Ο Γερμανός μαθηματικός Goldbach και η εικασία του. Η δυσκολία στην απλότητα!

Είναι αλήθεια ότι το πιο ενδιαφέρον και ίσως πιο δύσκολο κομμάτι των μαθηματικών είναι η απλότητα και η καθολικότητα τους. Η Θεωρία Αριθμών αποτελεί τον τομέα εκείνο που το αποδεικνύει με τον καλύτερο τρόπο.

"Οποιοσδήποτε μπορεί να κάνει ερωτήσεις για τους πρώτους αριθμούς" έλεγε ο σημαντικός Άγγλος μαθηματικός Γκόντφεϊ Χάρολντ Χάρντι, στο βιβλίο του Η Απολογία ενός Μαθηματικού, "τις οποίες και ο πιο σοφός άνθρωπος δεν μπορεί να απαντήσει" συνέχιζε.

Ο Χάρντι, γνωστός για την συμβολή του στη Θεωρία Αριθμών και την Ανάλυση, ήθελε να τονίσει πως το πλήθος και το βάθος των ιδιοτήτων των αριθμών είναι τόσο μεγάλο, που μπορεί να εξαλείψει ακόμα και τις τεράστιες μαθησιακές διαφορές που υπάρχουν ανάμεσα σε μια μαθηματική ιδιοφυΐα και έναν μαθητή Δημοτικού.

Έτσι μια απλή διαπίστωση για τους αριθμούς, από τον γεννημένο σαν σήμερα 18 Μαρτίου του 1690, Γερμανό μαθηματικό Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, έμελε να βασανίζει τα μεγαλύτερα μυαλά του πλανήτη για παραπάνω από δυόμιση αιώνες.

Ο Γκόλντμπαχ, ο οποίος είχε σπουδάσει και νομικά, έγινε γνωστός για την αλληλογραφία του με τους επίσης κορυφαίους μαθηματικούς Όιλερ, Μπερνούλι και Λάιμπνιτς, απέδειξε τα θεωρήματα των τέλειων δυνάμεων και είχε μεγάλη συνεισφορά στην Ανάλυση.

Κυρίως όμως έγινε γνωστός από το γράμμα του προς τον Όιλερ με το οποίο περιέγραφε την εικασία του, που πήρε το όνομα του και αποτελεί ένα από τα πιο παλιά και κλασικά άλυτα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών και των μαθηματικών γενικότερα.

«Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών», αναφέρει στην πρώτη επιστολή που έστειλε στον Όιλερ το 1742.

Η εικασία αρκετά απλή. Κάθε άρτιος (ζυγός) αριθμός μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, δηλαδή δύο αριθμών που διαιρούνται μόνο με την μονάδα και τον εαυτό τους (δεν έχουν άλλους διαιρέτες). Οι δυσκολίες όμως αδιανόητες.

Αν ξεκινήσουμε να παίρνουμε όλους τους άρτιους αριθμούς στην σειρά, αρχικά μοιάζει παιχνιδάκι.

4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5=3+7, 12=5+7....

Ας φτάσουμε και στο 100. Εύκολα βρίσκουμε ότι 100= 3+97, δηλαδή άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.

Όσο όμως προχωράμε σε μεγαλύτερους αριθμούς, τόσο αντιλαμβανόμαστε ότι χρειαζόμαστε έναν τύπο, μια φόρμουλα δηλαδή που θα αποδεικνύει την ύπαρξη των κριτηρίων της εικασίας για οποιονδήποτε άρτιο αριθμό, αφού οι προσθέσεις είναι πρακτικά αδύνατες.

Ο τύπος αυτός δεν έχει βρεθεί ακόμα, όσες προσπάθειες και αν έχουν γίνει, πράγμα που προκαλεί και την μεγαλύτερη εντύπωση, αν σκεφτούμε τις τεχνολογικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστών που θα μπορούσαν να βοηθήσουν.

Σήμερα, αν και υπάρχουν πολλές και διαδεδομένες προσπάθειες απόδειξης της εικασίας αυτής, καμία δεν έχει γίνει καθολικά αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα, ενώ η εικασία έχει επαληθευτεί μέχρι τον αριθμό 4×10¹⁸, χωρίς καμία απολύτως εξαίρεση.

Για την εικασία του Γκόλντμπαχ, όπως και την υπόθεση Ρήμαν και άλλα προβλήματα που είναι άλυτα για πάνω από 100 χρόνια, ένα είναι σίγουρο: όποιος καταφέρει να βρει τις αποδείξεις τους, το όνομα του θα γραφεί με χρυσά γράμματα στην ιστορία των μαθηματικών. Όμως, θα έχει καταφέρει να ανεβάσει και όλο το επιστημονικό και τεχνολογικό οικοδόμημα ένα σκαλοπάτι παραπάνω, καθώς εκατοντάδες άλλες προτάσεις στηρίζονται σε αυτές, όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και σε πολλές ακόμη επιστήμες.