H περιπλάνηση της φανταστικής μονάδας
Ένας τομέας των Μαθηματικών που σίγουρα είναι πρόκληση για όποιον τον διδάσκει στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση είναι οι μιγαδικοί αριθμοί. Διδάσκεται στη Γ Λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης και λόγω της φύσης του, μιας και πρόκειται για αριθμούς, ανήκει στον κλάδο που ονομάζουμε Άλγεβρα. Συχνά όμως γίνεται αντικείμενο συζήτησης και αποριών από τους μαθητές της Α και Β Λυκείου οι οποίοι διδάσκονται την Άλγεβρα των πραγματικών αριθμών.
Η αλήθεια είναι ότι πολλές φορές, στη πρόταση: "αν μια εξίσωση 2ου βαθμού έχει Δ<0, τότε αυτή είναι αδύνατη", ξεχνάμε να συμπληρώσουμε "στο σύνολο των πραγματικών αριθμών". Έτσι δημιουργείται η ψευδαίσθηση στους μαθητές, ότι οι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή αυτοί που αντιλαμβάνονται διαισθητικά) είναι το "τέλος" των αριθμών που γνωρίζουμε.
Τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί;
Στα Μαθηματικά το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα και έχει την ιδιότητα αν υψωθεί στο τετράγωνο να μας δίνει -1.
Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή α+βi , όπου οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αντίστοιχα. Για παράδειγμα ο αριθμός 3+2i είναι μιγαδικός με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.
Για τους μιγαδικούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Δεν ορίζεται όμως η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς, ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος από άλλον.
Τέλος το σημείο Α(α,β) με συντεταγμένες α και β λέγεται εικόνα του μιγαδικού και μπορεί να παρασταθεί σε ένα επίπεδο αντίστοιχο του καρτεσιανού, που λέγεται μιγαδικό επίπεδο.
Τι οδήγησε στην ανακάλυψη των μιγαδικών αριθμών;
Στην Ευρώπη του 16ου αιώνα, μέσα σε ένα γενικότερο κλίμα σύγχυσης και αναζήτησης προσανατολισμών, δύο ήταν οι βασικές αναζητήσεις και συνάμα μεγάλα "τρόπαια" των μαθηματικών της εποχής. Καταρχάς ο τετραγωνισμός του κύκλου (πρόβλημα που φαίνεται ότι επιδέχεται μόνο προσεγγιστικών λύσεων) και η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης.
Στις προσπάθειες λύσης της τριτοβάθμιας εξίσωσης υπάρχει παρασκήνιο.
Εκείνη την εποχή οι συναντήσεις των μαθηματικών ήταν μυστικές. Αιτία , όχι μόνο η πολυτιμότητα της γνώσης , όπως έκανε και ο Πυθαγόρας με τις Στοές του, αλλά και με την υλική έννοια του πολύτιμου (οι λύσεις τέτοιων προβλημάτων εκτός από κοινωνική άνοδο πρόσφεραν και χρηματικά έπαθλα).
Έτσι μετά από μυστικές "μονομαχίες" μαθηματικών ο Ιταλός αλγεβριστής Ν.Tartaglia (Ταρτάλια) καταφέρνει και κατατροπώνει τους αντιπάλους του, δείχνοντας ατοπήματα και σφάλματα στις μεθόδους των άλλων και βρίσκοντας την ποιο σύντομη οδό για τη λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης.
Το ότι ο Ταρτάλια έλυσε το πρόβλημα έγινε γνωστό στους κύκλους των μαθηματικών , χωρίς όμως να γίνει γνωστός ο μηχανισμός(τύπος) της λύσης του.
Εκεί εμφανίζεται ο Gerolamo Gardano (Γκαρντάνο). Ιταλός και αυτός, έχοντας σπουδάσει ιατρική, φυσική και μαθηματικά , αλλά με πολλά προσωπικά προβλήματα (είχε φυλακισθεί από την Ιερά Εξέταση της εποχής για αιρετικά κηρύγματα και το όνομα του είχε αμαυρωθεί από την εκτέλεση του γιού του που καταδικάστηκε για το φόνο της γυναίκας του). Ο Γκαρντάνο επισκέφτετε τον φίλο του Ταρτάλια και όπως λέγεται, καταφέρνει και του αποσπά τα μυστικά για τη λύση των τριτοβάθμιων εξισώσεων. Το 1545 ο Γκαρντάνο δημοσιεύει τη λύση στο βιβλίο του "Ars Magna" , ενώ ακολουθεί δεκαετής πόλεμος μεταξύ αυτού και του Ταρτάλια για την πατρότητα της λύσης.
Ο λόγος που ο Ταρτάλια είχε κρατήσει μυστική τη λύση ήταν ένα πρόβλημα που είχε διαπιστώσει στο μηχανισμό της. Υπήρχαν πραγματικές λύσεις της εξίσωσης οι οποίες αν τις αντικαταστούσε στον τύπο που είχε βρει , του έδιναν τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού , κάτι το οποίο ήταν άτοπο την εποχή εκείνη. Δηλαδή η κατά τ'άλλα πλήρως εγκαθυδριμένη σε αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια λύση του Ταρτάλια δεν απέδιδε όλες τις πραγματικές αριθμητικές λύσεις της εξισώσης. Όμως η δημοσίευση από τον Γκαρντάνο την έφερε στο φως.
Στο ακόλουθο χρονικό διάστημα επικράτησε χάος στη μαθηματική κοινότητα. Το δίλλημα ήταν μεγάλο. Ή θα έπρεπε να απορρίψουν τελείως τη λύση (πράγμα που φάνταζε αδιανόητο - πώς ήταν δυνατόν να απορρίψουν κάτι που δεν μπορεί να αποδειχθεί με λογική συνέπεια ότι είναι λάθος;) ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός όπως το 4 , μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.
Και το επόμενο βήμα γίνεται από έναν ερασιτέχνη ουσιαστικά μαθηματικό. Ο S.del Ferro δεν ακολούθησε την πεπατημένη και πειραματίστηκε στην λύση του Ταρτάλια. Έψαξε τις λύσεις της εξίσωσης μέσα από πράξεις με αρνητική διακρίνουσα και κατέληξε σε μεθόδους που παρήγαγαν πλέον όλες τις λύσεις. Παρά τον αρχικό χλευασμό , η μέθοδος του δε γινόταν να παραγκωνιστεί και σύντομα έγινε παντού γνωστή.
Ο R. Bombelli αργότερα προχώρησε στη θεμελίωση αυτής της ανακάλυψης μετατρέποντας σε αναπόσπαστο κομμάτι των μαθηματικών τους φανταστικούς και αργότερα τους μιγαδικούς αριθμούς α+βi , όπου i η τετραγωνική ρίζα του -1. Η φανταστική μονάδα απέκτησε το δικό της παγκόσμιο σύμβολο i τον 18ο αιώνα μετά από πρόταση του Euler (Οϊλερ). Ο Gauss το 1799 δίνει μια απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας. Το σημαντικό αυτό θεώρημα δηλώνει ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.
Οι μιγαδικοί αριθμοί σήμερα έχουν τεράστια εφαρμογή στη φυσική, στην κβαντομηχανική, στην οπτική, στην ηλεκτρονική, στη λύση διαφορικών εξισώσεων κ.α.
Ο λόγος που ο Ταρτάλια είχε κρατήσει μυστική τη λύση ήταν ένα πρόβλημα που είχε διαπιστώσει στο μηχανισμό της. Υπήρχαν πραγματικές λύσεις της εξίσωσης οι οποίες αν τις αντικαταστούσε στον τύπο που είχε βρει , του έδιναν τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού , κάτι το οποίο ήταν άτοπο την εποχή εκείνη. Δηλαδή η κατά τ'άλλα πλήρως εγκαθυδριμένη σε αδιάσειστα μαθηματικά θεμέλια λύση του Ταρτάλια δεν απέδιδε όλες τις πραγματικές αριθμητικές λύσεις της εξισώσης. Όμως η δημοσίευση από τον Γκαρντάνο την έφερε στο φως.
Στο ακόλουθο χρονικό διάστημα επικράτησε χάος στη μαθηματική κοινότητα. Το δίλλημα ήταν μεγάλο. Ή θα έπρεπε να απορρίψουν τελείως τη λύση (πράγμα που φάνταζε αδιανόητο - πώς ήταν δυνατόν να απορρίψουν κάτι που δεν μπορεί να αποδειχθεί με λογική συνέπεια ότι είναι λάθος;) ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός όπως το 4 , μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.
Και το επόμενο βήμα γίνεται από έναν ερασιτέχνη ουσιαστικά μαθηματικό. Ο S.del Ferro δεν ακολούθησε την πεπατημένη και πειραματίστηκε στην λύση του Ταρτάλια. Έψαξε τις λύσεις της εξίσωσης μέσα από πράξεις με αρνητική διακρίνουσα και κατέληξε σε μεθόδους που παρήγαγαν πλέον όλες τις λύσεις. Παρά τον αρχικό χλευασμό , η μέθοδος του δε γινόταν να παραγκωνιστεί και σύντομα έγινε παντού γνωστή.
Ο R. Bombelli αργότερα προχώρησε στη θεμελίωση αυτής της ανακάλυψης μετατρέποντας σε αναπόσπαστο κομμάτι των μαθηματικών τους φανταστικούς και αργότερα τους μιγαδικούς αριθμούς α+βi , όπου i η τετραγωνική ρίζα του -1. Η φανταστική μονάδα απέκτησε το δικό της παγκόσμιο σύμβολο i τον 18ο αιώνα μετά από πρόταση του Euler (Οϊλερ). Ο Gauss το 1799 δίνει μια απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας. Το σημαντικό αυτό θεώρημα δηλώνει ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.
Οι μιγαδικοί αριθμοί σήμερα έχουν τεράστια εφαρμογή στη φυσική, στην κβαντομηχανική, στην οπτική, στην ηλεκτρονική, στη λύση διαφορικών εξισώσεων κ.α.
