Σάββατο, 29 Ιανουαρίου 2011

H Επιπεδοχώρα

"Κατά τους δύο τελευταίους αιώνες τα μαθηματικά υφίστανται ολοένα και περισσότερο τις παρενέργειες της εκρηκτικής τους ανάπτυξης. Κατά κάποιο τρόπο έγιναν θύματα της ίδιας τους της επιτυχίας, καθώς απομονώθηκαν σταδιακά σε ένα διανοητικό "χρυσό κλουβί". 

Το χάσμα μεταξύ των μαθηματικών και του ευρύτερου πολιτισμού παραμένει και αυτό είναι ξεκάθαρο εάν δούμε την τεράστια απόσταση που χωρίζει το έργο των ερευνητών Μαθηματικών και τη γνώση του ευρύτερου κοινού για αυτό.

Η καταφανής αναγκαιότητα μιας άλλης προσέγγισης των μαθηματικών ίσως να είναι και ο λόγος που την τελευταία δεκαετία παρατηρείται μια σημαντική αύξηση στη λογοτεχνική παραγωγή έργων που συνδέονται με τα μαθηματικά. Οι δημιουργοί αυτών των έργων είναι συχνά κορυφαίοι μαθηματικοί που διακρίνονται είτε στον τομέα της έρευνας (Ian Stewart, Χρίστος Παπαδημητρίου), είτε στον τομέα της διδασκαλίας (Denis Guedj).

Η μαθηματική λογοτεχνία μπορεί να παίξει το ρόλο της γέφυρας ανάμεσα στα μαθηματικά και την υπόλοιπη πολιτιστική δραστηριότητα."

Από άρθρο της κας Κατερίνας Καλφοπούλου στο προσωπικό της ιστολόγιο:  http://mathandliterature.blogspot.com/  
(Μπορείτε επίσης στο συγκεκριμένο blog να αναζητήσετε πολύ καλές προτάσεις, αναφορές και παρουσιάσεις βιβλίων, Ελλήνων και ξένων δημιουργών, με θέμα τα Μαθηματικά, τη Λογοτεχνία, τη Φιλοσοφία και όχι μόνο.)

Όμως πόσο πίσω στο χρόνο πρέπει να γυρίσουμε για να ανακαλύψουμε το πρώτο μυθιστόρημα που γράφηκε με θέμα τα μαθηματικά;

Η νουβέλα "Επιπεδοχώρα" ("Flatland": A romance of many dimensions) θεωρείται το πρώτο μυθιστόρημα με θέμα τα μαθηματικά, γράφηκε από τον Έντουιν 'Αμποτ Άμποτ και πρωτοκυκλοφόρησε το 1884 σε Λονδίνο και Νέα Υόρκη. 

Λίγα λόγια για τον συγγραφέα
Ο Edwin Abott Abott γεννήθηκε το 1838 στην Αγγλία και ήταν γιός του Edwin Abott διευθυντή φιλολογικής σχολής. Πήγε σχολείο στο Λονδίνο, ενώ συνέχισε τις σπουδές του στο πανεπιστήμιο του Cambridge. Λόγω των υψηλών επιδόσεων του στα κλασσικά μαθήματα και τη θεολογία, αλλά και στα μαθηματικά, έγινε συνεργάτης του πανεπιστημίου. Το 1865 και σε ηλικία μόλις 26 ετών γίνεται διευθυντής στο βασιλικό σχολείο του Birmingham (King Endward's School). Αποσύρθηκε το 1889 και αφοσιώθηκε σε λογοτεχνικές και φιλοσοφικές αναζητήσεις, καθώς και στην συγγραφή βιβλίων.
Έγραψε σπουδαία λεξικά, βιβλία γραμματικής και πολλά θεολογικά βιβλία καταφέρνοντας συνήθως να ταράζει τον θεολογικό κόσμο της εποχής με τις φιλελεύθερες σκέψεις του.
Το πιο δημοφιλές βιβλίο του είναι αναμφίβολα η Επιπεδοχώρα, βιβλίο μάλιστα που το κυκλοφόρησε αρχικά με το ψευδώνυμο Α.Square , φοβούμενος τις αντιδράσεις του κατεστημένου της Βικτωριανής Αγγλίας.

Λίγα λόγια για το βιβλίο 
Πρόκειται για ένα ευφάνταστο και διασκεδαστικό έργο αποτελούμενο από 2 μέρη.

Στο πρώτο μέρος ο αφηγητής της ιστορίας είναι ένα τετράγωνο με ανησυχίες που περιγράφει τον αυστηρά δομημένο και ιεραρχημένο κόσμο των δύο διαστάσεων στον οποίο ζει. Η Επιπεδοχώρα δεν έχει ούτε ήλιο, ούτε ουράνια σώματα. Τα σπίτια είναι χωρίς παράθυρα, πενταγωνικά (τα τρίγωνα τα απαγόρευσε η Πολεοδομία, ενώ τετράγωνα συναντά κανείς μόνο σε υποβαθμισμένες αγροτικές περιοχές). Οι γυναίκες είναι απλές ευθείες γραμμές και βρίσκονται στη βάση της κοινωνικής πυραμίδας (λόγω του σχήματος τους μπορούν να γίνουν αόρατες, οπότε και θεωρούνται ανυπόληπτες). Κάθε κοινωνική τάξη έχει ένα σχήμα: στρατιώτες και εργάτες είναι ισοσκελή τρίγωνα, οι μικροαστοί ισόπλευρα τρίγωνα, οι ανώτερες τάξεις και οι επιστήμονες τετράγωνα, πεντάγωνα και γενικά κανονικά πολύγωνα με αριθμό πλευρών ανάλογο της θέσης τους και τέλος οι ιερείς είναι κύκλοι. Στις ανώτερες τάξεις (κανονικά πολύγωνα) κάθε αγόρι εξασφάλιζε μια πλευρά παραπάνω από τον πατέρα του, αλλά και οι έμποροι και οι στρατιώτες μπορούσαν να ανέβουν θέση, αν αποκτούσαν πολλά χρήματα ή πολεμούσαν με ηρωισμό σε κάποια μάχη.

"Αν τα μυτερά μας Τρίγωνα της τάξης των Στρατιωτικών είναι τρομερά, μπορείτε αβίαστα να συμπεράνετε ότι πολύ πιο τρομερές είναι οι Γυναίκες μας. Γιατί αν ο Στρατιώτης είναι σφήνα, η Γυναίκα είναι βελόνα, όντας να το πούμε έτσι ολόκληρη σημείο, τουλάχιστον στα δύο άκρα της. Και αν προσθέσετε και την ικανότητά της να γίνεται πραγματικά αόρατη κατά βούληση, θα αντιληφθείτε πως ένα θηλυκό στην Επιπεδοχώρα δεν είναι ένα πλάσμα που το παίρνει κανείς στα αστεία."
(Απόσπασμα από το πρώτος μέρος του βιβλίου)

Να σημειωθεί ότι από τεχνικής άποψης η σύλληψη του Άμποτ δεν έχει λάθη ή αντιφάσεις κάνοντας την Επιπεδοχώρα έναν κόσμο δομικά πιθανό.

Στο δεύτερο μέρος ο ήρωας μας, το μελαγχολικό τετράγωνο (και alter ego του Άμποτ) ταξιδεύει  σε άλλες διαστάσεις. Ξεκινάει φαντάζοντας τον εαυτό του σε ένα μονοδιάστατο σύμπαν στο οποίο οι κάτοικοι δε θα τον καταλαβαίνουν, στην συνέχεια δέχεται την επίσκεψη μιας σφαίρας , πλάσμα ενός τρισδιάστατου κόσμου και τέλος υποθέτει την ύπαρξη μιας πραγματικότητας τεσσάρων και περισσοτέρων διαστάσεων, τρομάζοντας έτσι τον σφαιρικό αυτάρεσκο επισκέπτη του.

"Κοίταξε τούτο το άθλιο πλάσμα. Εκείνο το σημείο είναι ένα ον, όπως εμείς, αλλά περιορισμένο στο αδιάστατο χάος. Ο ίδιος είναι ολόκληρος ο κόσμος του, ολόκληρο το σύμπαν του, για κανέναν άλλον εκτός από τον εαυτό του δεν μπορεί να σχηματίσει αντίληψη, δε γνωρίζει ούτε Μήκος, ούτε Πλάτος, ούτε Ύψος, γιατί δεν έχει καμία εμπειρία τους.Αγνοεί ακόμη και την ύπαρξη του αριθμού 2 και δεν έχει καμία αντίληψη της έννοιας της πλειονότητας, αφού ο ίδιος είναι Ένα και Όλα, όντας στην ουσία Τίποτε. Ωστόσο, σημείωσε την τέλεια αυταρέσκεια του και μάθε τούτο το μάθημα: ότι το να είσαι αυτάρκης είναι πρόστυχο και ηλίθιο και ότι η ελπίδα είναι καλύτερη από τη τυφλή και ανίκανη ευτυχία."
(Απόσπασμα από το δεύτερο μέρος του βιβλίου) 

Η αφιέρωση που κάνει ο ήρωας μας στους κατοίκους του χώρου, δηλώνει την προσωπική ευχή του Άμποτ προς τους αναγνώστες του βιβλίου:
"Αφιερώνεται στους κατοίκους του χώρου από έναν ταπεινό κάτοικο της Επιπεδοχώρας με την ελπίδα ότι, όπως εκείνος μυήθηκε στα μυστήρια των 3 διαστάσεων, ενώ προηγουμένως ήταν ενήμερος μόνο των 2, έτσι και οι πολίτες εκείνης της περιοχής του Σύμπαντος θα στρέψουν τις φιλοδοξίες τους όλο και ψηλότερα, στα μυστικά των 4, 5 ή ακόμα και 6 διαστάσεων."  

Μερικές κριτικές για το έργο
Επιπεδοχώρα
Μία μυθιστορία πολλών διαστάσεων
Edwin A. Abbott
Μετάφραση: Φωτεινή Μοράκη - Επίμετρο: Τεύκρος Μιχαηλίδης
Η Επιπεδοχώρα είναι μια επίπεδη χώρα, η οποία κατοικείται από νοήμονα γεωμετρικά σχήματα που κινούνται, μιλούν και έχουν ανθρώπινα αισθήματα. Οι κάτοικοι της Επιπεδοχώρας ζουν αμέριμνοι στον... δισδιάστατο κόσμο τους, όταν ξαφνικά εμφανίζεται από το πουθενά ένας μυστηριώδης επισκέπτης, ο οποίος κηρύττει το αδιανόητο: την ύπαρξη μίας τρίτης διάστασης!

Έγραψαν
«Ευφυέστατη περιγραφή ενός παράξενου κόσμου, ισάξια με τα Ταξίδια του Γκιούλιβερ... αλλά και μια σημαντική μελέτη του ανθρώπινου νου και των περιορισμών του».
Isaak Asimov

"Η Επιπεδοχώρα περιγράφει μια χώρα δύο διαστάσεων, της οποίας οι κάτοικοι ήταν επίπεδα γεωμετρικά σχήματα. Ο στόχος του συγγραφέα ήταν διπλός. Από τη μια, η ιστορία του ασκούσε μια εύστοχη και δριμύτατη κριτική στη Βικτοριανή κοινωνία και, από την άλλη, περιγράφοντας τον τρόπο που ένα δισδιάστατο ον θα αντιλαμβανόταν τον τρισδιάστατο κόσμο, βοηθούσε τον αναγνώστη να κατανοήσει την έννοια της τέταρτης διάστασης, που είχε αρχίσει να εμφανίζεται εκείνη την εποχή στα μαθηματικά. Το βιβλίο δημιούργησε σχολή, αφού, από τότε και μέχρι σήμερα, πολλοί συγγραφείς εργάστηκαν πάνω στην ίδια ιδέα γράφοντας "συνέχειες" της Επιπεδοχώρας".
Τεύκρος Μιχαηλίδης

«Mια περιπέτεια σε καθαρά μαθηματικά, μια φαντασία περίεργων διαστημάτων που κατοικούνται από γεωμετρικά σχήματα που σκέφτονται και μιλούν και έχουν πολύ ανθρώπινα αισθήματα. Δεν πρόκειται για συνηθισμένη ιστορία επιστημονικής φαντασίας. Σκοπός της είναι να διδάξει, και είναι γραμμένη με λεπτή μαεστρία. Αρχίστε να την διαβάζετε και θα αιχμαλωτιστείτε από τη μαγεία της. Αν είστε νέος στην καρδιά και η αίσθηση του θαυμασμού ακόμη σπαρταρά μέσα σας, θα τη διαβάσετε χωρίς διακοπή μέχρι να φτάσετε -δυστυχώς- στο τέλος. Ωστόσο δεν θα μαντεύατε ούτε πότε γράφτηκε η ιστορία ούτε από τι είδους ανθρώπους...»
Banesh Hoffmann
Η Επιπεδοχώρα εκτός από το διδακτικό της όφελος (μπορεί να διδαχθεί ως μάθημα γεωμετρίας) και των νοημάτων που θέλει να περάσει ο συγγραφέας για τη διερεύνηση της φαντασίας μας, θεωρείται και ένα από τα καλύτερα έργα επιστημονικής φαντασίας όλων των εποχών, επηρρεάζοντας και τον κινηματογράφο.

Δείτε τρέιλερ από την τανία:
 

Παρασκευή, 21 Ιανουαρίου 2011

H περιπλάνηση της φανταστικής μονάδας

Ένας τομέας των Μαθηματικών που σίγουρα είναι πρόκληση για όποιον τον διδάσκει στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση είναι οι μιγαδικοί αριθμοί. Διδάσκεται στη Γ Λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης και λόγω της φύσης του, μιας και πρόκειται για αριθμούς, ανήκει στον κλάδο που ονομάζουμε Άλγεβρα. Συχνά όμως γίνεται αντικείμενο συζήτησης και αποριών από τους μαθητές της Α και Β Λυκείου οι οποίοι διδάσκονται την Άλγεβρα των πραγματικών αριθμών.
 Η αλήθεια είναι ότι πολλές φορές, στη πρόταση: "αν μια εξίσωση 2ου βαθμού έχει Δ<0, τότε αυτή είναι αδύνατη", ξεχνάμε να συμπληρώσουμε "στο σύνολο των πραγματικών αριθμών". Έτσι δημιουργείται η ψευδαίσθηση στους μαθητές, ότι οι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή αυτοί που αντιλαμβάνονται διαισθητικά) είναι το "τέλος" των αριθμών που γνωρίζουμε. 

Τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί;
Στα Μαθηματικά το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα και έχει την ιδιότητα αν υψωθεί στο τετράγωνο να μας δίνει -1.
Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή α+βi , όπου οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αντίστοιχα. Για  παράδειγμα ο  αριθμός 3+2i είναι μιγαδικός με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2. 
Για τους μιγαδικούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Δεν ορίζεται όμως η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς, ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος από άλλον. 
Τέλος το σημείο Α(α,β) με συντεταγμένες α και β λέγεται εικόνα του μιγαδικού και μπορεί να παρασταθεί σε ένα επίπεδο αντίστοιχο του καρτεσιανού, που λέγεται μιγαδικό επίπεδο.


Τι οδήγησε στην ανακάλυψη των μιγαδικών αριθμών;
Στην Ευρώπη του 16ου αιώνα, μέσα σε ένα γενικότερο κλίμα σύγχυσης και αναζήτησης προσανατολισμών, δύο ήταν οι βασικές αναζητήσεις και συνάμα μεγάλα "τρόπαια" των μαθηματικών της εποχής. Καταρχάς ο τετραγωνισμός του κύκλου (πρόβλημα που φαίνεται ότι επιδέχεται μόνο προσεγγιστικών λύσεων) και η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης.

Στις προσπάθειες λύσης της τριτοβάθμιας εξίσωσης υπάρχει παρασκήνιο.
Εκείνη την εποχή οι συναντήσεις των μαθηματικών ήταν μυστικές. Αιτία , όχι μόνο η πολυτιμότητα της γνώσης , όπως έκανε και ο Πυθαγόρας με τις Στοές του, αλλά και με την υλική έννοια του πολύτιμου (οι λύσεις τέτοιων προβλημάτων εκτός από κοινωνική άνοδο πρόσφεραν και χρηματικά έπαθλα).
Έτσι μετά από μυστικές "μονομαχίες" μαθηματικών ο Ιταλός αλγεβριστής Ν.Tartaglia (Ταρτάλια) καταφέρνει και κατατροπώνει τους αντιπάλους του, δείχνοντας ατοπήματα και σφάλματα στις μεθόδους των άλλων και βρίσκοντας την ποιο σύντομη οδό για τη λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης.
Το ότι ο Ταρτάλια έλυσε το πρόβλημα έγινε γνωστό στους κύκλους των μαθηματικών , χωρίς όμως να γίνει  γνωστός ο μηχανισμός(τύπος) της λύσης του.
 
Εκεί εμφανίζεται ο Gerolamo Gardano (Γκαρντάνο). Ιταλός και αυτός, έχοντας σπουδάσει ιατρική, φυσική και μαθηματικά , αλλά με πολλά προσωπικά προβλήματα (είχε φυλακισθεί από την Ιερά Εξέταση της εποχής για αιρετικά κηρύγματα και το όνομα του είχε αμαυρωθεί από την εκτέλεση του γιού του που καταδικάστηκε για το φόνο της γυναίκας του). Ο Γκαρντάνο επισκέφτετε τον  φίλο του Ταρτάλια και όπως λέγεται, καταφέρνει και του αποσπά τα μυστικά για τη λύση των τριτοβάθμιων εξισώσεων. Το 1545 ο Γκαρντάνο δημοσιεύει τη λύση στο βιβλίο του "Ars Magna" , ενώ ακολουθεί δεκαετής πόλεμος μεταξύ αυτού και του Ταρτάλια για την πατρότητα της λύσης.

Ο λόγος που ο Ταρτάλια είχε κρατήσει μυστική τη λύση ήταν ένα πρόβλημα που είχε διαπιστώσει στο μηχανισμό της. Υπήρχαν πραγματικές λύσεις της εξίσωσης οι οποίες αν τις αντικαταστούσε στον τύπο που είχε βρει , του έδιναν τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού , κάτι το οποίο ήταν άτοπο την εποχή εκείνη. Δηλαδή η κατά τ'άλλα πλήρως εγκαθυδριμένη σε αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια λύση του Ταρτάλια δεν απέδιδε όλες τις πραγματικές αριθμητικές λύσεις της εξισώσης. Όμως η δημοσίευση από τον Γκαρντάνο την έφερε στο φως.

Στο ακόλουθο χρονικό διάστημα επικράτησε χάος στη μαθηματική κοινότητα. Το δίλλημα ήταν μεγάλο. Ή θα έπρεπε να απορρίψουν τελείως τη λύση (πράγμα που φάνταζε αδιανόητο - πώς ήταν δυνατόν να απορρίψουν κάτι που δεν μπορεί να αποδειχθεί με λογική συνέπεια ότι είναι λάθος;) ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός όπως το 4 , μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.

Και το επόμενο βήμα γίνεται από έναν ερασιτέχνη ουσιαστικά μαθηματικό. Ο S.del Ferro δεν ακολούθησε την πεπατημένη και πειραματίστηκε στην λύση του Ταρτάλια. Έψαξε τις λύσεις της εξίσωσης μέσα από πράξεις με αρνητική διακρίνουσα και κατέληξε σε μεθόδους που παρήγαγαν πλέον όλες τις λύσεις. Παρά τον αρχικό χλευασμό , η μέθοδος του δε γινόταν να παραγκωνιστεί και σύντομα έγινε παντού γνωστή.
 
Ο R. Bombelli αργότερα προχώρησε στη θεμελίωση αυτής της ανακάλυψης μετατρέποντας σε αναπόσπαστο κομμάτι των μαθηματικών τους φανταστικούς και αργότερα τους μιγαδικούς αριθμούς α+βi , όπου i η τετραγωνική ρίζα του -1. Η φανταστική μονάδα απέκτησε το δικό της παγκόσμιο σύμβολο i τον 18ο αιώνα μετά από πρόταση του Euler (Οϊλερ). Ο Gauss το 1799 δίνει μια απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας. Το σημαντικό αυτό θεώρημα δηλώνει ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.


Οι μιγαδικοί αριθμοί σήμερα έχουν τεράστια εφαρμογή στη φυσική, στην κβαντομηχανική, στην οπτική, στην ηλεκτρονική, στη λύση διαφορικών εξισώσεων κ.α.      

Κυριακή, 16 Ιανουαρίου 2011

Γκέντελ: ο "σκοτεινός πρίγκηπας" των σύγχρονων μαθηματικών

Ο David Wallace στο βιβλίο του: "'΄Ολα και ακόμα περισσότερα: Μια συνοπτική ιστορία του απείρου" περιγράφει τον Γκέντελ ως τον "απόλυτο πρίγκηπα του σκότους των σύγχρονων μαθηματικών" και ισχυρίζεται ότι εξαιτίας του "τα καθαρά μαθηματικά βρίσκονται μετέωρα τα τελευταία 70 χρόνια".
Σύμφωνα με τον Γουάλας, από την εποχή που ο Γκέντελ δημοσίευσε το περίφημο άρθρο του 1931 για τη θεωρία της μη πληρότητας, τα μαθηματικά αιωρούνται στο κενό και στερούνται παντελής θεμελίωσης.
Ο Κουρτ Γκέντελ (Kurt Friedrich Gödel) γεννήθηκε το 1906 και πέθανε το 1978. Αυστροαμερικανός στην καταγωγή, ασχολήθηκε με την μαθηματική λογική και τη φιλοσοφία. Σε ηλικία 23 ετών, μετά το τέλος ενός συνεδρίου, θα διατυπώσει το θεώρημα της μη πληρότητας προκαλώντας μεγάλο σεισμό στα μαθηματικά θεμέλια. Κατασκευάζοντας την Αριθμητική Γκέντελ θα επηρρεάσει έναν άλλον επιστήμονα της λογικής, τον ΄Αλαν Τιούρινγκ ο οποίος θεωρείται ο πατέρας της λειτουργίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Έχει παρουσιαστεί από το περιοδικό Time ως η κορυφαία μαθηματική προσωπικότητα του 20ου αιώνα, ήταν όμως και η πιο χαρακτηριστική περίπτωση της τραγωδίας στη θεμελίωση των μαθηματικών, κατά την οποία οι 5 από τους 10 μεγάλους πρωταγωνιστές είχαν ψυχικά ακραίες συμπεριφορές.   

Τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Γκέντελ 
Είναι δύο θεωρήματα της μαθηματικής λογικής, τα οποία αποδείχτηκαν από τον ίδιο και υποδεικνύουν  έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα λογικά συστήματα των μαθηματικών.
Με άλλα λόγια κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία, που περιέχει τους θετικούς ακέραιους και θεμελιώνεται πάνω σε συμβιβαστά αξιώματα δεν είναι πλήρης, αφού πάντα θα υπάρχουν προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί, ούτε να διαψευσθεί. Για παράδειγμα στην αριθμητική, υπάρχουν προτάσεις που αφορούν την πρόσθεση ή τον πολλαπλασιασμό οι οποίες είναι αληθείς, αλλά όχι αποδείξιμες.

Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείται να βρείτε τις διατυπώσεις των θεωρημάτων του Γκέντελ,
αν όμως δεν είστε καλά μυημένοι στη μαθηματική λογική και τους κανόνες της, διαβάστε παρακάτω.

Κάτι που πρέπει να διευκρινιστεί στο σημείο αυτό είναι ότι η απόδειξη του Γκέντελ είναι περισσότερο μαθηματικό συμπέρασμα, που αφορά τα ίδια τα μαθηματικά, τα όρια των μεθόδων τους. Δεν είναι δηλαδή αποτέλεσμα στο εσωτερικό κάποιου μαθηματικού κλάδου, είναι έξω από τα μαθηματικά και τα εξετάζει από εξωτερική σκοπιά.

Τι κατάφερε όμως ο Γκέντελ; Ποιος ο ρόλος ενός θεωρήματος που λέει ότι καμία θεωρία που στηρίζεται σε κάποιο τυπικό αξιωματικό σύστημα δεν είναι πλήρης;
Κατάφερε να αλλάξει τον τρόπο που βλέπαμε τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δεν είναι στατικά ή τέλεια, ούτε πλήρως αυτοματοποιημένα. Συνεχώς εξελίσσονται, μεταβάλλονται, διαμορφώνονται σε νέες φόρμες. Νέες έννοιες μετασχηματίζουν συνεχώς τα μαθηματικά, δημιουργούν νέα πεδία, νέες οπτικές γωνίες, νέα ενδιαφέροντα και νέα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν.
Οι αποστειρωμένες αποδείξεις, η απόλυτη βεβαιότητα των μαθηματικών συλλογισμών και ο φορμαλισμός , σύμφωνα με τον Γκέντελ, ήταν μια ασθένεια των μαθηματικών από την οποία ήταν καιρός να συνέλθουν. Και είχε δίκιο.
Το ρεύμα της εποχής ήταν εντελώς το αντίθετο. Η θεμελίωση των μαθηματικών ήταν το ζητούμενο. Όλοι αγωνιούσαν και δούλευαν για αυτό το σκοπό. Ο Λάιμπνιτς από τον 17ο αιώνα είχε συλλάβει την ιδέα μιας παγκόσμιας γλώσσας, η οποία θα ήταν ικανή να εκφράσει ολόκληρη τον ανθρώπινη σκέψη σε μια γενική συμβολική μέθοδο, ανάγοντας όλες τις αλήθειες σε ένα είδος υπολογισμού. Ο Bool αργότερα κάνει ένα τεράστιο άλμα στη συμβολική λογική, o Φρέγκε και ο Κάντ οργανώνουν τη λογική με αξιωματικό τρόπο. Ο Χίλμπερτ, που για πολλούς θεωρείται ως ο δημιουργός των σύγχρονων μαθηματικών, διερεύνησε πρώτος κατά πόσο μπορούμε να μελετήσουμε την ισχύ των μαθηματικών χρησιμοποιώντας τα ίδια τα μαθηματικά. Δική του ιδέα ήταν η δημιουργία ενός τυπικού αξιωματικού συστήματος για το σύνολο των μαθηματικών, το οποίο θα βοηθούσε να απαλειφθούν όλες οι ασάφειες στην μαθηματική επιχειρηματολογία και να εξαληφθεί κάθε αμφιβολία σχετικά με το ποια απόδειξη είναι σωστή ή όχι. Στη δίνη αυτής της τελειότητας των αποδείξεων και του φορμαλισμού , ο ιδιοφυής Μπέρτραντ Ράσελ στο τρίτομο έργο του Principia Mathematica γεμίζει έναν ολόκληρο τόμο με τύπους, προσπαθώντας να έχει την πιο τέλεια απόδειξη ότι 1+1=2! 'Ομως για να αποδείξει κανείς ακόμη και ότι:1+1=2 πρέπει να χρησιμοποιήσει κάποιο αξιωματικό σύστημα. Κάποιες αλήθειες δηλαδή που δεν μπορούν να αποδειχθούν και που στηρίζονται καθαρά στη διαίσθησή μας. Άρα, σύμφωνα με τον Γκέντελ ακόμη και αυτή η απόδειξη δεν ήταν πλήρης. Το έργο αυτό του Ράσελ, λέγεται ότι αποτέλεσε και την έμπνευση του Γκέντελ για τη διατύπωση της θεωρίας του.

Η εργασία του Γκέντελ για τη μη πληρότητα και αργότερα αυτή του Τιούρινγκ για τη μη υπολογισιμότητα δείξανε ότι ο ρόλος που οραματιζόταν ο Χίλμπερτ για το φορμαλισμό στα μαθηματικά, ταιριάζει πολύ περισσότερο στις γλώσσες του προγραμματισμού των ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι όμως φορμαλισμοί για τους αριθμούς και τις πράξεις, όχι για τους συλλογισμούς , όχι για την απόδειξη θεωρημάτων και κυρίως όχι για την επινόηση νέων μαθηματικών εννοιών, ούτε φυσικά για την πραγματοποίηση νέων ανακαλύψεων.

Ο Γκέντελ πέθανε το 1978 σε νοσοκομείο της Αμερικής, έχοντας δίπλα του τη γυναίκα του και τον καλό του φίλο Άλμπερτ Αϊνστάιν. Η φοβία του για επικείμενη τροφική δηλητηρίαση τον ώθησε σε αυτο-επιβεβλημένη ασιτία. Λίγο πριν ξεψυχήσει είχε βάρος 33 κιλά.


Πρόταση-Βιβλία:

α)"Αιχμάλωτος των μαθηματικών" O Kουρτ Γκέντελ και το θεώρημα της μη πληρότητας, του R. Goldstein, εκδόσεις Τραυλός
β)"Από την παράνοια στους αλγόριθμους" H δέκατη έβδομη νύχτα και άλλες διαδρομές, του Απόστολου Δοξιάδη, εκδόσεις Ίκαρος

Κυριακή, 9 Ιανουαρίου 2011

Η γάτα του Σρέντιγκερ

Οι σύνδεσμοι της λογικής όπως: το συζευκτικό "και" και το διαζευτικό "ή" έχουν τεράστια εφαρμογή σε όλες τις επιστήμες. Στα μαθηματικά, στους υπολογιστές, στη φιλοσοφία, αλλά και στην ίδια την καθημερινότητά μας δε θα μπορούσαμε να σχηματίσουμε λογικές (αληθείς ή ψευδείς) προτάσεις, χωρίς τη χρήση τους. Υπάρχει όμως μια επιστήμη που δε χρησιμοποιεί το διαζευτικό "ή". Ένας κόσμος όπου το "ή" δεν υπάρχει. Είναι ο κόσμος της Κβαντομηχανικής.  

Τι είναι όμως η Κβαντομηχανική;
Ο πιο απλός ορισμός, είναι η μελέτη της ύλης σε ατομικό επίπεδο(άτομα, ηλεκτρόνια, πρωτόνια κ.α.)

Γιατί αναπτύχθηκε;
Στις αρχές του 20ου αιώνα μερικά πειράματα παρήγαγαν αποτελέσματα που δεν μπορούσαν να εξηγηθούν από την "κλασσική" μηχανική (η επιστήμη που αναπτύχθηκε από τους Γαλιλαίο, Νεύτωνα κ.α.). Για παράδειγμα ήταν αρκετά γνωστό ότι τα ηλεκτρόνια ήταν σε τροχιά γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου. Όμως, αν γινόταν έτσι, με έναν τρόπο που να έμοιαζε με τους πλανήτες που περιστρέφονται γύρω από τον ήλιο, η κλασσική φυσική πρόβλεπε ότι τα ηλεκτρόνια θα κινούνταν σπειροειδώς συνεχώς προς τα μέσα και θα συντρίβονταν στον πυρήνα εντός ενός κλάσματος του δευτερολέπτου. Ευτυχώς αυτό δε συμβαίνει, γιατί η ζωή όπως τη ξέρουμε δε θα υπήρχε.

Αν η ιδέα που έχετε για το άτομο με τα ηλεκτρόνια που περιστρέφονται γύρω από τον πυρήνα είναι κάπως έτσι,
τότε μάλλον έχετε μείνει περίπου 75 χρόνια πίσω.
Ο σύγχρονος κόσμος της κβαντομηχανικής υποστηρίζει ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε με ακρίβεια την ακτίνα της τροχιάς που κάνει ένα ηλεκτρόνιο γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου, παρά μόνο την πιθανότητα να το βρούμε σε μια δεδομένη θέση.

Αυτό βέβαια μπορεί να συμβεί μόνο στον μικρόκοσμο των ατόμων. Το απειροελάχιστο μέγεθος του ηλεκτρονίου, αλλά και η ασύλληπτη ταχύτητα με την οποία κινείται, δημιουργεί το παραπάνω πρόβλημα.

Η κλασσική φυσική είναι λοιπόν μια θεωρία που έχει ραγίσει; Ναι, αν πρόκειται για την εξέταση πολύ μικρών μεγεθών (ατομικού μεγέθους) ή πολύ γρήγορων ταχυτήτων (κοντά στην ταχύτητα του φωτός).

Η κλασσική φυσική πραγματεύεται κατά κύριο λόγο με τα φυσικά φαινόμενα που εμπίπτουν στην περιοχή της καθημερινής εμπειρίας μας (δυνάμεις, ταλαντώσεις κ.α.) , σε κλίμακα από μερικά εκατοστά του χιλιοστού εως τις διαστάσεις των ουράνιων σωμάτων και χρησιμοποιώντας πολλά μαθηματικά (τύπους, εξισώσεις, διαφορικά) καταφέρνει να τα περιγράψει πλήρως.

Τι λέει η κβαντική θεωρία;
Μια από τις πιο βασικές της αρχές υποστηρίζει ότι τίποτε δε συμβαίνει ή δε βρίσκεται σε μια θέση, αν δεν το παρατηρήσουμε. Τα σωματίδια δεν έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες μέχρις ότου αυτές μετρηθούν από όργανο μέτρησης. Ουσιαστικά μέχρι την στιγμή της μέτρησής του το σωματίδιο μπορεί να υφίσταται σε πολλά σημεία ταυτοχρόνως (υπέρθεση καταστάσεων). Μετά τη μέτρηση όμως αποκτά υπόσταση στη θέση την οποία ανακαλύφθηκε, καταστρέφοντας έτσι την υπέρθεση (δηλαδή το να βρίσκεται σε διάφορα μέρη ταυτόχρονα) , αναγκάζοντάς το να καταλάβει μια συγκεκριμένη θέση ή καλύτερα να μας αποκαλύψει όχι πιθανές, αλλά πραγματικές τιμές της ορμής και της θέσης του.

Η αλήθεια είναι ότι η κβαντική θεωρία είναι δυσνόητη. 
Στο κόσμο που αντιλαμβανόμαστε, επειδή μπορούμε να προβλέψουμε (με τις αρχές της κλασσικής φυσικής) την τροχιά για παράδειγμα, μιας μπάλας που φεύγει από το χέρι ενός αθλητή, και που θα βρίσκεται μετά από 2 δευτερόλεπτα ή πότε θα πέσει στο έδαφος , λέμε ότι η μπάλα θα βρίσκεται σε αυτή τη θέση μετά από ένα δευτερόλεπτο, ή σε αυτή τη θέση μετά από δύο δευτερόλεπτα ή......" Ή"
Στον ατομικό κόσμο που δεν αντιλαμβανόναστε αισθητικά , λόγω μεγέθους και ταχυτήτων και δεν μπορούμε να προβλέψουμε την κίνηση και την ενέργεια ενός ηλεκτρονίου στην περιστροφή του γύρω από τον πυρήνα η κβαντική θεωρία λέει ότι το ηλεκτρόνιο θα βρίσκεται σε αυτή τη θέση, και σε αυτή τη θέση, και... "Και".  Λόγω αβεβαιότητας "ή" δεν υπάρχει.

Αυτή η θεωρία όμως, αφού δεν έχει εφαρμογή στον κόσμο της καθημερινότητας μας δημιουργεί κάποια παράδοξα. Αν προσπαθήσουμε να τη χρησιμοποιήσουμε σε μεγαλύτερα σε μάζα αντικείμενα που κινούνται με ταχύτητες που "βλέπουμε", όπως ο άνθρωπος, τότε θα μπορούσαμε και εμείς να βρισκόμαστε - εκτός από τον συνηθισμένο οικείο μας χώρο - ταυτόχρονα και κάπου αλλού.
Ή , ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε μια λαστιχένια σφαίρα σε έναν τοίχο. Ξέρουμε ότι δεν έχουμε αρκετή ενέργεια για να την ρίξουμε μέσω του τοίχου, έτσι η σφαίρα αναπηδά πάντα πίσω. Η κβαντομηχανική, εντούτοις, λέει ότι υπάρχει μια πιθανότητα ώστε η σφαίρα να περάσει διαμέσου του τοίχου (χωρίς την καταστροφή του τοίχου) και να συνεχίσει την πτήση της στην άλλη πλευρά. Με ένα τόσο μεγάλο σώμα, όπως η λαστιχένια σφαίρα η πιθανότητα αυτή είναι τόσο μικρή, ώστε και αν ακόμα ρίχναμε τη σφαίρα για δισεκατομμύρια έτη δε θα τη βλέπαμε ποτέ να περνάει μέσα από τον τοίχο. Άλλα με ένα τόσο μικροσκοπικό και ταχύ σώμα όπως το ηλεκτρόνιο, το να ανοίξει μια σήραγγα είναι καθημερινό περιστατικό.

Η κβαντική φυσική εγείρει εξαιρετικής σημασίας φιλοσοφικά και τεχνολογικά ερωτήματα, τα οποία αναμφισβήτητα ανεβάζουν την πίεση των διανοητών.
Δε θα αναφέρω αυτούς που την αμφισβήτησαν. Ήταν πολλοί, ανάμεσα τους και ο Αϊνστάιν, όμως στην πραγματικότητα και αυτοί, με τις διαφωνίες τους, βοήθησαν στην ανάπτυξή της και στις τεράστιες εφαρμογές που έχει στον σύγχρονο κόσμο. 
Πρωτοπόροι θεωρούνται οι: M. Planck (βραβείο nobel 1918), Ν.Bohr (βραβείο nobel 1922), W.Heisenberg (βραβείο nobel 1932), E.Schroedinger (βραβείο nobel 1933), Bose (βραβείο nobel 1954) κ.α. Ο W.Heisenberg επιβεβαίωσε με τους συλλογισμούς του την νέα αρχή που έχει γίνει το σήμα κατατεθέν της κβαντικής θεωρίας, που είναι γνωστή ως "αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg".

Ο Erwin Schrodinger (Σρέντικερ) , σκέφτηκε το 1930 το πιο διάσημο νοητικό πείραμα όλων των εποχών, που έχει μείνει στην ιστορία ως "η γάτα του Σρέντιγκερ", παρουσιάζοντας το ως ένα άξιο προσοχής πείραμα για να φανούν οι κβαντικοί κανόνες έναντι του πραγματικού, "κλασσικού" κόσμου.

Η γάτα του Σρέντιγκερ
Πρότεινε λοιπόν, ένα πείραμα όπου μια γάτα θα πρέπει να μπει σε ένα κουτί που περιέχει ένα φιαλίδιο ενός δηλητηριώδους αερίου.(Σημειώνεται ότι το πείραμα είναι νοητικό, φαντάζομαι...). Ένα σφυρί θα πρέπει να είναι έτοιμο να συνθλίψει το φιαλίδιο μόνο αν ενεργοποιηθεί από τη διάσπαση ενός ατόμου (ραδιενεργού), το οποίο διασπάται σε τυχαίο χρόνο και με πιθανότητα 50% ανά ώρα.
Αν κανείς δεν κοιτάει μέσα στο κουτί, λέει ο Σρέντιγκερ και η κβαντική θεωρία, το άτομο θα είναι σε υπέρθεση, διασπασμένο και ακέραιο. Και εδώ , και εκεί αφού δεν μπορούμε να προβλέψουμε τι συμβαίνει ανά μια ώρα. Αν μεταφέρουμε αυτήν την αρχή και στη γάτα, τότε και αυτή θα βρίσκεται σε δύο καταστάσεις, δηλαδή θα είναι ταυτόχρονα και ζωντανή και νεκρή, πριν εμείς την παρατηρήσουμε.
Το παράδοξο αυτό οφείλεται στο ότι στην καθημερινότητά μας ξέρουμε πώς ανά ώρα η γάτα θα είναι ή ζωντανή ή νεκρή. Είτε ζει , είτε όχι. Ένα  άσπρο ή μαύρο που η ατομική φυσική δεν δέχεται.

Ο Σρέντιγκερ ήθελε να δείξει ότι η κβαντική θεωρία είναι ακόμη ελλειπής.
Όπως και να έχει όμως το ερώτημα παραμένει. Πώς γίνεται η γάτα να είναι ζωντανή και νεκρή την ίδια στιγμή; Εμείς τι πρέπει να πιστέψουμε;  

Περισσότερα εδώ: http://www.physics4u.gr/articles/introqm.html
Επίσης: "Κβαντικά παράδοξα" του Jim Al-Khalili , εκδόσεις Τραυλός.

Τετάρτη, 5 Ιανουαρίου 2011

To πρόβλημα του "φθηνού περιδέραιου"

Η διαδικασία λύσης προβλημάτων διακρίνεται σε 4 στάδια: την προπαρασκευή, όπου συγκεντρώνονται οι πληροφορίες, την επώαση όπου το πρόβλημα ωριμάζει για κάποιο χρονικό διάστημα, τη διαφώτιση, όπου η λύση εμφανίζεται ως ένα είδος "εσωτερικής λάμψης" και, τέλος, την επιβεβαίωση όπου επαληθεύεται η λύση. 
Από τα τέσσερα αυτά στάδια το πιο καθοριστικό για τη λύση του προβλήματος πιστεύεται ότι είναι η επώαση. Ο ρόλος ή η επίδραση της περιόδου επώασης του προβλήματος για την τελική του λύση ενισχύεται τόσο από παρατηρήσεις όσο και από πειραματικές έρευνες. Μεταξύ των παρατηρήσεων αξίζει να μνημονευθεί αυτή που αναφέρεται στο διάσημο γάλλο μαθηματικό Poincare, o οποίος σημείωνε:
"...Έπειτα στράφηκα στη μελέτη μερικών θεμάτων αριθμητικής χωρίς να έχω όμως καμιά επιτυχία και χωρίς να μπορώ να τα συσχετίσω με προηγούμενες έρευνές μου. Απογοητευμένος από την αποτυχία έφυγα και πήγα για μερικές μέρες σε ένα παραθαλάσσιο μέρος σκεπτόμενος κάτι διαφορετικό. Ένα πρωί καθώς περπατούσα πάνω στα βράχια μου ήρθε ξαφνικά η ιδέα της λύσης του προβλήματος."

Εξάλλου μια πειραματική μελέτη με το "πρόβλημα του φθηνού περιδέραιου" έδειξε την καθοριστική επίδραση της περιόδου επώασης για τη λύση του προβλήματος.

Το πρόβλημα του "φθηνού περιδέραιου"
Το πρόβλημα αυτό είχε ως εξής:
"'Εχετε στη διάθεσή σας 4 τεμάχια αλυσίδας Α,Β,Γ,Δ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) που το καθένα αποτελείται από 3 κλειστούς κρίκους.
Ζητείται να ενώσετε τα τεμάχια με τέτοιο τρόπο , ώστε, αν το κόστος ανοίγματος ενός κρίκου στοιχίζει 1 ευρώ και το κλείσιμο του κρίκου στοιχίζει 2 ευρώ , να φτιάξετε ένα περιδέραιο (όπως φαίνεται στο σχήμα) που το κόστος κατασκευής του (άνοιγμα και κλείσιμο κρίκων) δεν πρέπει να υπερβεί τα 9 ευρώ.

Το πρόβλημα δόθηκε σε 3 ομάδες ατόμων. Η πρώτη ομάδα που εργάστηκε συνεχώς επί μισή ώρα, είχε επιτυχία 55% (δηλαδή 55% των ατόμων έλυσαν το πρόβλημα). Η 2η ομάδα δίεκοψε το χρόνο εργασίας, κάνοντας μισή ώρα διάλειμμα και είχε επιτυχία 64%. Η 3η ομάδα είχε τέσσερις ώρες ενδιάμεσο διάλειμμα και είχε επιτυχία 85%.
Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι τα άτομα, αφήνοντας κατά μέρος το πρόβλημα για ένα χρονικό διάστημα και απασχολούμενα με κάτι άλλο, επανέρχονται με νέες ιδέες για την αντιμετώπιση και λύση του προβλήματος.

Πηγή: Κων/νος Πόρποδας (Γνωστική Ψυχολογία, τόμος 2 , εκδόσεις Παν/μου Πατρών)


Λύση του προβλήματος
Για τη λύση του προβλήματος ανοίγονται πρώτα οι τρεις κρίκοι του ενός από τα τέσσερα κομμάτια της αλυσίδας (κόστος 3 ευρώ) και στην συνέχεια οι τρεις ανοιγμένοι κρίκοι χρησιμοποιούνται για να συνδεθούν μεταξύ τους τα υπόλοιπα τρία κομμάτια της αλυσίδας (κόστος 6ευρώ).

Κυριακή, 2 Ιανουαρίου 2011

Μαθηματικά και μουσική

Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας...
Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται και που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80). 
 
Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο, για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο.
Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.
Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε
Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης .
 
Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου).
Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής:
- Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
- Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
- Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής.
- Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής. 
Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν.
Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε.
Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου.
Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.
Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις.
Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.
 
Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης:
μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2
Στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.
 
Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα
Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12 .................Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 .................κόμμα του Μερκάτορα
68 .................Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 .................Βυζαντινό ηχομόριο
301 ...............Savart
665 ...............Delfi unit
1200 ..............cent


ΠΗΓΕΣ 
Ελληνική ιστοσελίδα για τη Βυζαντινή μουσική , Focus , Πανελλήνιο Σχολικό δίκτυο


Αναδημοσίευση άρθρου από: 
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...