Οι δύο όψεις της Γεωμετρίας

Στο σχολείο η Γεωμετρία προυσιάζεται σαν ένα σύστημα από ορισμούς, τύπους και θεωρήματα, τα οποία, είτε δίνονται αναπόδεικτικα με επίκληση της "παρατήρησης", είτε, σε μεγαλύτερες τάξεις, αποδεικνύονται συστηματικά στα πλαίσια ενός αξιωματικού συστήματος.

Όμως αυτή είναι η τελική μορφή της Γεωμετρίας, αφού προηγείται όλη η ανθρώπινη δραστηριότητα που τη γέννησε. Από την αναγνώριση γεωμετρικών μορφών στο φυσικό περιβάλλον και τη μακρόχρονη παρατήρηση των στοιχείων τους, που μπορούν να χρησιμέψουν σε κάτι μέσα στη ζωή (συμμετρία, γωνίες κλπ), μέχρι τη σταδιακή αφαίρεση των γεωμετρικών ιδιοτήτων από τα υλικά σώματα και τη δυνατότητα λογικής σύνδεσης αυτών των ιδιοτήτων, είναι μια τεράστια απόσταση που το σχολείο συνήθως την αγνοεί.

Αυτός είναι ο λόγος που για τα περισσότερα παιδιά η Γεωμετρία είναι ένα αντιπαθητικό μάθημα και που για τα παιδιά αυτά, οι καθηγητές τους διαμαρτύρονται ότι "δεν μπορούν να φέρουν μια κάθετη" ή ότι "φέρνουν το ύψος ενός αμβλυγώνιου τριγώνου προς μια από τις μικρότερες πλευρές μέσα στο τρίγωνο (αντί να το φέρουν απέξω)".

Σύμφωνα με μια θεμελιώδη αρχή της εξέλιξης, που φαίνεται εδώ να έχει εφαρμογη, η "οντογένεση επαναλαμβάνει (περίπου) τη φυλογένεση" (1). Δηλαδή κάθε άτομο περνάει στάδια ανάλογα με αυτά που πέρασε ολόκληρο το είδος στο οποίο ανήκει. 

Στην περίπτωση μας, αυτό σημαίνει, ότι ο μαθητής, για να αισθάνεται άνετα στο πεδίο της Γεωμετρίας, πρέπει να έχει γνωρίσει - και όχι μόνο θεωρητικά, αλλά και στην πράξη (να έχει βιώσει)-  όλα τα στάδια εξέλιξης της ανθρώπινης δραστηριότητας που οδήγησε στην τελική διατύπωσης της Γεωμετρίας. Με άλλα λόγια, πριν από τον Ευκλείδη, θα πρέπει να γνωρίσει το είδος της Γεωμετρίας της Αιγύπτου, της Μεσσοποταμίας, της Ινδίας, του Πυθαγόρα και του Θαλή. Πριν να μελετήσει τις "γωνίες που σχηματίζονται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη", θα πρεπει να έχει παρατηρήσει τις παράλληλες και τις κάθετες στη φύση και στην καθημερινότητά του. Πριν να μάθει τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων, θα πρέπει να έχει επιχειρήσει να κατασκευάσει ένα τρίγωνο από ορισμένα στοιχεία του.

Ποιά είναι όμως η σημερινή πραγματικότητα στην εκπαίδευση; 

Ύστερα από μια ρηχή αναφορά στα γεωμετρικά σχήματα  στο Δημοτικό, που από μόνη της δεν είναι ικανή να προσφέρει τίποτα ουσιαστικό στα παιδιά και μια καθαρή αντίληψη υποβάθμισης της Γεωμετρίας στην ύλη των Μαθηματικών του Γυμνασίου (ειδικά στη Γ Γυμνασίου η πλειοψηφία των μαθητών έχει προαποφασίσει ότι δεν θα ασχοληθεί με το θέμα της Γεωμετρίας στις τελικές εξετάσεις και η πλειοψηφία των καθηγητών, ζήτημα να διαθέσουν για το κεφάλαιο της Γεωμετρίας 5 ή 6 ώρες συνολικά), ο μέσος μαθητής έρχεται στην Α Λυκείου "άμοιρος" από γεωμετρική αντίληψη και σκέψη. Και εκεί τον περιμένει μια οδυνηρή έκπληξη: μια τυπική αξιωματική πραγμάτευση η οποία δεν ανάγεται καν στον Ευκλείδη, αλλά είναι μεταγενέστερησης έμπνευσης, καθώς αναβάλει λ.χ. την παρουσίαση του βασικού θεωρήματος της Ευκλείδιας Γεωμετρίας για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου μέχρι το κεφάλαιο των παραλλήλων ευθειών και μετά τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Αυτή η τακτική είναι αντιπαιδαγωγική και προφανώς ψυχολογικά αδόκιμη. Οι μαθητές δεν είναι σε θέση να εκτιμήσουν το πόση Γεωμετρία μπορούμε να αποδείξουμε ανεξάρτητα από το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη (κάτι που απασχολεί τους μαθηματικούς) γιατί α) η ανάγκη για μια συστηματική αξιωματική θεμελίωση έρχεται ύστερα από την εμπειρία, που στην περίπτωσή μας δεν υπάρχει και β) δεν έχει γίνει πρωτύτερα λόγος για τη δυνατότητα ύπαρξης Γεωμετριών και πέρα από την Ευκλείδια και το ενδιαφέρον που μπορεί να έχουν αυτές για άλλες επιστήμες και τεχνικές.

Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι η Γεωμετρία έχει δύο όψεις

1) τη διαισθητική Γεωμετρία

2) την αποδεικτική-αξιωματική Γεωμετρία

Για να γίνει πιο ξεκάθαρο τι εννοούμε διαισθητική σκέψη στη Γεωμετρία μπορούμε να δώσουμε μερικά παραδείγματα:

Είναι γνωστή η συνήθεια των βιβλίων να ορίζουν λεκτικά διάφορες έννοιες και σχέσεις, όπως "εφεξείς γωνίες" ή "διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα" ή "μέσο ευθύγραμμου τμήματος" κ.α. Ενίοτε υπάρχουν και καθηγητές που ζητούν από τους μαθητές τους (επίμονα πολλές φορές) να επαναλαμβάνουν αυτούς τους λεκτικούς ορισμούς. Μπορεί να βγει κάτι από αυτή τη διαδικασία αποστήθισης; Όχι βέβαια, αφού οι μαθητές θα ξεχάσουν σε λίγο τα λόγια του βιβλίου. Το αν όμως έχουν συλλάβει τις παραπάνω έννοιες είναι εντελώς άλλο θέμα. Για να το διαπιστώσουμε αυτό πρέπει να ζητήσουμε από τα παιδιά να μας δείξουν το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ή να μας φτιάξουν δύο εφεξής γωνίες (ή διαδοχικές ή όπως αλλιώς και τις πούμε, ο λεκτικός κώδικας εδώ είναι το λιγότερο σημαντικό). Αυτή η άμεση σύλληψη μιας έννοιας μέσα από το γεωμετρικό σχήμα είναι ένα παράδειγμα διαισθητικής σκέψης.

Σε τάξεις της Α Γυμνασίου έχει γίνει αρκετές φορές το ακόλουθο απλό πείραμα. Ο καθηγητής καλεί τους μαθητές να σχεδιάσουν με το χάρακά τους ένα τρίγωνο και ύστερα με το μοιρογνωμόνιο να μετρήσουν τις γωνίες και να προσθέσουν τις τιμές που βρήκαν για τις τρεις γωνίες (για τα σημερινά δεδομένα βέβαια αυτό εξαρτάται από το πόσοι μαθητές έχουν μαζί τους γεωμετρικά όργανα). Φυσικά η μέση τιμή πέφτει, πολύ κοντά, στις 180 μοίρες, οπότε τα παιδιά οδηγούνται να υποψιαστούν ότι κάτι συμβαίνει. Αν υποθέσουμε επιπλέον ότι η αντίληψη των παιδιών για το τρίγωνο δε θα είναι η τυποποιημένη από τα χρόνια του Δημοτικού (όπως δυστυχώς είναι τώρα και τα παιδιά ακούγοντας τρίγωνο καταλαβαίνουν ισόπλευρο ή ορθογώνιο ή ισοσκελές), τότε οι μαθητές του πειράματος θα έχουν κάθε λόγο να κάνουν μια τολμηρή εικασία για ένα νόμο που αφορά κάθε τρίγωνο. Αυτού του είδους διαισθητική σκέψη μπορούμε να πούμε ότι είναι πιο σημαντική από το προηγούμενο παράδειγμα, αφού είναι η σκέψη που οδηγεί στην μαθηματική ανακάλυψη.

Είναι φυσικό τα γεωμετρικά σχήματα να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στη διαισθητική δραστηριότητα, σαν οι πιο κανονικές και απλές μορφές που αντιλαμβανόμαστε. Έτσι δεν είναι παράξενο ότι η Γεωμετρία είχε μια κεντρική θέση σε όλη τη διαδικασία ανάπτυξης των μαθηματικών, αν αυτή τη δούμε σαν ανθρώπινη κοινωνική δραστηριότητα που μας ενδιαφέρουν όλα τα στάδια της και όχι μόνο το τελικό, επίσημο και πακεταρισμένο προϊόν. Γι'αυτό, αντίθετα με ότι το σχολείο σήμερα μας υποβάλλει, η συσχέτιση αριθμών και σχημάτων ή σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων, έχει ιστορία πολύ παλιότερη από την εποχή της αναλυτικο-λογικής έκφρασής της με την καρτεσιανή σκέψη. Οι φυσικοί αριθμοί για τους αρχαίους στοχαστές είχαν γεωμετρική όψη: θεωρούσαν π.χ. τρίγωνους και τετράγωνους αριθμούς ή αριθμούς με σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου, ανάλογα με τον χαρακτήρα των διαιρετών τους. Ακόμη οι Έλληνες , οι Ινδοί και οι Άραβες είχαν αναπτύξει ένα είδος γεωμετρικής άλγεβρας με κατεύθυνση αντίστροφη από την πολύ μεταγενέστερη αναλυτική γεωμετρία του Descartes.

Αυτή η ενοποιητική δύναμη της Γεωμετρίας αποτέλεσε τον λόγο που πολλοί μαθηματικοί της εποχής μας έκαναν οξεία κριτική στην τάση της δεκαετίας 60 -70 (2) για αλγεβροποίηση και ζήτησαν, αντίστροφα, μια γεωμετρικοποίηση στη διδασκαλία των μαθηματικών. Σε χώρες που υιοθετήθηκε κάτι τέτοιο, η Γεωμετρία στο σχολείο δεν υποβαθμίστηκε ποτέ (σε αντίθεση με εμάς σήμερα που κοντεύει να καταργηθεί), παρά εμπλουτίσθηκε και ήρθε πιο κοντά στο επίπεδο και τα ενδιαφέροντα των μαθητών.

(1) Η αρχή αυτή διατυπώθηκε από τον Γερμανό Βιολόγο Ernest Haescel ύστερα από τις συνταρακτικές ανακαλύψεις της βιολογίας από την παρατήρηση εμβρύων: το έμβρυο ενός ζώου, πριν να φθάσει στην τελική του μορφή, περνάει από όλα τα στάδια της εξέλιξης των ειδών που οδήγησε στο είδος του. Έτσι το έμβρυο του ανθρώπου αρχικά μοιάζει με ψάρι, μετά με ερπετό κλπ

(2) Τη δεκαετία του 60-70 κάποιοι αναμορφωτές των αναλυτικών προγραμμάτων μαθηματικών για τη μέση εκπαίδευση, κυρίως στη Γαλλία, θεώρησαν ότι θα πετύχουν μεγαλύτερη οικονομία στη σκέψη αν οργανώσουν τη Γεωμετρία μέσα από τις δομές της γραμμικής Άλγεβρας  (διανυσματικός χώρος, εσωτερικό γινόμενο κλπ). Η άποψη αυτή για τη Γεωμετρία που μπορεί να ονομαστεί δομική-αλγεβρική είναι πολύ χρήσιμη για τους ώριμους μαθηματικούς, αλλά, όπως απέδειξε η εμπειρία της εφαρμογής αυτού του προγράμματος, οι μαθητές δεν κέρδισαν τίποτα ουσιαστικό, αλλά μάλλον έχασαν. Με τη γραμμική άλγεβρα ο μαθητής δεν μπορεί να ανακαλύψει τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων.