Η χρησιμότητα των Διαφορικών Εξισώσεων και η πρώτη μέθοδος λύσης τους από τον Euler

Είναι γεγονός ότι τα πάντα στη φύση μεταβάλλονται. Γενικά παρατηρείται ότι σε διάφορα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται μεγέθη, έτσι ώστε ο ρυθμός μεταβολής ενός ή περισσοτέρων μεγεθών να επηρεάζει τη μεταβολή κάποιου άλλου μεγέθους. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και σε πολλά προβλήματα και φαινόμενα της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Η προσέγγιση των παραπάνω προβλημάτων και φαινομένων μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση Διαφορικών Εξισώσεων, έτσι ώστε να σχηματισθεί ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο το οποίο να τα περιγράφει, ώστε στη συνέχεια να μπορούν αυτά να μελετηθούν με τη βοήθεια μιας λύσης της Διαφορικής Εξίσωσης.

Στην πάραγραφο 3.3. του σχολικού βιβλίου γίνεται μια εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις με τον παρακάτω ορισμό:

Διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μια άγνωστη συνάρτηση ψ=f(x) και κάποιες από τις παραγώγους της ψ΄,ψ΄΄,...

Το σύνολο των λύσεων μιας Διαφορικής Εξίσωσης λέγεται γενική λύσης της εξίσωσης.

Για παράδειγμα η γενική λύση της εξίσωσης ψ΄=2x είναι η ψ=x^2+c , c πραγματικός αριθμός.

Παρότι η παράγραφος αυτή είναι τα τελευταία χρόνια εκτός διδακτέας ύλης, οι Διαφορικές Εξισώσεις αποτελούν ένα από τα αγαπημένα θέματα των θεματοδοτών στις Πανελληνίες Εξετάσεις, αφού μπορούν να αντιμετωπισθούν με τη χρήση των συνεπειών του Θ.Μ.Τ. ή και με ολοκληρωτικές μεθόδους.

Σκοπός όμως αυτού του άρθρου δεν είναι η παράθεση μεθόδων λύσης Διαφορικών Εξισώσεων (αυτό το μαθαίνουν πολύ καλά οι μαθητές κατά τη διάρκεια της Γ τάξης), αλλά η διασύνδεση των Διαφορικών Εξισώσεων με άλλες επιστήμες και μια μικρή ιστορική αναδρομή στη λύση τους.

Προβλήματα αύξησης ή μείωσης μιας ποσότητας, συνεχούς ανατοκισμού ενός κεφαλαίου, χημικών αντιδράσεων ν ουσιών, ψύξης ενός σώματος, πίεσης που δέχεται ένα μόριο, μεταβολής φορτίου ενός πυκνωτή, έλξης δυό ουράνιων σωμάτων κ.α. είναι μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα φαινομένων που μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια Διαφορικών Εξισώσεων , δείχνοντας ξεκάθαρα τη συνάντηση των Μαθηματικών με άλλες επιστήμες (Κοινωνιολογία, Ιατρική, Βιολογία, Φυσική, Χημεία, Οικονομία, Αστρονομία κλπ).

Η πιο παλιά μέθοδος λύσης Διαφορικών Εξισώσεων είναι η μέθοδος του Euler (1707-1783). Mε τη μέθοδο αυτή υπολογίζεται όχι ο τύπος της συνάρτησης f(x) που αποτελεί λύση της ζητούμενης Διαφορικής, αλλά τιμές της συνάρτησης, κάτι βέβαια που για τον Euler εκείνη την περίοδο είχε και το μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον.