Κυριακή, 16 Ιανουαρίου 2011

Γκέντελ: ο "σκοτεινός πρίγκηπας" των σύγχρονων μαθηματικών

Ο David Wallace στο βιβλίο του: "'΄Ολα και ακόμα περισσότερα: Μια συνοπτική ιστορία του απείρου" περιγράφει τον Γκέντελ ως τον "απόλυτο πρίγκηπα του σκότους των σύγχρονων μαθηματικών" και ισχυρίζεται ότι εξαιτίας του "τα καθαρά μαθηματικά βρίσκονται μετέωρα τα τελευταία 70 χρόνια".
Σύμφωνα με τον Γουάλας, από την εποχή που ο Γκέντελ δημοσίευσε το περίφημο άρθρο του 1931 για τη θεωρία της μη πληρότητας, τα μαθηματικά αιωρούνται στο κενό και στερούνται παντελής θεμελίωσης.
Ο Κουρτ Γκέντελ (Kurt Friedrich Gödel) γεννήθηκε το 1906 και πέθανε το 1978. Αυστροαμερικανός στην καταγωγή, ασχολήθηκε με την μαθηματική λογική και τη φιλοσοφία. Σε ηλικία 23 ετών, μετά το τέλος ενός συνεδρίου, θα διατυπώσει το θεώρημα της μη πληρότητας προκαλώντας μεγάλο σεισμό στα μαθηματικά θεμέλια. Κατασκευάζοντας την Αριθμητική Γκέντελ θα επηρρεάσει έναν άλλον επιστήμονα της λογικής, τον ΄Αλαν Τιούρινγκ ο οποίος θεωρείται ο πατέρας της λειτουργίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Έχει παρουσιαστεί από το περιοδικό Time ως η κορυφαία μαθηματική προσωπικότητα του 20ου αιώνα, ήταν όμως και η πιο χαρακτηριστική περίπτωση της τραγωδίας στη θεμελίωση των μαθηματικών, κατά την οποία οι 5 από τους 10 μεγάλους πρωταγωνιστές είχαν ψυχικά ακραίες συμπεριφορές.   

Τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Γκέντελ 
Είναι δύο θεωρήματα της μαθηματικής λογικής, τα οποία αποδείχτηκαν από τον ίδιο και υποδεικνύουν  έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα λογικά συστήματα των μαθηματικών.
Με άλλα λόγια κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία, που περιέχει τους θετικούς ακέραιους και θεμελιώνεται πάνω σε συμβιβαστά αξιώματα δεν είναι πλήρης, αφού πάντα θα υπάρχουν προτάσεις των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί, ούτε να διαψευσθεί. Για παράδειγμα στην αριθμητική, υπάρχουν προτάσεις που αφορούν την πρόσθεση ή τον πολλαπλασιασμό οι οποίες είναι αληθείς, αλλά όχι αποδείξιμες.

Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείται να βρείτε τις διατυπώσεις των θεωρημάτων του Γκέντελ,
αν όμως δεν είστε καλά μυημένοι στη μαθηματική λογική και τους κανόνες της, διαβάστε παρακάτω.

Κάτι που πρέπει να διευκρινιστεί στο σημείο αυτό είναι ότι η απόδειξη του Γκέντελ είναι περισσότερο μαθηματικό συμπέρασμα, που αφορά τα ίδια τα μαθηματικά, τα όρια των μεθόδων τους. Δεν είναι δηλαδή αποτέλεσμα στο εσωτερικό κάποιου μαθηματικού κλάδου, είναι έξω από τα μαθηματικά και τα εξετάζει από εξωτερική σκοπιά.

Τι κατάφερε όμως ο Γκέντελ; Ποιος ο ρόλος ενός θεωρήματος που λέει ότι καμία θεωρία που στηρίζεται σε κάποιο τυπικό αξιωματικό σύστημα δεν είναι πλήρης;
Κατάφερε να αλλάξει τον τρόπο που βλέπαμε τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δεν είναι στατικά ή τέλεια, ούτε πλήρως αυτοματοποιημένα. Συνεχώς εξελίσσονται, μεταβάλλονται, διαμορφώνονται σε νέες φόρμες. Νέες έννοιες μετασχηματίζουν συνεχώς τα μαθηματικά, δημιουργούν νέα πεδία, νέες οπτικές γωνίες, νέα ενδιαφέροντα και νέα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν.
Οι αποστειρωμένες αποδείξεις, η απόλυτη βεβαιότητα των μαθηματικών συλλογισμών και ο φορμαλισμός , σύμφωνα με τον Γκέντελ, ήταν μια ασθένεια των μαθηματικών από την οποία ήταν καιρός να συνέλθουν. Και είχε δίκιο.
Το ρεύμα της εποχής ήταν εντελώς το αντίθετο. Η θεμελίωση των μαθηματικών ήταν το ζητούμενο. Όλοι αγωνιούσαν και δούλευαν για αυτό το σκοπό. Ο Λάιμπνιτς από τον 17ο αιώνα είχε συλλάβει την ιδέα μιας παγκόσμιας γλώσσας, η οποία θα ήταν ικανή να εκφράσει ολόκληρη τον ανθρώπινη σκέψη σε μια γενική συμβολική μέθοδο, ανάγοντας όλες τις αλήθειες σε ένα είδος υπολογισμού. Ο Bool αργότερα κάνει ένα τεράστιο άλμα στη συμβολική λογική, o Φρέγκε και ο Κάντ οργανώνουν τη λογική με αξιωματικό τρόπο. Ο Χίλμπερτ, που για πολλούς θεωρείται ως ο δημιουργός των σύγχρονων μαθηματικών, διερεύνησε πρώτος κατά πόσο μπορούμε να μελετήσουμε την ισχύ των μαθηματικών χρησιμοποιώντας τα ίδια τα μαθηματικά. Δική του ιδέα ήταν η δημιουργία ενός τυπικού αξιωματικού συστήματος για το σύνολο των μαθηματικών, το οποίο θα βοηθούσε να απαλειφθούν όλες οι ασάφειες στην μαθηματική επιχειρηματολογία και να εξαληφθεί κάθε αμφιβολία σχετικά με το ποια απόδειξη είναι σωστή ή όχι. Στη δίνη αυτής της τελειότητας των αποδείξεων και του φορμαλισμού , ο ιδιοφυής Μπέρτραντ Ράσελ στο τρίτομο έργο του Principia Mathematica γεμίζει έναν ολόκληρο τόμο με τύπους, προσπαθώντας να έχει την πιο τέλεια απόδειξη ότι 1+1=2! 'Ομως για να αποδείξει κανείς ακόμη και ότι:1+1=2 πρέπει να χρησιμοποιήσει κάποιο αξιωματικό σύστημα. Κάποιες αλήθειες δηλαδή που δεν μπορούν να αποδειχθούν και που στηρίζονται καθαρά στη διαίσθησή μας. Άρα, σύμφωνα με τον Γκέντελ ακόμη και αυτή η απόδειξη δεν ήταν πλήρης. Το έργο αυτό του Ράσελ, λέγεται ότι αποτέλεσε και την έμπνευση του Γκέντελ για τη διατύπωση της θεωρίας του.

Η εργασία του Γκέντελ για τη μη πληρότητα και αργότερα αυτή του Τιούρινγκ για τη μη υπολογισιμότητα δείξανε ότι ο ρόλος που οραματιζόταν ο Χίλμπερτ για το φορμαλισμό στα μαθηματικά, ταιριάζει πολύ περισσότερο στις γλώσσες του προγραμματισμού των ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι όμως φορμαλισμοί για τους αριθμούς και τις πράξεις, όχι για τους συλλογισμούς , όχι για την απόδειξη θεωρημάτων και κυρίως όχι για την επινόηση νέων μαθηματικών εννοιών, ούτε φυσικά για την πραγματοποίηση νέων ανακαλύψεων.

Ο Γκέντελ πέθανε το 1978 σε νοσοκομείο της Αμερικής, έχοντας δίπλα του τη γυναίκα του και τον καλό του φίλο Άλμπερτ Αϊνστάιν. Η φοβία του για επικείμενη τροφική δηλητηρίαση τον ώθησε σε αυτο-επιβεβλημένη ασιτία. Λίγο πριν ξεψυχήσει είχε βάρος 33 κιλά.


Πρόταση-Βιβλία:

α)"Αιχμάλωτος των μαθηματικών" O Kουρτ Γκέντελ και το θεώρημα της μη πληρότητας, του R. Goldstein, εκδόσεις Τραυλός
β)"Από την παράνοια στους αλγόριθμους" H δέκατη έβδομη νύχτα και άλλες διαδρομές, του Απόστολου Δοξιάδη, εκδόσεις Ίκαρος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...