Δευτέρα, 30 Μαΐου 2011

Μαθηματικό μοντέλο για την εκλογή των βουλευτών

Τι θα λέγατε αν στην επόμενη Βουλή των Ελλήνων ένα μέρος των βουλευτών ήταν κληρωτοί; Σας φαίνεται περίεργο; Ιταλοί ερευνητές πάντως, οι οποίοι ανέπτυξαν ένα μαθηματικό μοντέλο που επιτρέπει την πρόβλεψη της αποτελεσματικότητας του βουλευτικού σώματος με βάση τα ποσοστά βουλευτών που προέρχονται από κόμματα και ανεξάρτητων κληρωτών βουλευτών, υποστηρίζουν ότι η εισαγωγή τυχαίου ανεξάρτητου αίματος θα αύξανε κατακόρυφα την αποτελεσματικότητα του κοινοβουλευτικού έργου. Τι εννοούν με τον όρο «αποτελεσματικότητα»; Ότι οι αποφάσεις θα ήταν προς το καλό του κοινωνικού συνόλου (κατ' αντιδιαστολή με το προσωπικό όφελος των εκλεγμένων αντιπροσώπων μας). Με δεδομένο ότι στη διάρκεια των 37 τελευταίων χρόνων οι εκλεγμένοι αντιπρόσωποί μας απέτυχαν να αποτρέψουν τη χρεοκοπία της χώρας (για να μην πούμε συνέβαλαν σε αυτή), η διαίσθησή μας λέει ότι οι Ιταλοί επιστήμονες μπορεί και να έχουν δίκιο. Στο κάτω-κάτω, πόσο χειρότερα θα ήταν τα πράγματα αν είχαμε υιοθετήσει το μοντέλο που προτείνουν; Το ΒΗΜΑScience συνομίλησε μαζί τους για να μάθει περισσότερα...

Όπως ο Περικλής...
Οι Ιταλοί ερευνητές του Πανεπιστημίου της Κατάνια δημοσίευσαν τη μελέτη τους στον διαδικτυακό τόπο του Πανεπιστημίου. Tο άρθρο τους αρχίζει θυμίζοντας μας ότι «Στην αρχαία Ελλάδα, στο λίκνο της δημοκρατίας, κυβερνητικά σώματα επιλέγονταν εν πολλοίς με κλήρωση». Τι σχέση όμως μπορεί να έχει η άμεση δημοκρατία των αρχαίων Ελλήνων με τη σημερινή πραγματικότητα; Οι καθηγητές Αστροφυσικής Alessandro Pluchino και Αndrea Rapisarda καθώς και οι συνεργάτες τους Cesare Garofalo S. Spagano και M. Caserta καθηγητές Οικονομικών και Πολιτικής Οικονομίας που υπογράφουν το άρθρο, εκτιμούν ότι έστω και αν η άμεση δημοκρατία δεν είναι εφικτή στις ημέρες μας, η σοφία της εισαγωγής του τυχαίου στον κοινοβουλευτισμό είναι διαχρονική.

Για τη μοντελοποίηση της ιδέας τους οι Ιταλοί επιστήμονες εμπνεύστηκαν από τον ιστορικό της Οικονομίας στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ και συμπατριώτη τους Carlo Maria Cipolla (1922-2000). Στη διάσημη χιουμοριστική μονογραφία του «The basic laws of human stupidity» (οι βασικοί νόμοι της ανθρώπινης ηλιθιότητας) ο Cipolla χωρίζει τους ανθρώπους σε τέσσερις κατηγορίες οι οποίες προκύπτουν από τη θέση (διασπορά) τους σε έναν καρτεσιανό άξονα συντεταγμένων. Έτσι, με τον άξονα των χ να αντιπροσωπεύει το προσωπικό όφελος και τον άξονα των ψ το κοινό όφελος, τα άτομα που εμπίπτουν στο πάνω δεξιά τεταρτημόριο (δικό τους όφελος και κοινό όφελος) είναι τα έξυπνα άτομα, τα άτομα που εμπίπτουν στο πάνω αριστερά τεταρτημόριο (δικό τους κακό, κοινή ωφέλεια) είναι τα αφελή άτομα, τα άτομα που εμπίπτουν στο κάτω δεξιά τεταρτημόριο (δικό τους καλό, κοινό κακό) είναι οι ληστές και, τέλος, εκείνα που εμπίπτουν στο κάτω αριστερό τεταρτημόριο είναι οι ηλίθιοι (κακό δικό τους και του κοινού). Βάσει αυτής της κατηγοριοποίησης ο Cipolla δίνει τον ορισμό του ηλιθίου: «ένα άτομο είναι ηλίθιο αν μπορεί να προκαλέσει βλάβη σε ένα άλλο άτομο ή ομάδα ατόμων χωρίς να έχει κανένα προσωπικό όφελος ή ακόμη χειρότερα, να προκαλέσει και δική του βλάβη κατά τη διαδικασία».

Η κληρωτίς ή κληρωτήριον των αρχαίων ελλήνων. Το φράγμα σώζεται στο Μουσείο της Αρχαίας Αγοράς 
Να μην οφείλουν τίποτε σε κανέναν...
Πόσο τυχαίοι όμως θα ήταν οι κληρωτοί βουλευτές; «Στην κληρωτίδα θα έμπαινε όποιος εξεδήλωνε την επιθυμία και με εξαίρεση το καθαρό ποινικό μητρώο δεν νομίζω ότι θα έπρεπε να υπάρχει άλλη προϋπόθεση» μας είπε ο Pluchino και προσέθεσε: «Στην πράξη θα συνέβαινε ό,τι συμβαίνει με την κλήρωση ενόρκων. Οι κληρωτοί βουλευτές θα μπορούσαν να είναι κάθε ηλικίας, φύλου, οικονομικού και μορφωτικού επιπέδου. Να είναι πραγματικά ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα της κοινωνίας».
Στη συζήτηση του άρθρου, οι ερευνητές αναλύουν τα πλεονεκτήματα των κληρωτών βουλευτών οι οποίοι «δεν οφείλουν τίποτε σε κανέναν και έτσι δεν έχουν παρά να είναι πιστοί μόνο στη συνείδησή τους και σε κανένα κόμμα. Επίσης δεν έχουν να ενδιαφερθούν για την επανεκλογή τους. Επιπροσθέτως, η κλήρωση είναι μια διαδικασία η οποία μπορεί να περιφρουρηθεί ευκολότερα από τις εκλογές. Είναι εύκολο να εξασφαλιστεί μια απολύτως δίκαιη διαδικασία κλήρωσης. Αντίθετα, η εκλογική διαδικασία μπορεί να μεθοδευτεί με χρήματα ή άλλα μέσα».

Ποιά πρόταση για την Ελλάδα;
Με δεδομένο ότι το μοντέλο των Ιταλών επιστημόνων προέβλεπε την ύπαρξη δύο μεγάλων κομμάτων ενώ στη χώρα μας αυτή τη στιγμή υπάρχουν πέντε κόμματα, δεν μπορούσαμε παρά να αναρωτηθούμε αν η ύπαρξη περισσότερων κομμάτων δεν λειτουργούσε με αντίστοιχο τρόπο, αν δηλαδή οι βουλευτές των μικρότερων κομμάτων δεν έπαιζαν τον ρόλο των ανεξάρτητων βουλευτών του μοντέλου. «Αποτελεί άμεσο στόχο μας η μοντελοποίηση ενός κοινοβουλίου με περισσότερα κόμματα. Είναι δύσκολο χωρίς να το κάνουμε αυτό να απαντήσουμε με βεβαιότητα στο ερώτημά σας. Αντιλαμβάνομαι βεβαίως τον συλλογισμό σας. Δεν θα πρέπει πάντως να ξεχνάτε ότι η κομματική πειθαρχία θα ήταν ο περιοριστικός παράγοντας σε αυτή την περίπτωση» επεσήμανε ο Pluchino και μας παρέπεμψε στη συζήτηση του άρθρου όπου σημειώνονται οι παθογένειες των εκλογικών συστημάτων: «Το αναγκαίο της ύπαρξης ηγεσίας, η τάση όλων των κοινωνικών ομάδων να υπερασπίζονται τα συμφέροντά τους και η παθητικότητα του εκλεκτορικού σώματος είναι μόνο μερικοί από τους πολλούς λόγους που οδηγούν στον εκφυλισμό των δημοκρατικών κομμάτων. Στην αντιπροσωπευτική δημοκρατία αυτή η διαδικασία έχει σχεδόν θεσμοθετηθεί. Οι κομματικές ελίτ δρουν με σκοπό την εξυπηρέτηση του κόμματος και του εαυτού τους, συχνά σε βάρος του κοινού συμφέροντος. Αν κάποιοι βουλευτές ψηφίσουν εναντίον της κομματικής γραμμής πιθανότατα εξοστρακίζονται και δεν συμμετέχουν στην επόμενη εκλογική διαδικασία. Φυσικά δεν χωρεί αμφιβολία ότι οι ελεύθερες εκλογές δεν συγκρίνονται με τα ολιγαρχικά καθεστώτα, αλλά τα σημερινά εκλογικά συστήματα τείνουν να δημιουργούν μια δημοκρατική αριστοκρατία, όπου οι εκλεγμένοι αντιπρόσωποι είναι ανώτεροι του εκλογικού σώματος».

Για μας που έχουμε γαλουχηθεί με την ιδέα ότι η δημοκρατία είναι ταυτόσημη των εκλογών, ίσως τα συμπεράσματα των Ιταλών επιστημόνων να ακούγονται εξωπραγματικά. Από την άλλη όμως, δεν μπορεί κανείς να μη σκεφθεί ότι ορισμένα πράγματα από αυτά που υποστηρίζουν φαίνονται να περιγράφουν την ελληνική πραγματικότητα και πως ένα κοινοβούλιο με εκλεγμένους και κληρωτούς βουλευτές μπορεί όντως να ήταν αποτελεσματικότερο (θυμίζουμε ότι η αποτελεσματικότητα μετράται με βάση τους νόμους που ψηφίζονται και είναι προς το κοινό όφελος). Θα ψηφίζονταν άραγε από ένα μεικτό κοινοβούλιο νόμοι που εξασφαλίζουν ψηλότερες συντάξεις και αποδοχές στους βουλευτές; Θα περνούσε ο νόμος περί ευθύνης υπουργών ο οποίος οδηγεί στη συντομότατη παραγραφή αδικημάτων υπουργών; Θα δεχόταν το βουλευτικό σώμα να ψηφίζει προϋπολογισμούς στη διαμόρφωση των οποίων δεν είχε καμιά συμμετοχή και, ακόμη περισσότερο, κανέναν έλεγχο; Θα είχε συρρικνωθεί ο βουλευτικός ρόλος σε νομοθετικό ιμάντα έγκρισης νομοσχεδίων που φέρνουν στη Βουλή οι υπουργοί; Κάνουμε λάθος, ή είναι όντως ελάχιστα τα παραδείγματα βελτιστοποίησης νομοσχεδίων (σε επιμέρους λεπτομέρειες) που υπήρξε απόρροια συντεταγμένης προσπάθειας βουλευτών; Μήπως τελικά οι κληρωτοί είναι μια λύση;

Μην μπείτε στη λογική να θεωρήσετε όποιον επιθυμεί το κοινό καλό «ηλίθιο»... Στον καρτεσιανό πίνακα των Ιταλών ερευνητών ο άξονας των χ αντιπροσωπεύει το προσωπικό όφελος και ο άξονας ψ το κοινό όφελος. Οι κύκλοι αναπαριστούν κόμματα, ενώ η ακτίνα του κύκλου την ανοχή των κομμάτων. Τέλος, οι ελεύθερες (εκτός κύκλου) κουκίδες αναπαριστούν τους κληρωτούς βουλευτές.

Βήμα Science

Σάββατο, 28 Μαΐου 2011

H αντίληψη της Γεωμετρίας είναι γραμμένη στα γονίδια μας!


Αν και πολλοί νιώθουν άγχος και μόνο στο άκουσμα της λέξης, η Γεωμετρία τελικά φαίνεται ότι με κάποιον τρόπο είναι «γραμμένη» στα γονίδιά μας.

Κύκλοι και τρίγωνα φαίνονται να ξεπηδούν από τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο (λεπτομέρεια από πίνακα του Καντίνσκι) 
Αυτό τουλάχιστον αποδεικνύεται από μια έρευνα που πραγματοποίησε γαλλική ερευνητική ομάδα. Όπως έδειξε, τα μέλη μιας φυλής του Αμαζονίου που δεν έχουν καν ακούσει το όνομα του Ευκλείδη έχουν την ίδια - και σε ορισμένες περιπτώσεις καλύτερη - αίσθηση της Γεωμετρίας από Ευρωπαίους και Αμερικανούς που διδάσκονται τα θεωρήματά του στο σχολείο.

Γεωμετρικό ένστικτο
 Κάθε Δυτικός που έχει περάσει από τα μαθητικά θρανία γνωρίζει τις βασικές αρχές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως το ότι δυο σημεία μπορούν να ενωθούν με μια ευθεία, ότι δυο παράλληλες γραμμές δεν τέμνονται ποτέ ή ότι οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν πάντα το ίδιο άθροισμα των 180 μοιρών. Αυτά όμως είναι πράγματα που μπορεί να μάθει κανείς με την εκπαίδευση. Το μεγάλο ερώτημα για τους ειδικούς είναι αν η γεωμετρική αντίληψη (ή ένα είδος «γεωμετρικού ενστίκτου») υπάρχει σε όλους τους λαούς ανεξάρτητα από τη γλώσσα και το μορφωτικό τους επίπεδο.

Για να το διερευνήσουν οι ερευνητές του Εθνικού Κέντρου Επιστημονικών Ερευνών (CNRS) της Γαλλίας με επικεφαλής τον Πιερ Πικά εξέτασαν πώς οι εκπρόσωποι της φυλής Μουντουρούκου του Αμαζονίου αντιλαμβάνονται τα σημεία, τις ευθείες και τις γωνίες και συνέκριναν τις απαντήσεις τους με αυτές που έδωσαν σε αντίστοιχα τεστ Γάλλοι και Αμερικανοί εθελοντές.

«Η γλώσσα των Μουντουρούκου έχει μόνο αριθμούς κατά προσέγγιση» εξήγησε ο κ. Πικά μιλώντας στο BBC. «Δεν υπάρχουν γεωμετρικοί όροι όπως τρίγωνο ή τετράγωνο ούτε τρόπος να πεις ότι δυο γραμμές είναι παράλληλες. Φαίνεται ότι η γλώσσα δεν διαθέτει αυτή την αντίληψη»

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, τα οποία δημοσιεύονται στην επιθεώρηση «Proceedings of the National Academy of Sciences», οι Μουντουρούκου, παρά τη γλωσσική τους ένδεια σε γεωμετρικούς όρους εμφανίστηκαν να έχουν την ίδια γεωμετρική αντίληψη με τους δυτικούς συμμετέχοντες. Προς έκπληξη δε των ερευνητών, αποδείχθηκαν καλύτεροι από τους τελευταίους σε «προβλήματα» που εμπίπτουν στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, και συγκεκριμένα στην αντίληψη των σχημάτων επάνω σε σφαιρικές επιφάνειες.

Σφαίρες και νεροκολοκύθες
Ο κ. Πικά και οι συνεργάτες του «εξέτασαν» 22 ενήλικες και 8 παιδιά της φυλής των Μουντουρούκου θέτοντάς τους μια σειρά από γεωμετρικά ζητήματα. Απέφυγαν τους αφηρημένους όρους της Γεωμετρίας χρησιμοποιώντας πρακτικά παραδείγματα: αντί για δυο σημεία σε ένα επίπεδο ανέφεραν για παράδειγμα δυο χωριά σε έναν νοητό χάρτη και αντί για μια σφαίρα μιλούσαν για μια νεροκολοκύθα.

Ανάλογα ερωτήματα τέθηκαν σε 30 ενήλικες και παιδιά - ορισμένα ηλικίας μόλις πέντε ετών - στη Γαλλία και στις Ηνωμένες Πολιτείες.

Οι απαντήσεις των Μουντουρούκου ήταν σχεδόν το ίδιο ακριβείς με αυτές που έδωσαν οι Γάλλοι και Αμερικανοί εθελοντές.  Παρ’ ότι τους έλειπε η εκπαίδευση και δεν διέθεταν καν τις αντίστοιχες λέξεις στο λεξιλόγιό τους, εμφανίστηκαν να έχουν μια ενστικτώδη αντίληψη των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων.

Το εντυπωσιακό ήταν ότι οι γεωμετρικά απαίδευτοι κάτοικοι του Αμαζονίου επέδειξαν μεγαλύτερη ικανότητα αντίληψης από τους μορφωμένους δυτικούς ομολόγους τους στη νεότερη, μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΄Ηταν για παράδειγμα πιο συχνά σε θέση να διαγνώσουν ότι, αντίθετα με τους νόμους του Ευκλείδη, οι παράλληλες γραμμές στην επιφάνεια μιας σφαίρας μπορούν να τέμνονται -κάτι το οποίο ίσχυε σε μικρότερο βαθμό για τους Γάλλους και Αμερικανούς εθελοντές. 

Αυτό κατά τον κ. Πικά αποτελεί ένα δείγμα του ότι η γεωμετρική παιδεία μας μπορεί να μας επηρεάζει κάποιες φορές αρνητικά. «Η παιδεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι τόσο ισχυρή ώστε θεωρούμε δεδομένο ότι θα ισχύει παντού, ακόμη και στις σφαιρικές επιφάνειες. Η μόρφωσή μας μάς ξεγελάει, κάνοντάς μας να πιστεύουμε πράγματα που δεν είναι σωστά» τόνισε.

Πηγή: Βήμα Science

Σάββατο, 21 Μαΐου 2011

Όταν τα μαθηματικά δεν υπηρετούσαν την ύλη, αλλά μόνο το πνεύμα.

Μετά το Θαλή το Μιλήσιο (6ος π.Χ. αι.) που ήταν ο πρώτος άνθρωπος που αναζήτησε μια λογική θεμελίωση των γεωμετρικών θεωρημάτων απελευθερώνοντας τα σχήματα από τα αντικείμενα που τα προσδιορίζουν και προσπάθησε να εξηγήσει ορθολογικά τα φαινόμενα του κόσμου, τη σκυτάλη στην ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών  παίρνουν οι Πυθαγόρειοι.

Οι Πυθαγόρειοι (5ος π.Χ. αι.) χρησιμοποιούσαν ένα δικό τους ιδιόμορφο συμβολιστικό σύστημα αποτελούμενο από σημεία (τελείες).
Το κλειδί της συμβολικής αυτής ήταν ότι έπρεπε σε κάθε σχήμα η κάθε πλευρά να έχει τον ίδιο αριθμό κουκίδων. Η παραστατική αυτή συμβολική των αριθμών τους χώρισε σε πολλές κατηγορίες όπως: άρτιους, περιττούς, τρίγωνους, τετράγωνους, τέλειους, φίλιους κ.α. Οι αριθμοί 3,6,10,... του παραπάνω σχήματος είναι οι τρίγωνοι αριθμοί. Οι αριθμοί 4,9,16,...είναι οι τετράγωνοι αριθμοί (πώς συμβολίζονται με τετράγωνα;) 
Για να κατανοήσουμε τη σημασία αυτής της ανακάλυψης αρκεί να αναλογιστούμε ότι ακόμη και στη σύγχρονη εποχή των υπερυπολογιστών δεν έχει βρεθεί αν για παράδειγμα το πλήθος των φίλιων αριθμών είναι άπειρο ή πεπερασμένο. 
(Φίλιοι είναι τα ζευγάρια των αριθμών που ο καθένας είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου. Π.χ. οι αριθμοί 284, 220  αφού
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(όλοι οι διαιρέτες του 220)
220=1+2+4+71+142(όλοι οι διαιρέτες του 284)
* Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416
* Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος, 9.363.584, 9.437.056
* Ο Nicolò Paganini, το 1866 βρήκε το 1.184, 1.210
)

Το σχέδιο των Πυθαγορείων ήταν να δώσουν σε ολόκληρη τη φύση ένα μαθηματικό υπόβαθρο,  πιστεύοντας ότι ανακάλυψαν στους αριθμούς την "ουσία του όντος" (μη ξεχνάμε ότι η Πυθαγόρειοι εκτός από επιστημονική και φιλοσοφική σχολή είχαν και θρησκευτικοπολιτική ταυτότητα. Τα κείμενα που σώζονται για αυτούς είναι συνήθως ελλιπή, λόγω της μυστικότητας που λειτουργούσαν, γιαυτό και δύσκολα διακρίνει κανείς τι ανήκει στο μύθο και τι στην ιστορία. Περίπου την ίδια εποχή την "ουσία του όντος" αναζητούσαν και οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι.). 


Έπρεπε λοιπόν να μελετήσουν την ίδια τη φύση των αριθμών εκτός Λογιστικής ανυψώνοντας την Αριθμητική πάνω και πέρα από τις υπολογιστικές ανάγκες των εμπόρων. Έτσι αυτό το μαθηματικό οικοδόμημα των Πυθαγορείων κατάφερε και επηρέασε τη φιλοσοφική και θρησκευτική σκέψη των αρχαίων ελλήνων. Για παράδειγμα: η απουσία του 0  και η ανυπαρξία αυτής της έννοιας εξοστράκιζε κάθε θεωρία για Δημιουργία εκ του μηδενός. Η μη θεώρηση του 1 ως αριθμού και αφού δε μπορούσαν να τον κατατάξουν ούτε στους άρτιους, ούτε στους περιττούς, τον ταύτισαν με το σύμβολο της θεότητας. 

Μονάς.
Ήταν το ένα και αντιπροσωπεύει πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες. Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή, ευδαιμονία, δημιουργός, ευτυχία, αρμονία, τάξη, φιλία. Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα και τον Υπερίωνα. Είναι το σημείο, η πηγή των αριθμών Μονάς από το Έν.

Δυάς.

Το πρώτο στάδιο προς την διαδρομή της δημιουργίας. Αντιπροσώπευσε την πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα και την αστάθεια. Καλείται συχνά τόλμη κα διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της μονάδας. Ο πρώτος θήλυ αριθμός, η δυαδικότητα. 

Διαβάστε περισσότερα για τους πυθαγόρειους αριθμούς στον παρακάτω σύνδεσμο:

Ωστόσο η μεγάλη ανακάλυψη των Πυθαγορείων έγκειται στην εύρεση των ασύμμετρων (άρρητων) αριθμών, κάτι που τους δημιούργησε ταυτόχρονα και προβλήματα. Πιθανώς το κίνητρο για αυτή την ανακάλυψη να ήταν το ενδιαφέρον τους για το γεωμετρικό μέσο (α:β = β:γ) που ήταν και σύμβολο της αριστοκρατίας. Προσπαθώντας όμως να βρουν το γεωμετρικό μέσο των ιερών αριθμών 1 και 2 κατέληξαν να μελετούν το λόγο της πλευράς ενός τετραγώνου προς τη διαγώνιο του. Είδαν τότε ότι ο λόγος αυτός δε μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς  που σήμερα τους αποκαλούμε ρητούς (ακέραιοι, κλάσματα). Πώς όμως είναι δυνατόν, ενώ η πλευρά ενός τετραγώνου να έχει μήκος 1 μονάδα η διαγώνιος να έχει μήκος το απροσδιόριστο-άπειρο μέγεθος της τετραγωνικής ρίζας του 2 (1,4142135...). Και ενώ όλοι παρατηρούμε ότι είναι ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα;
Η ανακάλυψη αυτής της αόρατης ασυμμετρίας, της ύπαρξης του απροσδιόριστου (άπειρον στα αρχαία ελληνικά) μήκους σε πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα, τους γκρέμισε την αντίληψη που είχαν για τον κόσμο και τους αριθμούς. Το άπειρο συνυπάρχει μέσα στο πεπερασμένο και το χάος/παράλογο μέσα στον κόσμο/λογική. Τα μεγέθη αυτά που δεν υπήρχε (ρητός) αριθμός που να τα μετρά οι Πυθαγόρειοι τα ονόμασαν άλογα δηλαδή ανέκφραστα. Σήμερα τα λέμε άρρητα.

Παρότι στην αρχή προσπάθησαν να κρατήσουν μυστική την ανακάλυψη τους ο ΄Ιπασσος ο Μεταποντίνος έσπασε τον όρκο της σιωπής και διέδωσε το τρομερό μυστικό (σύμφωνα με την παράδοση μετά από λίγο καιρό τον βρήκανε πνιγμένο). Έτσι τον 5ο π.Χ. αιώνα οι Έλληνες γνώριζαν ότι δεν είναι το παν αριθητόν και υποταγμένο στο λόγο. Το ά-λογο είναι παρόν μέσα στη φύση αν και αόρατο.

Η κρίση αυτή των μαθηματικών (πολλοί σοφιστές έσπευσαν να χαρακτηρίσουν τα μαθηματικά ψευδοεπιστήμη) ήταν κρίση και όλης της θεώρησης που είχαν για τον  κόσμο όπως: για την ομαλή κυκλική κίνηση των πλανητών ή για την ιερή γεωμετρία τους που με την ακινησία των σχημάτων και την απαγόρευση των νεύσεων στους κανόνες της δεν επέτρεπαν την ενασχόληση της με την άλγεβρα και τη μηχανική (φυσική), ως κάτι το αντιπνευματικό και υλιστικό.

Αυτός που "έσωσε" τα μαθηματικά από αυτήν την κρίση θεωρείται ο Εύδοξος που ήταν ο πρώτος που παρέκαμψε το πρόβλημα της ασυμμετρίας εισάγοντας τη θεωρία των αναλογιών και τη θεώρηση των αριθμών ως ευθύγραμμα τμήματα.

Αργότερα ο Ευκλείδης συνοψίζει όλη τη μαθηματική σκέψη της εποχής γράφοντας τα "Στοιχεια", δηλαδή την αποδεικτική γεωμετρία, πάλι όμως χωρίς κινήσεις, όπου τα σχήματα (άυλες επεκτάσεις των ιδεών) κατασκευάζονται μόνο με κανόνα και διαβήτη (ευθείες και κύκλοι, όπως στις ουράνιες κινήσεις) και δεν κινούνται. Η αριστοτέλεια τυπική λογική στα μαθηματικά και η χρήση αποδείξεων και όχι κινήσεων (δυνάμεις) όπως στη μηχανική έκανε τη θεωρία αυτή να μη φοβάται αντιφάσεις και παράδοξα (θυμηθείτε Παρμενίδη , Ζήνωνα). Ταυτόχρονα όμως απόρριπτε αυτό που σήμερα ονομάζουμε άλγεβρα, επειδή σε αυτήν τίποτα δεν αποδεικνείεται με βάση την αριστοτελική λογική. Η μη ενασχόληση των θεωρητικών με τις πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών και της φυσικής καθυστέρησε πολύ και τη βιομηχανική επανάσταση.

Εκτός από λίγες περιπτώσεις όπως ο Ιππίας με την τετραγωνίζουσα, ή ο Μέναιχμος  και ο Απολλώνιος με τις θεωρίες τους περί κωνικών τομών, πραγματική ενασχόληση των μαθηματικών με τις πρακτικές εφαρμογές  έχουμε αργότερα κατά τα ελληνιστικά χρόνια με τον Αρχιμήδη να αναπτύσσει τη μηχανική και τη φυσική, το Διόφαντο την άλγεβρα, τον Πτολεμαίο την εξηνταδική αστρονομία, τον Ίππαρχο να θεμελιώνει την τριγωνομετρία κ.ά.

Συμπέρασμα από αυτήν την ιστορία δύσκολα μπορούμε να βγάλουμε. Το σίγουρο είναι ότι ο τρόπος επίλυσης ενός προβλήματος προσδιορίζει καθοριστικά το πλαίσιο των αντιλήψεών μας, πολλές φορές χωρίς να το καταλαβαίνουμε. Η προσπάθεια των Πλατωνικών να σώσουν τους αριθμούς και την ηθική των Θεών, οδήγησαν την ανθρώπινη σκέψη στη Γεωμετρία και την απαξίωση της ύλης. Ποια θα ήταν η πορεία του αρχαίου ελληνικού πνεύματος αν είχε επικρατήσει ο Υλισμός του Δημόκριτου και όχι ο Ιδεαλισμός του Πλάτωνα είναι ένα ερώτημα που δεν μπορεί να απαντηθεί. Το μόνο που με βεβαιότητα μπορούμε να πούμε είναι ότι ο τρόπος αντιμετώπισης των φιλοσοφικών-θεολογικών ερωτημάτων επηρεάζει τον τρόπο αντίληψης των μαθηματικών προβλημάτων και αντιστρόφως.

Πηγή: "Η αρχαία ελληνική θρησκεία και τα μαθηματικά" - Διαμαντής Κούτουλας 

Σάββατο, 7 Μαΐου 2011

Το στρες με μέτρο βοηθά τους μαθητές στις εξετάσεις!

Οι επίφοβες για τους μαθητές εξετάσεις πλησιάζουν και το άγχος τους ήδη αρχίζει να ανεβαίνει προκαταβολικά. Όμως μια νέα βρετανική επιστημονική έρευνα κατέληξε στο συμπέρασμα ότι όσοι μελετούν μέχρι τελευταία στιγμή για τα διαγωνίσματα και αναπόφευκτα έχουν στρες, κάνουν μάλλον καλό στον εαυτό τους, επειδή το άγχος παράγει ορμόνες που βοηθούν τον εγκέφαλο να αποθηκεύσει πιο έντονα τα διάφορα δεδομένα και έτσι ο μαθητής να θυμάται καλύτερα - με την προϋπόθεση όμως ότι το στρες δεν ξεπερνά ένα λογικό όριο.


Οι ερευνητές, με επικεφαλής τον καθηγητή νευροεπιστήμης Χανς Ρόϊλ του πανεπιστημίου του Μπρίστολ, που δημοσίευσαν τη σχετική μελέτη στο περιοδικό πειραματικής νευρολογίας "Experimental Neurology" και την παρουσίασαν στο ετήσιο συνέδριο της Βρετανικής Εταιρίας Νευροεπιστήμης, σύμφωνα με την "Τέλεγκραφ", διαπίστωσαν ότι οι ορμόνες του στρες, όπως η κορτιζόλη και η αδρεναλίνη, προκαλούν μεταβολές στα γονίδια στο εσωτερικό των εγκεφαλικών κυττάρων (των νευρώνων), με συνέπεια την αποτελεσματικότερη αποθήκευση των μνημών και τη βελτίωση της ικανότητας μάθησης.

Σύμφωνα με τους ερευνητές, το διάβασμα υπό ψυχολογική πίεση φαίνεται πως "αναπρογραμματίζει" το DNA του εγκεφάλου, μέσα από την λεγόμενη "επιγενετική" διαδικασία (αλλαγές στα γονίδια υπό την επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος), με αποτέλεσμα είτε να αυξάνεται, είτε να μειώνεται η "έκφραση" ορισμένων γονιδίων.

Όπως είπε ο Ρόιλ, δεν είναι τυχαίο ότι γενικότερα οι δυσάρεστες αναμνήσεις διαρκούν περισσότερο από τις ευχάριστες, πράγμα που οφείλεται στο ρόλο του στρες. "Από βιολογική άποψη, το στρες είναι σημαντικό, γιατί μας βοηθάει να θυμόμαστε κάτι που μας πλήγωσε ή μας απειλεί", τόνισε.

Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι οι ορμόνες του στρες που απελευθερώνονται στο αίμα, αλλάζουν τις λειτουργίες των γονιδίων και, στη συνέχεια, τα εγκεφαλικά κύτταρα, ιδίως του ιππόκαμπου, δηλαδή του κέντρου όπου γίνεται η επεξεργασία της μνήμης και της μάθησης, μεγαλώνουν και αναπτύσσουν περισσότερες διασυνδέσεις μεταξύ τους. Αυτή η αυξημένη "δικτύωση" και επικοινωνία μεταξύ των νευρώνων, υπό το καθεστώς του άγχους, είναι που "αποτυπώνει" στην μνήμη τις αναμνήσεις (άρα και τα μαθήματα).

Στην ανθρώπινη εξελικτική ιστορία, αυτός ο μηχανισμός βοήθησε τους προγόνους μας να ξεφεύγουν από επικίνδυνες καταστάσεις και να βρίσκονται σε συνεχή εγρήγορση στο μέλλον για ανάλογες περιπτώσεις. Όμως οι βρετανοί ερευνητές προειδοποίησαν ότι ενώ το στρες με μέτρο μπορεί να αποβεί ωφέλιμο σε ένα μαθητή, το υπερβολικό στρες μπορεί κάλλιστα να είναι επιζήμιο και να γυρίσει "μπούμερανγκ" (να μη θυμάται τίποτε τη στιγμή του διαγωνίσματος). "Όταν είμαστε υπερβολικά στρεσαρισμένοι, δεν είναι δυνατό να αφομοιώσουμε νέες πληροφορίες, με συνέπεια η μνήμη να μην δουλεύει σωστά. Επίσης", πρόσθεσε ο Ρόιλ, "το χρόνιο μακρόχρονο στρες δεν κάνει καλό".

Πέμπτη, 5 Μαΐου 2011

Mαθηματικό μοντέλο είχε προβλέψει την κρυψώνα του Μπιν Λάντεν

Έρευνα που δημοσιεύτηκε το 2009 προέβλεπε με ακρίβεια 80,9% ότι ο Οσάμα Μπιν Λάντεν κρυβόταν σε έπαυλη της πόλης Αμποταμπάντ του Πακιστάν. Η μελέτη, βασισμένη σε ένα μοντέλο πιθανοτήτων που χρησιμοποιείται στην οικολογία των απειλούμενων ειδών, είχε τραβήξει τότε την προσοχή αμερικανικών ΜΜΕ, όχι όμως και των μυστικών υπηρεσιών.

Χάρτης πιθανοτήτων για τη θέση του κρησφύγετου. Η κόκκινη κουκκίδα αντιστοιχεί στην τελευταία γνωστή θέση του Μπιν Λάντεν, η Τόρα Μπόρα του Αφγανιστάν (Πηγή: MIT International Review)

Όπως αναφέρει ο δικτυακός τόπος του περιοδικού Science, οι ερευνητές του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες τροφοδότησαν το μαθηματικό μοντέλο με δορυφορικά δεδομένα και με πληροφορίες για τις φημολογούμενες μετακινήσεις του Μπιν Λάντεν τα τελευταία χρόνια.

Η ερευνητική προσπάθεια ξεκίνησε σχεδόν ως αστείο σε μια ομάδα προπτυχιακών φοιτητών. Υπεύθυνοι της ομάδας ήταν δύο γεωγράφοι οικοσυστημάτων, ο Τόμας Γκιλέσπι και ο Τζον Άγκνιου.

Οι ειδικότητα των δύο ερευνητών είναι η μελέτη απειλούμενων οικοσυστημάτων με τη χρήση δεδομένων τηλεπισκόπησης από δορυφόρους και άλλα συστήματα. Η πρόβλεψη για τη θέση του τρομοκράτη βασίστηκε στη θεωρία της «βιογεωγραφίας νήσων». Στη βάση της, η θεωρία προβλέπει ότι, έπειτα από μια μεγάλη φυσική καταστροφή, τα είδη που ζουν σε μικρά νησιά είναι πιθανότερο να εξαφανιστούν, σε σχέση με τα είδη που ζουν σε μεγάλα νησιά.

«Η θεωρία ήταν ότι, αν κανείς προσπαθούσε να επιβιώσει, θα κατέφευγε σε μια περιοχή με χαμηλό ρυθμό εξαφάνισης (ειδών)» εξηγεί ο Δρ Γκιλέσπι.

«Κανονικά δεν είναι δουλειά μου να ασχολούμαι με τέτοια πράγματα. Κι όμως, οι ίδιες θεωρίες που χρησιμοποιούμε για τη μελέτη απειλούμενων ειδών μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για αυτό» σχολιάζει.

Για τον Γκιλέσπι, το γεγονός ότι ο καταζητούμενος δεν κρυβόταν σε κάποια απομονωμένη τοποθεσία, αλλά σε μια σχετικά μεγάλη πόλη, δεν είναι καθόλου περίεργο: «Υποθέσαμε ότι (ο Μπιν Λάντεν)δεν θα βρισκόταν σε μια μικρή κωμόπολη, όπου οι κάτοικοι θα ανέφεραν ότι τον είδαν» αναφέρει.

Αναμενόμενο για τον ερευνητή ήταν και το γεγονός ότι ο Μπιν Λάντεν δεν κρυβόταν σε κάποια σπηλιά, όπως πολλοί πίστευαν: Οι σπηλιές είναι κρύες, και δεν μπορείς να διακρίνεις τον κόσμο που μπαίνει μέσα» εξηγεί.

Τελικά, η ερευνητική ομάδα κατέληξε ότι η πιθανότερη τοποθεσία ήταν το Αμποταμπάντ, το οποίο μεταξύ άλλων προσφέρει εύκολη πρόσβαση σε νοσοκομεία (η υγεία του Μπιν Λάντεν είναι γνωστό ότι ήταν εύθραυστη).

Μάλιστα το μαθηματικό μοντέλο προέβλεψε με επιτυχία και το συγκεκριμένο κτίριο όπου μπορεί να κρυβόταν ο Μπιν Λάντεν. Αυτό βασίστηκε βέβαια σε υποθέσεις, όπως το ότι ο τρομοκράτης ήταν ψηλός και θα χρειαζόταν ένα ψηλοτάβανο χρήστη, όπως επίσης θα χρειαζόταν φράκτη και ασφάλεια.

Παρόλα αυτά, ο πλέον καταζητούμενος τρομοκράτης του χώρου έκανε κακή επιλογή ακινήτου, σύμφωνα με τον Δρ Γκιλέσπι: «Θα του ταίριαζε περισσότερο ένα σπίτι που δεν τραβά την προσοχή» εκτιμά ο ερευνητής, έστω και εκ των υστέρων.

Η έρευνα δημοσιεύτηκε το 2009 σε μια σχετικά μικρή επιθεώρηση, το MIT International Review. Τράβηξε τότε την προσοχή διαφόρων αμερικανικών μέσων, μεταξύ άλλων της μεγάλης εφημερίδας USA Today.

Περιέργως, οι αμερικανικές Αρχές είτε δεν έμαθαν για την έρευνα είτε δεν την θεώρησαν αρκετά αξιόπιστη: «Δεν ήρθαν σε επαφή μαζί μου, και δεν περίμενα να το κάνουν» λέει ο Γκιλέσπι.

Μετά την επιτυχή πρόβλεψη για τον νούμερο ένα εχθρό των ΗΠΑ, ο ερευνητής σκοπεύει τώρα να επιστρέψει στη μελέτη άλλων... απειλούμενων ειδών. «Δουλεύω τώρα στα ξηρά δάση της Χαβάης, όπου το 45% των δέντρων βρίσκονται στη λίστα των απειλούμενων ειδών» λέει.

Πηγή: Newsroom ΔΟΛ
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...