτον διότι αυτό είναι το αντικείμενό διδασκαλίας και έρευνάς μου και δεύτερον διότι, όπως είπα και πριν, η Ανάλυση κυριαρχεί -άδικα- ειδικά στην τρίτη Λυκείου. Για να τονίσω το μέγεθος του παραλογισμού που επικρατεί πολλά χρόνια τώρα στην διδασκαλία της Ανάλυσης στο Λύκειο, θα πω το εξής. Οι μαθητές μαθαίνουν, υποτίθεται, τα βαρύτατα θεωρήματα της ενδιάμεσης τιμής (και το ισοδύναμο του Bolzano), του Rolle, της μέσης τιμής, κλπ. κλπ. κλπ. και -η μέγιστη πλειοψηφία τους- δεν κατανοούν το ότι ο αριθμός 0,999999... είναι ίσος με τον αριθμό 1. (Αδιαμφισβήτητο γεγονός στο δικό μου Τμήμα.) Ας μην πούμε για το αν κατανοούν το γιατί συμβαίνει αυτό. Θα προτιμούσα χίλιες φορές να εξηγήσει κάποιος στον μαθητή του Λυκείου το ότι οι παραπάνω δύο αριθμοί είναι ίσοι (χρειάζονται λίγες πράξεις με τον τύπο αθροίσματος πεπερασμένων όρων γεωμετρικής προόδου και ένα διαισθητικά εξηγήσιμο απλό όριο στο τέλος) ή να εξηγηθεί το παράδοξο του Ζήνωνα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα (ή, ισοδύναμα, το γιατί κάποιος που πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα έναν τοίχο θα σπάσει κάποια στιγμή το κεφάλι του στον τοίχο) παρά να καλλιεργείται η ψευδαίσθηση -σε καθηγητές και μαθητές- ότι κατανοούμε -καθηγητές και μαθητές- διάφορα βαρύγδουπα θεωρήματα. Επιτρέψτε μου λίγα λόγια ακόμη. Το παράδοξο του Ζήνωνα είναι κάτι απέραντα μη-προφανές. Καμία έκπληξη για το ότι του απενεμήθη ο χαρακτηρισμός του  παράδοξου. Έχει να κάνει με την σχέση (ταχύτητα) ανάμεσα στον χώρο και στον χρόνο και βρίσκεται στην βάση της έννοιας του ορίου. Αν εξηγηθεί -και μπορεί να εξηγηθεί πολύ απλά τώρα πια- στους μαθητές, αυτοί θα το εκτιμήσουν και θα κατανοήσουν μαζί με αυτό και την πρωταρχική έννοια του ορίου. Αντιθέτως, το θεώρημα του Bolzano εκφράζει κάτι απέραντα προφανές (μια συνεχής καμπύλη κόβει τον άξονα των x όταν ξεκινήσει από κάτω του και καταλήξει από πάνω του). Αυτό που είναι απέραντα μη-προφανές στο θεώρημα του Bolzano είναι η μαθηματικά αυστηρή απόδειξή του. Και καλώς δεν γίνεται η απόδειξη διότι είναι η επίπονη κατάληξη άλλων θεωρημάτων με επίπονες αποδείξεις. Το αποτέλεσμα είναι να αναρωτιέται ο μαθητής -αν υποθέσουμε ότι του δίνουμε τον χρόνο να σκεφτεί κάτι τέτοιο- προς τί όλη αυτή φασαρία για κάτι προφανές. Αλλά ο μαθητής δεν έχει τον χρόνο να σκεφτεί τον σκοπό του θεωρήματος του Bolzano, διότι έρχεται αντιμέτωπος με έναν καταιγισμό ασκήσεων βασισμένων στο θεώρημα του Bolzano (και στα άλλα παρόμοια), οι οποίες ασκήσεις δεν έχουν -πιστεύω- κανένα απολύτως νόημα και καμία χρησιμότητα, ούτε για τους μαθηματικούς, ούτε για τους φυσικούς, ούτε για τους μηχανικούς.

Και κάτι ακόμη. Νομίζω ότι ένα γερό υπόβαθρο Ευκλείδειας (με στοιχεία Στερεομετρίας) και Αναλυτικής Γεωμετρίας, απλής Γραμμικής Άλγεβρας (συστήματα), Τριγωνομετρίας, μιγαδικών αριθμών, απλών Πιθανοτήτων και ΑΠΛΩΝ (αλλά ουσιαστικά κατανοημένων) ορίων και παραγώγων θα είναι απείρως χρησιμότερο για τις Πολυτεχνικές σχολές «αιχμής» παρά το υποτιθέμενο «γερό» αλλά σαθρό υπόβαθρο των προχωρημένων θεωρημάτων της Ανάλυσης.     

θ) Ίσως είναι περιττό (ο τρόπος σκέψης μου πρέπει ήδη να έχει γίνει φανερός) να προσθέσω ότι δεν συμφωνώ σε επανεισαγωγή (το ακούω καμιά φορά) αφηρημένων εννοιών, όπως της ομάδας ή του διανυσματικού χώρου, οι οποίες, αν δεν κάνω λάθος, υπήρξαν κάποιες στιγμές στο αναλυτικό πρόγραμμα.

4. Εδώ δεν αισθάνομαι ότι είμαι σε θέση να πω κάτι συμπαγές και μελετημένο. Ας αναφέρω πολύ πρόχειρα κάποιες σκέψεις μου για χάρη της συζήτησης.
Χοντρικά, θα έλεγα ότι η επιλογή είναι αξιοκρατική, αν, φυσικά, βάλουμε στην άκρη ζητήματα περισσότερο κοινωνικού χαρακτήρα (ανισότιμη προσέλευση των μαθητών στις εξετάσεις  εξ αιτίας εισοδηματικών ανισοτήτων κ.λ.π.). Δεν μπορώ να δω κάποιο άλλο σύστημα πρόσβασης στα Πανεπιστήμια. Η ελεύθερη πρόσβαση μου φαίνεται δύσκολο να υλοποιηθεί. Αν δεν κάνω λάθος, δεν υφίσταται σε κανένα κράτος. Η συμμετοχή των Πανεπιστημίων με τη μορφή εξετάσεων απευθείας από τα τμήματα νομίζω ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο να υλοποιηθεί αυτή τη στιγμή. Δεν υπάρχει η πρακτική δυνατότητα να κάνει το κάθε τμήμα εξετάσεις έτσι ώστε να μην αμφισβητηθεί η ισότιμη αντιμετώπιση των υποψηφίων. Τα Πανεπιστήμια μπορούν να ορίζουν κριτήρια εισαγωγής (ελάχιστος βαθμός στα Μαθηματικά, ή στην Φυσική, ή στα Αρχαία, για παράδειγμα). (Ίσως, κιόλας, τα κριτήρια αυτά θα μπορούσαν να διαφοροποιούνται μεταξύ ομοειδών Τμημάτων.) Το βέβαιο είναι ότι πρέπει να γίνει σεβαστός από την Πολιτεία ο μέγιστος αριθμός εισακτέων που προτείνει το κάθε Τμήμα. Αλλά αυτό δεν το βλέπω να γίνεται στο πλαίσιο της μη-παραγωγικής διάρθρωσης της οικονομίας της Ελλάδας και για όσο καιρό κρατήσει αυτό..
Πάντως, αυτό που πιστεύω όλο και πιο ισχυρά τα τελευταία χρόνια είναι ότι πρέπει να γίνει μια μεγάλη αλλαγή: η εισαγωγή να γίνεται σε σχολή και κάποια στιγμή (ίσως στο τρίτο έτος) να επιλέγει με κάποια παραπάνω ωριμότητα ο φοιτητής το τμήμα εξειδίκευσής του.


Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...