Πέμπτη, 25 Αυγούστου 2016

Μια διαισθητική προσέγγιση του Απειροστικού Λογισμού


Οι μαθηματικές δυσκολίες της Ανάλυσης δεν επιδέχονται τις περισσότερες φορές μια απλή εξήγηση. Η διαισθητική διατύπωση εννοιών του Απειροστικού Λογισμού, αν και περιέχει έμφυτες δυσκολίες για τον μαθητή, μπορεί να τον βοήθησει να χτίσει τις καινούριες έννοιες πάνω στις γνώσεις που ήδη έχει.

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η εφαπτομένη συνάρτησης και η κλίση της που παρουσιάζεται στην παράγραφο 2.1 του σχολικού βιβλίου.

 Παρατηρούμε ότι γίνεται η παράθεση μιας οριακής διαδικασίας για την κλίση της εφαπτομένης χωρίς να έχει γίνει πιο πριν η μελέτη της παραγώγου συνάρτησης. Αυτή η διαδικασία έχει προφανώς ως στόχο να γίνει όσο το δυνατό πιο διαισθητική αυτή η οριακή προσέγγιση. 

Στη συνέχεια δίνεται και ο ορισμός.

Τέλος, ένα παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια πολύ γνωστή συνάρτηση.


Στην παραπάνω διαδικασία υπάρχει όμως ένα σημαντικό διδακτικό πρόβλημα. Πρόκειται για τη θεμελιώδη διαφορά ανάμεσα στον έμπειρο μαθηματικό, που ήδη έχει μια σφαιρική άποψη των εννοιών αυτών και μπορεί κάθε φορά που τις διασπά σε στάδια να δει κάθε στάδιο σαν μέρος του όλου και τον μαθητή που μπορεί να δει μόνο το μερικό μέσα στο πλαίσιο των περιορισμένων γνώσεων του.

Και στο σημείο αυτό εμφανίζεται η άλλη άποψη. Αν με κάποιο τρόπο ο μαθητής είχε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του θέματος, ίσως να ήταν σε θέση να οργανώσει καλύτερα την σκέψη του και να κατανοήσει καλύτερα όλες τις έννοιες. Η ολοκλήρωση δηλαδή της γενικής ιδέας (θεωρία gestalt),  που δεν είναι άλλη από την έννοια της παραγώγου, θα μπορούσε να είναι διδακτικά καλύτερη από αυτή του αθροίσματος των μερών της.

Μια προσέγγιση τελικά, "διαισθητική" με τη μαθηματική έννοια, είναι πάντα και με την αντιληπτική; Δύσκολο να απαντήσει κανείς. Το σίγουρο είναι ότι το ποια θεωρία και ποια διδακτική μέθοδος θα αξιοποιηθεί στη διδακτική διαδικασία εξαρτάται από την κάθε διδακτική ενότητα, τους εκάστοτε μαθητές, χωρίς να αποκλείεται και μια συνδυαστική λύση.

Θεωρία gestalt: ο τρόπος που γίνεται αντιληπτή η μορφή κάθε στοιχείου εξαρτάται από τη θέση του και τη λειτουργία του στη συνολική διάταξη (αρχική εικόνα)

Παρασκευή, 1 Ιουλίου 2016

Τα μαθηματικά σε 9 σχολές

 5ο Πεδίο

1) Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής (Ο.Π.Α.)


α) Στατιστική για επιχειρήσεις
Θεμελιώδεις έννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής
β) Μαθηματικός Λογισμός σε επιχειρησιακά προβλήματα
Θέματα των γνωστικών αντικειμένων της άλγεβρας μητρών, της ανάλυσης, του διαφορικού και του ολοκληρωτικού λογισμού, των διαφορικών εξισώσεων κ.α.
γ) Εφαρμογές Στατιστικών Μεθόδων σε επιχειρησιακά προβλήματα
Συσχέτιση, Παλινδρόμηση, Ανάλυση διακύμανσης κ.α.
δ) Μαθηματικά Χρηματοπιστωτικής Ανάλυσης
Απλή και σύνθετη κεφαλαιοποίηση, προεξόφληση και ανατοκισμός, χρηματοοικονομικά παράγωγα κ.α.

2) Οικονομικής Επιστήμης (Ο.Π.Α.)

α) Στατιστική Ι
Περιγραφική στατιστική, παράμετροι κεντρικής τάσης και θέσης, παράμετροι διασποράς. Βασικές έννοιες της θεωρίας Πιθανοτήτων, κατανομές τυχαίων μεταβλητών κ.α.

β) Στατιστική ΙΙ
Έλεγχος υποθέσεων, χώροι πιθανότητας, μέτρα πιθανότητας, εκτιμητές και ιδιότητες κ.α.

γ) Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι
Συναρτήσεις μια μεταβλητής, παράγωγος, ακρότατα, κυρτότητα, ολοκλήρωμα  Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Διαφορικές εξισώσεις κ.α.
δ) Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙΙ
Γραμμική Άλγεβρα κ.α.


3) Πληροφορικής Πειραιά (Πανεπιστήμιο Πειραιά)


Ανάλυση Ι , Ανάλυση ΙΙ , Μαθηματικά των Υπολογιστών, Διακριτά Μαθηματικά , Εφαρμοσμένη Άλγεβρα , Μαθηματικός Προγραμματισμός , Πιθανότητες και Στατιστική.

4) Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής (Τ.Ε.Ι. Πειραιά)


α) Μαθηματικά για Οικονομολόγους
Μοντέλα Πινάκων. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, μερικές παράγωγοι, ακρότατα, αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα. Τυχαίες μεταβλητές.

β) Στατιστική Επιχειρήσεων
Συλλογή στατστικών στοιχείων, στοιχεία θεωρίας δειγμάτων, στατιστική περιγραφή, στατιστική επαγωγή.


4ο Πεδίο

5) Παιδαγωγικό Δημοτικής Εκπαίδευσης (Ε.Κ.Π.Α.)

Μαθηματικά Ι , Μαθηματικά ΙΙ , Διδακτική Μαθηματικών Ι , Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ , Εξέλιξη της Μαθηματικής Επιστήμης

3ο Πεδίο

6) Ιατρική Σχολή Παν/μίου Αθηνών (Ε.Κ.Π.Α)


Ιατρική Στατιστική

7) Φαρμακευτική Σχολή Παν/μίου Θεσσαλονίκης


Γενικά Μαθηματικά
Γραμμική Άλγεβρα (Πίνακες, Συστήματα, Ορίζουσες). Αναλυτική Γεωμετρία στο επίπεδο και στο χώρο. Παράγωγος και διαφορικό πραγματικής συνάρτησης μιας και δύο μεταβλητών. Ολοκληρωτικός Λογισμός. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις.

 2ο Πεδίο 

8) Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεσσαλονίκης


Λογισμός Ι , Γραμμική Άλγεβρα , Διαφορικές Εξισώσεις , Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι , Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικής , Διακριτά Μαθηματικά , Αριθμητική Ανάλυση κ.α.

9) Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών

Στα υποχρεωτικά:
Μαθηματική Ανάλυση Ι,ΙΙ,ΙΙΙ , Αναλυτική Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα , Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις , Αριθμητική Ανάλυση , Μιγαδική Ανάλυση , Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις , Εφαρμοσμένη Στατιστική.
Στην κατεύθυνση μαθηματικών εφαρμογών:
Πιθανότητες , Θεωρία Συνόλων , Διακριτά Μαθηματικά , Πραγματική Ανάλυση , Ανάλυση Πινάκων , Διδακτική Μαθηματικών κ.α.
 
Παρατηρήσεις
1) Η Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικής διδάσκεται στις περισσότερες σχολές του 5ου, του 2ου, ακόμη και του 3ου πεδίου.
2) Οι διαφορικές εξισώσεις βρίσκονται σε περίοπτη θέση σε πάρα πολλές σχολές, λόγω των πρακτικών εφαρμογών τους.

Κυριακή, 12 Ιουνίου 2016

Μια ιστορική αναδρομή στα μαθηματικά της Γ Λυκείου

 Ξεκινώντας μια ιστορική αναδρομή του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού η αφετηρία μας για μια ακόμη φορά είναι η αρχαία Ελλάδα.

Οι δύο τάσεις που αναπτύχθηκαν στους διανοητές της εποχής αυτής ήταν:
1) Τα μεγέθη είναι επ' άπειρον διαιρετά, κάτι που οδηγεί στο άυλο σημείο ως αποτέλεσμα της επ' άπειρον διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος.
2) Το σύμπαν και ο μικρόκοσμος είναι πεπερασμένα.

Οπαδοί της δεύτερης τάσης ήταν κυρίως οι Ελεάτες φιλόσοφοι που με βασικό τους εκπρόσωπο τον Ζήνωνα διατύπωσαν τα περίφημα παράδοξα, όπως το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας.

Εκατό χρόνια αργότερα ο Αριστοτέλης ορίζει το "εν ενεργεία άπειρο" (είναι το άπειρο εκείνο προς το οποίο βαδίζει η ακολουθία 1,2,3,4,5,.... και στην πραγματικότητα δεν υπάρχει) και το "εν δυνάμει άπειρο" (όπως για παράδειγμα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 2 μονάδες. Αν πάρουμε το μισό του ΓΒ, μετά το μισό του μισού ΓΔ και συνεχίζοντας έτσι, παρότι δε θα βγούμε ποτέ πέρα από το Β, μετά από άπειρα όμως βήματα, θα έχουμε φθάσει στο Β).

Ο Αριστοτέλης με αυτό το τρόπο  έδειξε το παράλογο του Ζηνώνα, αφού τα επιχειρήματά του στηρίζονταν στην έννοια του απείρου την οποία όμως δεν είχε ο ίδιος ορίσει.

Βέβαια ο Ζήνωνας γνώριζε την αντίφαση αυτή και μάλιστα την χρησιμοποιούσε για να κεντρίσει τους Έλληνες διανοούμενους της εποχής έτσι, ώστε να ορίσουν την λεπτή αυτή έννοια του απείρου.

Την έννοια όμως του απείρου κατάφερε ο Αρχιμήδης να την τιθασεύσει, η δημιουργική σκέψη του οποίου άσκησε τεράστια επιρροή στη Μαθηματική Ανάλυση για τα επόμενα 2500 χρόνια.
Οι αρχές του Ολοκληρωτικού Λογισμού θα έπρεπε να αναζητηθούν στους γεωμετρικούς υπολογισμούς εμβαδών και όγκων.

Ουσιαστικά οι αρχαίοι Έλληνες ήταν αυτοί που μέσα από τον θησαυρό όλων των επιστημών, τη Γεωμετρία, επινόησαν και έφθασαν σε υψηλή τελειότητα τη "μέθοδο της εξάντλησης" που είναι ο στενότερος συγγενής του Ολοκληρωτικού Λογισμού.


Αξίζει να σημειωθεί ότι η πραγματική και βαθύτερη επίδραση του έργου του Αρχιμήδη στην ανάπτυξη του Απειροστικού Λογισμού ήρθε αργότερα, τον 17ο αιώνα, όταν για πρώτη φορά μετά την αρχαιότητα τα μαθηματικά αποτέλεσαν το επίκεντρο της πνευματικής ανάπτυξης μιας ολόκληρης εποχής. Αυτό που άλλαζε ήταν η οπτική γωνία σε σχέση με την Αρχαία Ελλάδα όπου το κίνητρο ήταν θεωρητικό και φιλοσοφικό, σε σχέση με αυτό του 17ου αιώνα που το κίνητρο ήταν η θεμελίωση της επερχόμενης τεχνολογικής ανάπτυξης.

17oς αιώνας
H επιστήμη της Δυναμικής δημιουργήθηκε από τις ανακαλύψεις του Γαλιλαίου, ενώ η επιστήμη της Ουράνιας Μηχανικής δημιουργήθηκε από τις ανακαλύψεις του Κέπλερ. Και οι δύο αυτές νέες επιστήμες απαιτούσαν με τη σειρά τους τη δημιουργία ενός καινούριου μαθηματικού εργαλείου που να μπορεί να χειρίζεται τις μεταβλητές, τη ροή, την κίνηση και να αγκαλιάζουν τη μεταβολή και το άπειρο, σε αντίθεση με τα παλιότερα μαθηματικά που ασχολούνταν με το στατικό και το πεπερασμένο.

Η διαφορά αυτή του στατικού χαρακτήρα των παλιότερων μαθηματικών με τον κινητό του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού, αποδίδεται θαυμάσια συγκρίνοντας την ακίνητη εικόνα της φωτογραφίας με την κινούμενη εικόνα του κινηματογράφου.

Στη βαθμιαία εξέλιξη του καινούριου αυτού κλάδου των μαθηματικών που ονομάστηκε Απειροστικός Λογισμός και έδωσε απάντηση σε προβλήματα που απασχολούσε τους μαθηματικούς από την εποχή του Ζήνωνα, αρχικά θα πρέπει να αναφέρουμε την τεράστια συνεισφορά του Ντεκάρτ (Descartes 1596-1650). Στο έργο του Geometrie μετέφερε όλο το πεδίο της κλασικής Γεωμετρίας στην οπτική των αλγεβριστών (οι μαθητές τον έχουν γνωρίσει για τα καλά με τα μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου).

Κατά τον 17ο αιώνα, όταν τα θεμελιακά προβλήματα άρχισαν να αντιμετωπίζονται κατά τρόπο περισσότερο αφηρημένο για χάρη της γενικότητας, η αναζήτηση μεθόδων για την εύρεση της εφαπτομένης μιας καμπύλης σε ένα ορισμένο σημείο της έπαιρνε όλο και πιο εξέχουσα θέση δίπλα στα αρχαία προβλήματα.  Στην έρευνα αυτή δύο ήταν οι κυριότερες τάσεις, μια γεωμετρική (δίνοντας βαρύτητα στην ελληνική συλλογιστική) και μια αλγεβρική (αλγεβρικές καμπύλες).

Από την δεύτερη τάση γεννήθηκε και η έννοια της παραγώγου που για πρώτη φορά τέθηκε από τον Fermat το 1620. Ο ίδιος ανακάλυψε και μια μέθοδο υπολογισμού των μεγίστων και ελαχίστων το 1638.

Η θεμελίωση της έννοιας της παραγώγου έγινε από τον Newton (1642-1727) και από τον Leibniz (1646-1716), οπότε και άρχισαν να εμφανίζονται και τα κυριότερα χαρακτηριστικά του Απειροστικού Λογισμού.

Ο Newton αντιλαμβανόταν την παράγωγο κυρίως σαν ταχύτητα και ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να την εξηγήσει περιλαμβάνοντας στην θεωρία του την έννοια του ορίου, αλλά με τρόπο δύσκολο και όχι κατανοητό.

Αργότερα ο D' Alembert είδε ότι ο Newton είχε δώσει την σωστή ιδέα, ενώ ο Leibniz έκανε και την πρώτη δημοσίευση του Απειροστικού Λογισμού το 1684. Εκεί συναντάμε και τα σύμβολα dx, dψ, τους κανόνες διαφόρισης, το διαφορικό πηλίκου και τις συνθήκες dψ=0 για τα ακρότατα και d^2ψ=0 για τα σημεία καμπής.

Τις θεωρίες του Leibniz ακολούθησαν ένθερμα οι αδελφοί Bernoulli, οι οποίοι πριν το 1700 είχαν βρει και το μεγαλύτερο μέρος του Απειροστικού Λογισμού που μαθαίνουμε στην Γ Λυκείου.

Σημαντική επίσης ήταν και η συμβολή του μαρκήσιου De L΄Hospital (μαθητή του Bernoulli) που στο έργο του "Ανάλυση Απειροστών" περιλάμβανε και τον περίφημο κανόνα De L΄Hοspital που χρησιμοποιούμε στα όρια.

18ος αιώνας
Τον 18ο αιώνα οι μονάρχες πολλών κρατών περισσότερο από την επιθυμία για δόξα και λιγότερο από τη συνείδηση ότι τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και οι φυσικές επιστήμες βελτιώνουν τη βιομηχανία, το στρατό και το ναυτικό, ασκούσαν την εξουσία τους με ευνοϊκό για την ανάπτυξη των επιστημών αυτών τρόπο.

Τα κυριότερα επίκεντρα της επιστημονικής δραστηριότητας ήταν οι Ακαδημίες, με σπουδαιότερες αυτές του Παρισιού, του Βερολίνου και της Πετρούπολης. Η μαθηματική παραγωγικότητα συσσωρεύτηκε στον Απειροστικό Λογισμό και στις εφαρμογές του στη Φυσική με πρωτεργάτες τους: Leibniz (1646-1716), Euler (1707-1783), D΄Alembert(1717-1783), Langrange (1736-1813), Laplace (1749-1813) και την οικογένεια Bernoulli.

Ξεκινώντας με την οικογένεια Bernoulli στο τεράστιο σε όγκο έργο που άφησαν περιέχεται η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αλλά και οι διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.


Ο Euler, κατά πολλούς ο πιο παραγωγικός μαθηματικός του 18ου αιώνα, αν και τυφλώθηκε το 1766, συνέχισε για πολλά ακόμα χρόνια μέχρι τον θάνατό του το 1783, υπαγορεύοντας τις εργασίες του και ανεβάζοντας τον αριθμό τους σε 886 συνολικά.

Ο Lagrange σε ηλικία 19 ετών έγινε καθηγητής μαθηματικών στη σχολή πυροβολικού της πόλης του Τουρίνου. Στα έργα του συναντάμε τον συμβολισμό των παραγώγων f΄, f΄΄,... που χρησιμοποιούμε και σήμερα, καθώς και την συμπλήρωση της θεωρίας των σειρών Τέιλορ.

19ος αιώνας
Τον 19ο αιώνα με τους Cauchy, Riemann, Gauss, Weistrass έχουμε περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών και σε αντίθεση με τον 18ο αιώνα κατά τον οποίο οι μαθηματικοί δεν έδιναν τόσο μεγάλη προσοχή στη θεμελίωση του έργου τους με χαρακτηριστική τη φράση του D΄Alembert:
"Allez avant, et la foi vous viedra" (τραβήξτε μπροστά και η πίστη θα σας έρθει)

Η θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού που συναντάμε και στα διδακτικά μας βιβλία έγινε από τον Cauchy χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου του D΄Alembert, για να ορίσει την παράγωγο συνάρτηση με τρόπο πιο ακριβή απ΄ότι είχε μέχρι τότε κατορθωθεί, αφού πρώτα όρισε απειροελάχιστη μεταβλητή κάθε μεταβλητό αριθμό που έχει όριο το μηδέν.


Επιπλέον στοιχεία:   10 μεγάλοι σταθμοί στην ιστορία του Απειροστικού Λογισμού 

Βιβλιογραφία: Μαθηματική Ανάλυση  - Ηλίας Λόυβης 

Τετάρτη, 8 Ιουνίου 2016

Περί μελέτης των πρώτων αριθμών


Η μελέτη των πρώτων αριθμών

Οι πρώτοι 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...... είναι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί που δεν έχουν άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και την μονάδα. Για τεχνικούς λόγους είναι προτιμότερο να μη θεωρούμε τον 1 ως πρώτο. Έτσι ο 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος, ενώ οι 9=3x3 , 8=2x4 , 35=5x7 κ.λ.π. δεν είναι πρώτοι.

Αν συνεχίσουμε να παραγοντοποιούμε έναν αριθμό, στο τέλος θα καταλήξουμε σε πρώτους που δεν επιδέχονται περαιτέρω ανάλυση.

Π.χ. 100=10x10=(2x5)x(2x5)=2x2x5x5     ή      100=4x25=2x2x5x5

Παρατητούμε ότι τα τελικά αποτελέσματα είναι ίδια. Το γεγονός ότι αυτό συμβαίνει πάντα, αποδείχθηκε πριν από 2 χιλιάδες χρόνια από τον Ευκλείδη, ενώ είναι αξιοσημείωτο ότι μια απλούστερη απόδειξη ανακαλύφθηκε πρόσφατα. Τέτοιες ιδέες που απασχόλησαν πριν από 2 χιλιετίες τους αρχαίους Έλληνες δεν  έπαψαν να μαγεύουν τους μαθηματικούς μέχρι και σήμερα.

Αυτό όμως που είναι και το πιο συναρπαστικό είναι πως παρά την απλότητα των ακεραίων και των πρώτων αριθμών, είναι εύκολο να διατυπωθούν για αυτούς σαφείς ερωτήσεις για τις οποίες κανείς μέχρι σήμερα δεν έδωσε απάντηση, ακόμη κι αν ασχολήθηκαν με αυτούς οι καλύτεροι μαθηματικοί του κόσμου.

Ίσως το πιο μυστηριώδες σχετικά με τους πρώτους είναι ότι μοιάζουν να είναι τυχαία διασκορπισμένοι. Παρουσιάζουν δηλαδή μια μορφή τυχαιότητας, αφού οι τοπικές λεπτομέρειες της κατανομής τους δεν παρουσιάζουν κάποια ορατή τάξη, παρ'όλο που μπορούμε να τους υπολογίσουμε έναν προς έναν. Έτσι το μέγεθος των κενών μεταξύ των πρώτων μοιάζει να κατανέμεται με αυθαίρετο τρόπο. Ή για παράδειγμα μοιάζει να υπάρχουν άπειροι δίδυμοι πρώτοι, διαδοχικοί δηλαδή περιττοί που τους χωρίζει ένας μόνο άρτιος. Τα υπολογιστικά δεδομένα είναι αρκετά πειστικά, κανένας όμως μέχρι τώρα δεν κατόρθωσε να το αποδείξει.

Επίσης, υπάρχουν τουλάχιστον τρεις διαφορετικές αποδείξεις (Ευκλείδης, Όϊλερ κ.α.) για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ωστόσο με όποιον τρόπο και αν το κάνουμε, αργά ή γρήγορα, θα καταλήξουμε σε προτάσεις που αποτελούν απλές εικασίες, που κανένας δεν κατόρθωσε να αποδείξει. Με άλλα λόγια, καταλήγουμε σε ερωτήματα που ουσιαστικά κανείς δεν ξέρει να απαντήσει.
Και όμως, πολλοί νέοι φοιτητές των μαθηματικών εργάζονται πυρετωδώς σε αυτά τα προβλήματα, ελπίζοντας ότι θα πετύχουν εκεί που οι άλλοι απέτυχαν. Και δεν αποκλείεται να τα καταφέρουν. Ή τουλάχιστον να βρουν κάτι ενδιαφέρον στα μισά του δρόμου, έστω κι αν δε φτάσουν μέχρι το τέλος. Μια φρέσκια ματιά είναι πάντα καλύτερη. Μάλιστα, μερικές φορές είναι προτιμότερο να μη γνωρίζουμε τι έχουν κάνει οι άλλοι, ειδικά αν έχουν πάρει έτσι κι αλλιώς λάθος δρόμο.
Τέτοιου είδους μαθηματικές ανακαλύψεις συμβαίνουν, αν και όχι συχνά, όπως για παράδειγμα η πρόσφατη ανακάλυψη ενός αλγορίθμου με τον οποίο μπορούμε να ελέγξουμε πολύ γρήγορα αν ένας αριθμός είναι πρώτος, από δύο φοιτητές και τον καθηγητή τους στην Ινδία.

Από την άλλη μεριά όμως οι πρώτοι αριθμοί είναι μια ενδεδειγμένη έννοια; Πόσα από τα μαθηματικά που χρησιμοποιούμε είναι όντως ουσιαστικά και πόσα αποτελούν απλώς συνήθεια; Ίσως, για παράδειγμα, αντί για τους πρώτους αριθμούς, θα έπρεπε να ασχοληθούμε με το αντίθετο, με τους αριθμούς μεγίστης διαιρετότητας.

Ο κατεξοχήν διαισθητικός μαθηματικός Ραμανουτζάν είχε καταλήξει σε μια τέτοια έννοια.


Συνεπώς, πόσο αναπόφευκτες είναι οι έννοιες που χρησιμοποιούμε σήμερα; Αν η ιστορία των Μαθηματικών ξαναπαιζόταν από την αρχή, θα εμφανίζονταν ξανά οι πρώτοι αριθμοί ή οι αριθμοί μεγίστης διαιρετότητας, οδηγώντας τους περισσότερους μεγάλους μαθηματικούς να μελετούν σήμερα αυτούς. Τίποτα δεν είναι βέβαιο.

Όπως είχε πει και ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Πουανκαρέ: "Υπάρχουν προβλήματα που κάποιος τα θέτει και προβλήματα που τίθενται από μόνα τους"

Σε ποια άραγε κατηγορία ανήκει η μελέτη των πρώτων αριθμών; 

Βιβλιογραφία: Μετά-Μαθηματικά, Gregory Chaitin

Δευτέρα, 16 Μαΐου 2016

Μια συνηθισμένη ερώτηση των μαθητών για τη θεωρία στις πανελλήνιες


Ένα από τα καλά της Ελληνικής μας γλώσσας είναι ο τεράστιος αριθμός λέξεων και εκφραστικών μέσων που διαθέτει και που μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει. 

Έτσι, στην ερώτηση που συχνά γίνεται από μαθητές, αν πρέπει να αποστηθίσουν και να γράψουν αυτολεξεί την απόδειξη ενός θεωρήματος στις Πανελλήνιες, η απάντησή μου είναι πάντα η ίδια:

"Το βασικό είναι η κατανόηση των βημάτων της απόδειξης. Αν γίνει αυτό, μετά τα πράγματα είναι εύκολα και η πιθανότητα να ξεχάσουμε την απόδειξη την κρίσιμη στιγμή ελαχιστοποιείται"

"Μα, όταν γίνεται η διόρθωση των γραπτών, δεν έχουν οι διορθωτές δίπλα τους το βιβλίο για να διορθώσουν την κάθε λέξη;"  είναι η επόμενη ερώτηση. 

"Οι διορθωτές είναι μαθηματικοί με μεγάλη εκπαιδευτική πείρα" απαντώ. "Δε χρειάζονται το σχολικό βιβλίο δίπλα τους για να διορθώσουν μια απόδειξη"

Παρακάτω διατύπωσα το Θεώρημα Fermat και έγραψα την απόδειξή του. Προσπάθησα αρκετά για να χρησιμοποιήσω άλλα εκφραστικά μέσα από αυτά που χρησιμοποιεί το βιβλίο. Μάλιστα σκέφτηκα να υποθέσω ότι η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και να πω ομοίως για τοπικό μέγιστο, όμως δεν ήθελα να βάλω ιδεές στους μαθητές. Επιπλέον έβαλα και κάτι παραπάνω που το σχολικό δεν έχει.

Το ίδιο ισχύει και στη λύση ασκήσεων. Ο μαθητής πρέπει να έχει κατανοήσει τι του ζητάει η άσκηση, αλλά και τα βήματα που θα ακολουθήσει για να την λύσει. Από εκεί και πέρα μπορεί να χρησιμοποιήσει τα εκφραστικά μέσα που ο ίδιος επιθυμεί. Δεν πρέπει βέβαια να ξεχνάει τρία πράγματα:
1) τα μαθηματικά διέπονται από κανόνες λογικής
2) δεν εννοείται τίποτα και δε χρειάζεται να αναλύονται τα πάντα.
3) γράφουμε, όχι για να τα διαβάσουμε εμείς αργότερα, αλλά για να τα διαβάσει κάποιος άλλος. Και αυτός που θα τα διαβάσει είναι αδύνατον να είναι στο μυαλό μας.

Καλή Επιτυχία!

 

Τρίτη, 10 Μαΐου 2016

Υπολογισμός μορίων 2016

Πατήστε στον παρακάτω σύνδεσμο για να υπολογίσετε τα μόρια των Πανελλαδικών εξετάσεων 2016.  (Σύμφωνα με την Υ.Α. Φ.253/193309/Α5, ΦΕΚ 2647/τΒ΄/9-12-2015 και την Φ.253/85476/Α5, ΦΕΚ 995/τ.Β΄/29-5-2015).


Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...